2.3直线的交点坐标与距离公式导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 第二章直线和圆的方程 ---06 直线的交点坐标与距离公式 1、 问题导学： 1.引人平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，那么如何借助直线方程确定两条相交直线的坐标呢？已知两条直线相交，它们的交点坐标与直线的方程有什么关系？ 2.如何利用坐标思想求平面上两点间距离、点到直线距离以及两条平行线之间的距离呢？ 二、知识构建 知识点一　两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 若方程组有唯一解，则两条直线 ，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线 ； 若方程组有无穷多解，则两条直线 . 2.两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线, 直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 直线l1和l2的位置关系 3. 两条直线相交的条件 (1)将两个直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两条直线是否相交．当方程组只有一解时，两条直线相交． (2)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔ 4.直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为，但不包括直线. 知识点二　距离公式 1.两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离 . 2.点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离 . 注意 (1)直线方程应为一般式 (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系． 3．两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离 . 温馨提示： (1)求两条平行直线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行直线间的距离时，两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等 知识点三 对称问题 1.点关于点对称：该点是两对称点连线段的 ． 2.直线关于点对称：实质是两直线 . 3.点关于直线对称：实质上轴（直线）是对称点连线段的 4.直线关于直线对称 ①当与l相交时：此问题可转化为 .的对称问题； ②当与l平行时：对称直线与已知直线 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 三、类型剖析 题型一 两条直线的交点问题 题型二 两点间的距离公式 题型三 点到直线的距离 题型四 两条平行线间的距离 题型五 直线的对称问题 题型六 入射光线反射关系问题 四、类型应用 题型一 两条直线的交点问题 （一）求直线交点坐标 【例1】（22-23高二·全国·课堂例题）求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：. 【跟踪训练1-1】（21-22高二·全国·课后作业）求下列各组直线的交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【跟踪训练1-2】（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． （二）由方程组解的个数判断直线的位置关系 【例2】（2024·高二课时练习）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【跟踪训练2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． （三）由两条直线的交点位置或个数求参数 【例3】（24-25高二上·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【跟踪训练3】（23-24高二上·北京丰台·期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （四）求过交点的直线方程 【例4】（22-23高二·全国·课堂例题）已知直线l经过原点，且经过如下两条直线，的交点，求直线l的方程． 【跟踪训练4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l过直线与的交点，且平行于，求直线l的方程． 【跟踪训练4-2】（21-22高二·江苏·课后作业）已知直线l过两条直线和的交点，且与直线垂直，求直线l的方程. 【跟踪训练4-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . （五） 三线围成三角形问题 【例5】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练5】（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）（多选）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 题型二 两点间的距离公式 （一）求两点间的距离 【例6】（22-23高二·全国·课堂例题）已知是的三个顶点，求这个三角形边上中线的长.   【跟踪训练6】（23-24高二·全国·课后作业）求下列两点间的距离： (1)，； (2)，； (3)，． （二）由两点间的距离求参数 【例7】（2024高二上·全国·专题练习）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【跟踪训练7】（23-24高二·全国·课后作业）已知点，在轴上的点与点的距离等于，求点的坐标． （三）运用坐标法解决平面几何问题 【例8】（23-24高二·人教版·例题）证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和． 题型三 点到直线的距离 （一）求点到直线的距离 【例9】（22-23高二·全国·课堂例题）分别求点到下列直线的距离： (1)； (2)． 【跟踪训练9-1】（23-24高二上·全国·课后作业）求下列点到直线的距离： （1），； （2），； （3），． 【跟踪训练9-2】（23-24高二下·全国·课堂例题）已知的顶点，，.求的面积. 【跟踪训练9-3】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求直线CD的方程； (2)求平行四边形ABCD的面积. （二）已知点到直线的距离求参数 【例10】（21-22高二·全国·课后作业）已知点到直线的距离为3，求实数m的值． 【跟踪训练10】（21-22高二上·全国·课后作业）已知点到直线的距离为1，求C的值． （三）与点到直线的距离有关的最值问题 【例11】（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【跟踪训练11】（23-24高二上·江西抚州·月考）点到直线的最大距离为（    ） 题型四 两条平行线间的距离 （一）求平行线间的距离 【例12】（22-23高二·全国·课堂例题）已知两条平行直线，，求与间的距离． 【跟踪训练12-1】（23-24高二上·全国·课后作业）求下列两条平行直线间的距离： （1），； （2），． 【跟踪训练12-2】（21-22高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与间的距离为3，求C的值． 【跟踪训练12-3】（23-24高二上·广东汕头·月考）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． （三） 距离的综合应用 【例13】（23-24高二上·全国·课后作业）求与直线平行且距离为3的直线的方程． 【跟踪训练13】（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l过点，若原点到l的距离为2，求直线l的方程． 题型五 对称问题 （一）求点关于直线的对称点 【例14】（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练14-1】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练14-2】（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． （二）求直线关于点的对称直线 【例15】关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练15-1】（22-23高二·江苏·课后作业）已知直线，求： (1)直线l关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线l对称的直线的方程． 【跟踪训练15-2】（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． （三）求直线关于直线的对称直线 【例16】（2024高三·全国·专题练习）求直线关于直线对称的直线的方程． 【跟踪训练16】（23-24高二上·江苏常州·月考）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． （六）反射光线问题 【例17】（23-24高二上·全国·课后作业）已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 . 【跟踪训练17】一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 5、 素养提升： 1.（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 2.（21-22高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 3.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 六、随堂检测 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·全国·随堂练习）点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D．3 4．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 6．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 8．（22-23高二上·四川成都·阶段练习），与直线平行，则直线与的距离为 . 9．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ． 10．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 11．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 12．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 13．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 14．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求的面积， 15.（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且经过点． (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 第二章直线和圆的方程 ---06 直线的交点坐标与距离公式 1、 问题导学： 1.引人平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，那么如何借助直线方程确定两条相交直线的坐标呢？已知两条直线相交，它们的交点坐标与直线的方程有什么关系？ 2.如何利用坐标思想求平面上两点间距离、点到直线距离以及两条平行线之间的距离呢？ 二、知识构建 知识点一　两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. 2.两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 3. 两条直线相交的条件 (1)将两个直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两条直线是否相交．当方程组只有一解时，两条直线相交． (2)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 4.直线系方程 过直线与的交点的直线系方程为，但不包括直线. 知识点二　距离公式 1.两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 2.点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 注意 (1)直线方程应为一般式 (2)点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系． 3．两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 温馨提示： (1)求两条平行直线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式． (2)利用公式求平行直线间的距离时，两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等 知识点三 对称问题 1.点关于点对称：该点是两对称点连线段的中点． 利用中点坐标公式，面内点关于对称点坐标为，平面内点，关于点对称． 2.直线关于点对称：实质是两直线平行 法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）． 法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）． 3.点关于直线对称：实质上轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 当直线斜率存在时：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，设点关于直线的对称点， 则 当直线斜率不存在时：点关于的对称点为． 4.直线关于直线对称 ①当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题； 求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线 第一步：联立算出交点； 第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点； 第三步：利用两点式写出方程． ②当与l平行时：对称直线与已知直线平行． 两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得． 三、类型剖析 题型一 两条直线的交点问题 题型二 两点间的距离公式 题型三 点到直线的距离 题型四 两条平行线间的距离 题型五 直线的对称问题 题型六 入射光线反射关系问题 四、类型应用 题型一 两条直线的交点问题 （一）求直线交点坐标 【例1】（22-23高二·全国·课堂例题）求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：. 【答案】交点，作图见解析 【分析】求得方程组的解，得到交点坐标，结合直线方程，画出图形. 【详解】由方程组，解得得，所以与的交点是， 如图所示：    【跟踪训练1-1】（21-22高二·全国·课后作业）求下列各组直线的交点坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】分别联立两直线方程即可得解. 【详解】（1）联立，解得，所以交点坐标为； （2）联立，解得，所以交点坐标为； （3）联立，解得，所以交点坐标为. 【跟踪训练1-2】（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【答案】B. 【分析】先根据垂直关系求解出的值，然后联立直线方程可求交点坐标. 【解析】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为， 故选：B. （二）由方程组解的个数判断直线的位置关系 【例2】（2024·高二课时练习）分别判断下列直线与是否相交．如果相交，求出交点的坐标． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交 (3)不相交 【分析】分别联立方程组，解方程求解即可判断. 【详解】（1）解方程组，得， 所以与相交，交点坐标为． （2）解方程组，方程组无解， 所以与无公共点，即与不相交． （3）解方程组， 因为方程可化为， 所以方程组有无数组解， 所以与有无数个公共点，即与不相交． 【跟踪训练2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)平行 (3)重合 【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标； （2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行； （3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断. 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． （三）由两条直线的交点位置或个数求参数 【例3】（24-25高二上·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【解析】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，．故选：B． 【跟踪训练3】（23-24高二上·北京丰台·期中）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】, 所以交点为,由于在第二象限， 所以， 所以的取值范围为，故选：D （四）求过交点的直线方程 【例4】（22-23高二·全国·课堂例题）已知直线l经过原点，且经过如下两条直线，的交点，求直线l的方程． 【答案】． 【分析】利用两直线的交点坐标的求解方法求出交点坐标，再利用两点式方程求解. 【详解】因为方程组的解为， 所以两条直线和的交点坐标为， 从而由题意知直线l经过点． 又直线l经过原点，所以直线l的方程为，即． 【跟踪训练4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l过直线与的交点，且平行于，求直线l的方程． 【答案】 【分析】根据两直线的交点坐标的求解方法和两直线平行与斜率的关系求解. 【详解】联立，解得，即的交点为， 设所求直线方程为， 因为所求直线过点，所以，解得， 所以所求直线方程为. 【跟踪训练4-2】（21-22高二·江苏·课后作业）已知直线l过两条直线和的交点，且与直线垂直，求直线l的方程. 【答案】 【分析】两直线方程联立求得交点坐标，由垂直得斜率，再由点斜式得直线方程并化简． 【详解】由得，交点为， 的斜率为，与它垂直的直线斜率为， 所求直线方程为，即． 【跟踪训练4-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）已知直线l经过直线和的交点，且直线l在坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是 . 【答案】或 【解析】由，解得，即直线过点， 当直线过原点时，直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. （五） 三线围成三角形问题 【例5】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 【跟踪训练5】（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）（多选）若三条直线可以围成一个三角形，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】BD 【解析】根据题意可知三条直线两两都不平行，且不同时过同一个点； 当平行时可得，此时不合题意，因此； 联立，即，解得交点坐标为， 因此不在上，即可得，可得； 所以若三条直线围成一个三角形，只需且即可.故选：BD 题型二 两点间的距离公式 （一）求两点间的距离 【例6】（22-23高二·全国·课堂例题）已知是的三个顶点，求这个三角形边上中线的长. 【答案】 【分析】求出的中点坐标，即可得出这个三角形边上中线的长. 【详解】由题意， 在中， 设的中点为，则 ， 从而可知所求中线长为 .    【跟踪训练6】（23-24高二·全国·课后作业）求下列两点间的距离： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由平面内两点间的距离公式可直接求解. 【详解】（1）因为，，由两点间的距离公式有； （2）因为，，由两点间的距离公式有； （3）因为，，由两点间的距离公式有. （二）由两点间的距离求参数 【例7】（2024高二上·全国·专题练习）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【答案】 【分析】通过两点距离公式联立求解即可. 【详解】设所求点为， 则， ， 由得 解得， 所以，所求点， . 【跟踪训练7】（23-24高二·全国·课后作业）已知点，在轴上的点与点的距离等于，求点的坐标． 【答案】或 【分析】设，利用两点间的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】设，则，解得或， 所以或 （三）运用坐标法解决平面几何问题 【例8】（23-24高二·人教版·例题）证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和． 【答案】证明见解析 【分析】首先写出已知、求证，以顶点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用两点间的距离公式，即可证明． 【详解】已知平行四边形，求证：. 证明：如图，四边形是平行四边形，以顶点为坐标原点，以所在直线为轴建立直角坐标系， 则，设，， 由平行四边形的性质得点的坐标为， 由两点间的距离公式，得，，，， 所以，． 所以， 又，， 所以， 即平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和． 题型三 点到直线的距离 （一）求点到直线的距离 【例9】（22-23高二·全国·课堂例题）分别求点到下列直线的距离： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用点到直线距离公式分别计算. 【详解】（1）根据点到直线的距离公式，得 （2）因为直线即平行于y轴，所以. 【跟踪训练9-1】（23-24高二上·全国·课后作业）求下列点到直线的距离： （1），； （2），； （3），． 【答案】（1）；（2）0；（3） 【分析】由点到直线的距离公式对各小题进行计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； 【跟踪训练9-2】（23-24高二下·全国·课堂例题）已知的顶点，，.求的面积. 【答案】5 【分析】求出直线的斜率，直接利用点斜式得到直线的方程，然后求出点到直线的距离和，再结合三角形面积公式即可得结果. 【详解】直线的斜率， 由直线方程的点斜式可得， 化简可得. 所以点到直线的距离， 且， 则. 【跟踪训练9-3】（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，. (1)求直线CD的方程； (2)求平行四边形ABCD的面积. 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由平行四边形ABCD的性质求出CD的斜率，由此能求出直线CD的方程； （2）求出点到直线CD的距离d和，由此能求出平行四边形的面积． 【详解】（1）∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，， ∴， ∴直线CD的方程为：， 整理得直线CD的方程为． （2）点到直线CD的距离， ， ∴平行四边形的面积. （二）已知点到直线的距离求参数 【例10】（21-22高二·全国·课后作业）已知点到直线的距离为3，求实数m的值． 【答案】. 【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】由，因为点到直线的距离为3， 所以有 【跟踪训练10】（21-22高二上·全国·课后作业）已知点到直线的距离为1，求C的值． 【答案】15或5 【分析】直接利用点到直线距离公式列方程求解即可. 【详解】点到直线的距离为， 即， 故， 即或 （三）与点到直线的距离有关的最值问题 【例11】（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解. 【详解】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 【跟踪训练11】（23-24高二上·江西抚州·月考）点到直线的最大距离为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【解析】由题意知，直线即， 所以该直线恒过定点， 则点到直线的最大距离即为点到定点的距离， 即.故选：C. 题型四 两条平行线间的距离 （一）求平行线间的距离 【例12】（22-23高二·全国·课堂例题）已知两条平行直线，，求与间的距离． 【答案】 【分析】在上选取一点，如与坐标抽的交点，用点到直线的距离公式求这点到的距离，即与间的距离．或者直接利用平行线间距离公式求解. 【详解】设与x轴的交点为A，则A． 点A到直线的距离 所以与间的距离为． 或者，，故平行线间的距离为 【跟踪训练12-1】（23-24高二上·全国·课后作业）求下列两条平行直线间的距离： （1），； （2），． 【答案】（1）；（2）2 【分析】根据平行线的距离公式分别求解即可. 【详解】（1）； （2） 【跟踪训练12-2】（21-22高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与间的距离为3，求C的值． 【答案】或 【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可. 【详解】因为两条平行直线与间的距离为3， 所以，解得或. 【跟踪训练12-3】（23-24高二上·广东汕头·月考）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，因为两直线平行， 所以， 所以两直线方程分别为和， 即和， 所以两直线距离为.故选：B （三） 距离的综合应用 【例13】（23-24高二上·全国·课后作业）求与直线平行且距离为3的直线的方程． 【答案】或. 【分析】根据题意，设直线方程为，再结合两平行直线距离公式即可得到结果. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为两平行直线距离为3，即，解得或， 故所求方程为或. 【跟踪训练13】（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l过点，若原点到l的距离为2，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，因为原点到l的距离为2，当直线的斜率不存在时，满足，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，得到直线方程，利用点到直线的距离公式求出，即可得到直线l的方程． 【详解】当直线的斜率不存在时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线过点， 直线的方程为，即， 又原点到直线的距离为2， ， ，， ，， 直线的方程为，即， 所以，直线l的方程为或． 题型五 对称问题 （一）求点关于直线的对称点 【例14】（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为，故选：B 【跟踪训练14-1】（23-24高二下·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求对称点的坐标为，根据垂直平分列方程组求解即可. 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 【跟踪训练14-2】（22-23高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案. 【详解】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 故答案为： （二）求直线关于点的对称直线 【例15】关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是.故选：C 【跟踪训练15-1】（22-23高二·江苏·课后作业）已知直线，求： (1)直线l关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线l对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线关于的对称直线上任意一点为，求得点关于点的对称点，代入直线，即可求解； （2）由，两直线的交点坐标为，再在直线上取一点，求得关于直线的对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）解：设直线关于的对称直线上任意一点为， 则点关于点的对称为， 则，解得，即, 将点代入直线，可得， 整理得，即对称直线的方程为. （2）解：由，解得， 即直线与的交点坐标为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，所以直线的方程为， 整理得， 即直线关于直线l对称的直线的方程为. 【跟踪训练15-2】（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D （三）求直线关于直线的对称直线 【例16】（2024高三·全国·专题练习）求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】法一，联立方程解出和的交点坐标，直线也过该点，在直线上取一点，求出点M关于直线l的对称点坐标，由两点式可得到直线的方程；法二，联立方程解出和的交点坐标，设直线的斜率为，由点斜式设出直线的方程，在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等，求出，即可求得直线的方程；法三，由于对称轴的斜率为，可用直接代入的方法：把，代入的方程，即可求得直线的方程. 【详解】解法一：由，得两直线的交点， 在直线上取一点，设点M关于直线l的对称点为， 则，解得，由题意知经过此点， 则由两点式得，即， 所以的方程为． 解法二：由解法一得，设直线的方程为，即， 在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等， 即，解得或（舍去）． ∴的方程为． 解法三：由于对称轴的斜率为， 可用直接代入的方法：把，代入， 得，即， ∴的方程为． 【点睛】方法点睛：解法三，凡对称轴方程的斜率为，均可用代入法．如果对称轴方程的斜率不为，则不能用此法，只能用上述的解法一和解法二． 【跟踪训练16】（23-24高二上·江苏常州·月考）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为， 在上取一点，设它关于直线的对称点为， 则有，整理得，解得，即， 由，，可得所求直线方程为，即，故选：C. （六）反射光线问题 【例17】（23-24高二上·全国·课后作业）已知光线从点入射，经过直线反射，反射光线经过点，则入射光线所在的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，先求得点关于的对称点，从而得到，再由点斜式即可得到结果. 【详解】直线的斜率为1，根据点关于斜率为的直线直接求对称点的结论：知求，知求可得， 当时代入得； 当时代入得，即得关于的对称点； 入射光线所在直线方程为：； 化简得：. 故答案为：. 【跟踪训练17】一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点，点，再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程． 【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 5、 素养提升： 1.（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离相等，可得过的中点，或的斜率与的斜率相等，进而两种情况进行判断. 【详解】由题知，过的中点，或的斜率与的斜率相等， 又的中点为， 则过点的直线为AD选项； 又的斜率为，则B选项符合条件. 故选：ABD 2.（21-22高二·全国·课后作业）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即. 故答案为：. 3.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【分析】根据点关于直线的对称，进而根据两点距离公式即可求解. 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    六、随堂检测 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式求出答案. 【详解】A，B两点间的距离为. 故选：B 2．（24-25高二上·全国·课后作业）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二元一次方程组即得交点坐标. 【详解】解方程组，得， 所以所求交点坐标为. 故选：B 3．（23-24高二下·全国·随堂练习）点到直线的距离是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】直接利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】由题意可得：点到直线的距离. 故选：A. 4．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可 【详解】由两点间的距离公式，及可得：，解得. 故选：A 5．（23-24高二上·全国·课后作业）已知到直线的距离等于3，则a的值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】 由距离公式，解方程得出a的值. 【详解】由距离公式可得，，即解得或. 故选：C 6．（23-24高二下·上海·期中）直线，若三条直线无法构成三角形，则实数可取值的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分、、及三条直线相交于一点四种情况讨论，分别求出所对应的的值，即可得解. 【详解】①时，则，解得，经检验符合题意； ②时，则，解得，经检验符合题意； ③时，则，解得，经检验符合题意； ④三条直线交于一点，解得或， 则实数可取值的集合为，即符合题意的实数共6个. 故选：D 7．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 8．（22-23高二上·四川成都·阶段练习），与直线平行，则直线与的距离为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行的条件列出方程即可求出m的值，求出直线的方程，再由两平行线间的距离公式求出直线与的距离． 【详解】因为//，所以，解得， ， ， 由两平行直线的距离公式可得：， 故答案为： 9．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 10．（2024·山东·二模）过直线和的交点，倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】联立与可得， 故交点为，倾斜角为，所以斜率为1， 故直线方程为，即， 故答案为： 11．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 . 【答案】或 【分析】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为，求所求直线在轴和轴上的截距，由条件列方程求，由此可得结论． 【详解】联立，解得， 所以直线与的交点坐标为， 由已知所求直线的斜率存在且不为， 故可设所求直线方程为，其中， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 令，可得，即所求直线在轴上的截距为， 由已知可得， 所以， 所以或， 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 12．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【分析】求出关于的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可. 【详解】设关于的对称点， 则有，解得，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为： 13．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）解方程组求出点的坐标，设出直线方程，利用待定系数法求解即提. 【详解】（1）由，解得，即点， 设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. （2）由（1）知，点，设所求直线方程为， 则，解得， 所以所求方程为. 14．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求的面积， 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用垂直关系和两点连线斜率公式可求得三条高所在直线斜率，利用直线点斜式方程可整理得到结果； （2）利用点到直线距离公式和两点间距离公式可分别求得底边长和高，代入三角形面积公式即可. 【详解】（1），，， 边上的高所在直线斜率，边上的高所在直线斜率，边上的高所在直线斜率， 边上的高所在直线方程为：，即； 边上的高所在直线方程为：，即； 边上的高所在直线方程为：，即. （2）所在直线方程为：，即， 点到边的距离， 又， 的面积. 15.（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且经过点． (1)求直线的方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由倾斜角和斜率的关系求斜率，根据点斜式求直线的方程； （2）设点的坐标为，由条件列方程求即可. 【详解】（1）设直线的斜率为， 因为直线的倾斜角为， 所以， 所以直线的方程为，即 （2）设点的坐标为， 则，解得， 所以点的坐标为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$