第六章反比例函数课件 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第六章　反比例函数 1　反比例函数 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 反比例函数的概念和表达式 B C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） －1 9 －6 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 建立反比例函数模型 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．若三角形的底为x，高为y，面积为45，则y与x之间的函数 表达式为_____________. 7．把一个体积为6 cm3的长方体铜块铸成一个圆柱铜块，则该圆柱铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数表达式为 ____________ . 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．下列关系中，成反比例函数关系的是(　 　) A．在直角三角形中，30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系 B．在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系 C．圆的面积S与它的半径r之间的关系 D．面积为2 024的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例，当V＝200时，p＝50，则当p＝25时，V＝_______. 10．已知y是x的反比例函数，下表给出了x与y的部分数值，则a，b所表示的数分别为______________. 400　 －6，－4 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 11.已知y与x－1成反比例关系，且当x＝2时，y＝6. (1)写出y与x之间的函数表达式． (2)当x＝4时，求y的值． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．下列函数关系中属于反比例函数的是(　 　) A．y＝3x B．y＝－ C．y＝x2－3 D．x＋y＝5 2．已知反比例函数的表达式为y＝，则a的取值范围是(　 　) A．a≠2 B．a≠－2 C．a≠±2 D．a＝±2 3．若函数y＝是反比例函数，则m＝_______. 4．(1)已知反比例函数y＝－，当x＝－4时，y＝_____；当y＝6时，x＝______. (2)已知反比例函数y＝，当x＝时，y＝，则k＝_______. 5．某城市市区人口x万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地y平方米，则y与x之间的函数表达式为(　 　) A．y＝x＋50 B．y＝50x C．y＝ D．y＝ y＝(x>0) S＝(h>0) x a －1 y 2 b 解：(1)设y＝，则6＝，解得k＝6， ∴y＝. (2)当x＝4时，y＝＝2. $$第六章　反比例函数 2　反比例函数的图象与性质 第1课时　反比例函数的图象 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 反比例函数的图象 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） m<2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：略． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)∵点A(1,2)在这个函数的图象上， ∴k－1＝1×2，解得k＝3. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 反比例函数图象的对称性 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (－3，－1) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） k1<k2<k3　 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (4,1) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．已知反比例函数y＝，则其图象在平面直角坐标系中可能是(　 　) 2．反比例函数y＝－的图象位于(　 　) A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 3．(2023·重庆B卷)反比例函数y＝的图象一定经过的点是(　 　) A．(－3,2) B．(2，－3) C．(－2，－4) D．(2,3) 4．关于x的反比例函数y＝的图象位于第二，四象限，则m的取值范围是_________. 5．在同一平面直角坐标系中，请画出反比例函数y＝和y＝－的图象． 6．已知反比例函数y＝(k为常数，k≠1)． (1)若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k的值． (2)若k＝13，试判断点B(3,4)，C(2,5)是否在这个函数的图象上，并说明理由． (2)∵k＝13，有k－1＝12， ∴反比例函数的表达式为y＝. 将点B的坐标代入y＝，可知点B的坐标满足函数表达式， ∴点B在函数y＝的图象上， 将点C的坐标代入y＝，由5≠，可知点C的坐标不满足函数表达式， ∴点C不在函数y＝的图象上． 7．关于反比例函数y＝－图象的对称性，下列说法中错误的是(　 　) A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称 C．关于x轴对称 D．关于直线y＝－x对称 8．反比例函数y＝(k＞0)的图象与经过原点的直线相交于A，B两点，若点A的坐标为(3,1)，则点B的坐标为____________ . 9．正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系内的图象大致为(　 　) 10．如图是反比例函数y＝与y＝在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则△ABP的面积为(　 　) A．1 B． C． D． 11．如图是三个反比例函数y1＝，y2＝，y3＝在x轴上方的图象，由此观察可知k1，k2，k3的大小关系为________(用“<”连接)． 12．如图，Rt△ABC的两个锐角的顶点A，B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2，若点A的坐标为(2,2)，则点B的坐标为_________. 13．如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝的图象相交于A(1,4)，B(4，m)两点． (1)求反比例函数的表达式． (2)求一次函数的表达式． (3)点P是x轴上的一个动点，求点PA＋PB的值最小时，点P的坐标． 解：(1)y＝. (2)把点A(1,4)，B(4,1)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴y＝－x＋5. (3)作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于点P. 设AB′的表达式为y＝mx＋n，把点A(1,4)，B′(4，－1)代入，得 解得 ∴y＝－x＋. 令y＝0，x＝. ∴点P的坐标为. $$第六章　反比例函数 2　反比例函数的图象与性质 第2课时　反比例函数的性质 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 反比例函数的性质 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B > 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 反比例函数中k的几何意义 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1.5 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B －1<a<0 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)m＝1，k＝4. (2)当x＝－4，y＝－1； 当x＝－1，y＝－4. ∵x<0时，y随x的增大而减小， ∴－4≤y≤－1. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．关于反比例函数y＝的图象，下列说法中错误的是(　 　) A．点(－2，－1)在函数图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 2．若反比例函数y＝的图象，在每个象限内，y都随x的增大而增大，则k的值可以是(　 　) A．－1 B．－5 C．0 D．2 3．(2023·成都)若点A(－3，y1)，B(－1，y2)都在反比例函数y＝的图象上，则y1______y2(选填“>”或“<”)． 4．已知反比例函数y＝(k≠0)的图象的一支如图所示，它经过点(3，－2)． (1)求这个反比例函数的表达式，并画出该函数图象的另一支． 解：(1)把点(3，－2)代入表达式y＝ (k≠0)，得 －2＝，∴k＝－6， ∴反比例函数的表达式是y＝－. 反比例函数图象的另一支如图所示． (2)当y＝5时，5＝－，解得x＝－. 由图象可知，当y≤5，且y≠0时，自变量x的取值范围是x≤－或x>0. 5．反比例函数y＝－(x＜0)的图象如图所示，则矩形OAPB的面积是(　 　) A．3 B．－3 C． D．－ 6．如图，A，B是函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积为______. 7．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB的面积为______ . 8．若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数 y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　 　) A．y1<y2<y3 B．y2<y3<y1 C．y3<y2<y1 D．y2<y1<y3 9．已知点A(a，y1)，B(a＋1，y2)在反比例函数y＝(m是常数)的图象上，且y1<y2，则a的取值范围是_____________. 10．(2023·绍兴)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝(k为大于0的常数，x>0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是______. 11．如图，一次函数y＝x＋k(k＞0)的图象与x轴和y轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E.当矩形ODCE与△OAB的面积相等时，k＝______. 12．如图，已知反比例函数y＝的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2. (1)求k和m的值． (2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝的图象上，当－4≤x≤－1时，求函数值y的取值范围． 13．如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，且点B的坐标为(－1，－2)． (1)求反比例函数与一次函数的表达式． (2)请直接写出点A的坐标． (3)连接OA，OB，求△AOB的面积． 解：(1)将B(－1，－2)代入y＝x＋b，得b＝ －1.故一次函数的表达式为y＝x－1. 将B(－1，－2)代入y＝，得k＝2，故反比 例函数的表达式为y＝. (2)联立解得 故点A的坐标为(2,1)． (3)设y＝x－1与x轴的交点为C，则C(1,0)， 故S△AOB＝×1×(1＋2)＝. $$第六章　反比例函数 3　反比例函数的应用 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 反比例函数与一次函数的综合 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 反比例函数的实际应用 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．跨学科·物理在温度不变的情况下，气球内气体的压强p(Pa)与它的体积V(m3)的乘积是一个常数k，即pV＝k(k为常数，k＞0)，下列图象中能正确反映p与V之间的函数关系的是(　 　) C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位：cm)的反比例函数，当x＝6时，y＝2. (1)求y关于x的函数表达式． (2)若火焰的像高为3 cm，求小孔到蜡烛的距离． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(－2,4)，下列说法中正确的是(　 　) A．正比例函数y1的表达式是y1＝2x B．两个函数图象的另一交点坐标为(4，－2) C．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大 D．当x<－2或0<x<2时，y2<y1 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，单位：m3)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求储存室的容积V的值． (2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足 16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围． 解：(1)由图可知，当深度d＝20 m时，底面积S＝500 m2， ∴V＝Sd＝500×20＝10 000(m3)． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．直线y＝x＋2与双曲线y＝相交于点A，若点A的纵坐标为4，则k的值是(　 　) A．2　 B．4　 C．6　 D．8 2．(2023·宁波)如图，一次函数y1＝k1x＋b(k1>0)的图象与反比例函数y2＝(k2>0)的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为－2，当y1<y2时，x的取值范围是(　 　) A．x<－2或x>1 B．x<－2或0<x<1 C．－2<x<0或x>1 D．－2<x<0或0<x<1 3．如图，已知反比例函数y1＝与直线y2＝ax＋b相交于点A(－4,1)和点B(m，－4)． (1)求反比例函数和直线的表达式． (2)直接写出当y1>y2时x的取值范围． 解：(1)∵点A(－4,1)在反比例函数的图象上， ∴1＝，∴k＝－4， ∴y1＝－. 当y＝－4时，x＝1，∴点B的坐标为(1，－4)． 又∵点A(－4,1)，B(1，－4)在直线y2＝ax＋b上， ∴解得 ∴y2＝－x－3. (2)当y1＞y2时，x的取值范围是－4＜x＜0或 x＞1. 4．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用了4 h到达乙地．当他按照原路返回时，汽车的速度v(km/h)与时间t(h)之间的函数表达式为(　 　) A．v＝320t B．v＝ C．v＝20t D．v＝ 解：(1)由题意设y＝. 把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12. ∴y关于x的函数表达式为y＝. (2)把y＝3代入y＝，得x＝4. ∴小孔到蜡烛的距离为4 cm. 7.一次函数y＝ax－a与反比例函数y＝(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是(　 　) (2)由(1)得Sd＝10 000，则S＝(d>0)，S随着d的增大而减小， 当d＝16时，S＝625；当d＝25时，S＝400； ∴当16≤d≤25时，400≤S≤625. 10．(2023·杭州)如图，在平面直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2(x－2)＋5的图象交于点A和点B.已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是－4. (1)求k1，k2的值． (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂 线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的 垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交 于点D.求证：直线CD经过原点． 解：(1)∵点A的横坐标是2， ∴将x＝2代入y2＝k2(x－2)＋5＝5， ∴A(2,5)，将A(2,5)代入y1＝，得k1＝10， ∴y1＝. ∵点B的纵坐标是－4，将y＝－4代入y1＝，得x＝－，∴B， ∴将B代入y2＝k2(x－2)＋5，得－4＝k2＋5，解得k2＝2， ∴y2＝2(x－2)＋5＝2x＋1. (2)由题意可得C，D(2，－4)． 设CD所在直线的表达式为y＝kx＋b， ∴解得 ∴y＝－2x，∴当x＝0时，y＝0， ∴直线CD经过原点． $$第六章　反比例函数 ★单元核心考点归纳 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 求反比例函数的表达式 创新作业本·数学九年级上（北师大版） A 创新作业本·数学九年级上（北师大版） －2 －2 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 反比例函数的图象与性质 B 创新作业本·数学九年级上（北师大版） C 创新作业本·数学九年级上（北师大版） D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3 反比例函数的系数k的几何意义 D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4 反比例函数与一次函数的综合 C 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5 反比例函数的实际应用 15．跨学科·物理在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(kg/m3)是体积V(m3)的反比例函数，它的图象如图所示．当体积V＝10 m3时，气体的密度是(　 　) A．5 kg/m3 B．2 kg/m3 C．100 kg/m3 D．1 kg/m3 D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 16．(2023·台州)科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，h＝20 cm. (1)求h关于ρ的函数表达式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时， h＝25 cm，求该液体的密度ρ. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 答：该液体的密度ρ为0.8 g/cm3. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (一)利用定义求表达式 1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，则其函数的表达式为 _________ . y＝ (二)利用待定系数法求表达式 2．若点P(－3,1)在反比例函数y＝的图象上，则k的值是(　 　) A．－3 B．3 C．－ D． 3．已知y与x成反比例关系，且当x＝1时，y＝4，则当x＝－2时，y＝________. 4．已知点A(－1，m)，B(2，m－3)是反比例函数y＝图象上的两个点，则k的值为________. 5．已知反比例函数y＝(k≠0)，且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列坐标中可能在这个函数图象上的是(　 　) A．(2,3) B．(－2,3) C．(3,0) D．(－3,0) 6．(2023·武汉)关于反比例函数y＝，下列结论中正确的是(　 　) A．图象位于第二、四象限 B．图象与坐标轴有公共点 C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小 D．图象经过点(a，a＋2)，则a＝1 7．(2023·天津)若点A(x1，－2)，B(x2,1)，C(x3,2)都在反比例函数y＝－的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是(　 　) A．x3<x2<x1 B．x2<x1<x3 C．x1<x3<x2 D．x2<x3<x1 8．已知反比例函数y＝(m为常数)． (1)若函数图象经过点A(－1,6)，求m的值． (2)若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围． (3)若x>0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． 解：(1)∵反比例函数y＝的图象经过点 A(－1,6)，∴m－8＝xy＝－1×6＝－6，解得m＝2. (2)∵函数图象在第二、四象限， ∴m－8<0，解得m<8. (3)∵x>0时，y随x的增大而减小， ∴m－8>0，解得m>8. 9．如图，点A是反比例函数y＝图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，点D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值是(　 　) A． B． C．3 D．4 10.如图，已知反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象经过点A，点B在x轴上，且满足AB＝AO.若k＝－4，则△AOB的面积为______. 11．(2023·深圳)如图，Rt△OAB与Rt△OBC位于平面直角坐标系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB.若AB＝，反比例函数y＝(k≠0)恰好经过点C，则k＝_____. 4 12．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝，其中ab<0，a，b为常数，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　 　) 13. (2024·新站一模)如图，直线y＝x＋2与x，y轴相交于点C，B，与反比例函数y＝(k≠0)的图象在第一象限内相交于点A，且AB＝BC. (1)k＝______. (2)在y正半轴上取点D，作DE∥x轴交反比例函数图象于点E，以DE为边向上作正方形DEFG.若该反比例函数的图象恰好经过GF的中点Q，则DB的长为__________. 2－2 14．(2023·常德)如图，一次函数y1＝－x＋m与反比例函数y2＝相交于点A和点B(3，－1)． (1)求m的值和反比例函数的表达式． (2)当y1>y2时，求x的取值范围． 解：(1)将点B(3，－1)代入y1＝－x＋m，得－3＋m＝－1，解得m＝2. 将B(3，－1)代入y2＝，得k＝3×(－1)＝－3，∴y2＝－. (2)由y1＝y2，得－x＋2＝，解得x1＝－1，x2＝3. 所以A，B的坐标分别为A(－1,3)，B(3，－1)， 由图形可得，当x<－1或0<x<3时，y1>y2. 解：(1)设h关于ρ的函数表达式为h＝. 把ρ＝1，h＝20代入表达式，得k＝1×20＝20， ∴h关于ρ的函数表达式为h＝. (2)把h＝25代入h＝，得25＝.解得ρ＝0.8. $$