2.5.1直线与圆的位置关系教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1直线与圆的位置关系（第1课时） （教学设计） 1、 内容和内容解析 1、内容 直线与圆的位置关系 2、 内容解析 直线和圆的位置关系是人教版普通高中教科书选择性必修一第二章的内容。 本课时在已知直线和圆的方程、点到直线的距离公式，两点之间的距离公式的基础上展开，通过直观感受得出判断直线与圆位置关系的方法，并通过直线与圆的方程利用几何法和代数法研究直线和圆的位置关系，相交时的弦长。 2、 目标和目标解析 1、目标 （1）掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。 （2）会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系。 （3） 能求简单的弦长问题。 2、目标解析 （1）达成目标（1）的标志是能准确指出直线与圆相交、相切、相离具有的几何特征，并能将几何特征转化为代数特征。 （2）达成目标（2）的标志是能分别使用几何法和代数法，即将圆心到直线的距离与半径作比较或联立直线与圆的方程，得一个一元二次方程，判断其解的个数，从而得出直线与圆的位置关系。 （3）达成目标（3）的标志是能根据直线与圆相交、相切、相离具有的几何特征或代数特征解决问题。 三、教学重点、难点 1.重点：掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。 2.难点：能根据给定直线、圆的方程，会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系并求简单的弦长问题。 四、教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 【实际情境】（展示月神动画片的部分内容）在这个动画片中，我们能看到一个大大的月亮，正在慢慢升起。大家有没有想过，在月出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识。 问题1：如果我们把月亮近似看作一个圆，海天交线看做一条直线，请大家观察一下，在这个自然现象中，体现了直线与圆的哪些位置关系？ 【预设的答案】 相交、相切、相离 师：你是如何判断得出的呢？ 生：公共点个数 师：对，从相交到相切、相离的过程中，公共点的个数从2个变为1个、0个。以相交为例，若相交，则直线与圆有两个公共点，若有两个公共点，则直线与圆相交，对于相切、相离也是同理，因此可通过公共点个数判定直线与圆的位置关系，即得到判定直线与圆位置关系的第一种方法：定义法。 设计意图：直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过月出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的。 环节二 观察分析，感知概念。 问题2：这是判定直线与圆位置关系的唯一方法吗？ 师：已知直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，若将直线看成是可以平行移动的，从左到右的过程中，圆心离直线的距离越来越远，记圆心到直线的距离为d，即d在变长，是以什么为参照呢？ 生：半径 活动：学生经过观察思考，比较圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系，当d<r时直线与圆相交，当d=r时直线与圆相切，当d>r时直线与圆相离。 师：以相交为例，相交时，d<r，反之，若d<r，便可判定直线和圆相交，对于相切、相离也是同理。（相切时，……） 例1 已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系？ 分析：师：到此，一共学习了两种判定方法，小月神们，用什么方法来解决这个问题呢？定义法通过几何直观，所以常用于直线与圆的图像容易呈现时。因此我们选择比较d与r的大小关系，去判断直线与圆的位置关系。 追问：如何求解d呢？ 师：d是圆心到直线的距离，实质就是点到直线的距离，因此d= 板书： 设计意图：运用几何法判断直线与圆的位置关系，加深学生对知识的掌握程度。 问题3：通过刚才的例1，我们发现这两种方法都是通过几何特征来认识直线与圆的位置关系，并且定义法有很大的局限性，那能从代数的角度，同样根据公共点个数来判定直线与圆的位置关系吗？ 师：在平面直角坐标系中，一条直线对应一个一元二次方程，一个圆对应一个二元二次方程，…… 生：以例1为例学生完成总结。 通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系．若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长。 环节三 概念应用，巩固内化 练习1.判断下列各组直线l与圆C的位置关系 (1)直线l:x=0; 圆C：x2+y2=3; (2)直线l:3x+4y+2=0; 圆C：(x-1)2+y2=1; 1．解析：（1）圆的圆心坐标是，半径．所以圆心到直线的距离． 因为，所以直线与圆相交． （2） 方程经过配方，得．所以圆心坐标是，半径．所以圆心到直线的距离．因为，所以直线与圆相切． 解析:∵直线可转化成 ∴直线过定点（-2,0） 又∵定点在圆内 ∴直线与圆相交 师生活动：（1）学生先独立思考，讨论交流后让学生采用先写再讲的形式展示不同解法. （2）教师在学生讨论时参与讨论并做个别辅导与答疑. （3）教师引导学生对不同解法特点进行总结： 追问：本例1中直线与圆是相交的，那么直线截圆得到的弦长是多少？ 例1：已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0。 （1）判断直线l与圆C的位置关系？ （2）如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长？ 师生活动：学生独立完成解答并展示：在代数法中求得交点为代入两点间距离公式可得；如图由垂径定理，得. 设计意图：在研究完直线与圆的位置关系后，再让学生应用知识，实现重难点的突破。 环节四 归纳总结,反思提升 问题4：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习了哪些方法判断直线和圆的位置关系？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ (1) 知识方面：直线与圆的位置关系、弦长问题； (2) 方法方面：几何法、代数法； (3) 思想方面：数形结合思想，类比思想等。 (4) 判定直线与圆的位置关系的方法有两种 ①根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断； ②根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断。在实际应用中，常采用第二种方法判定. 环节五 目标检测，作业布置 请大家课后完成导学案上的课后习题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$