24.2.2 直线和圆的位置关系(圆的切线的证明)课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.2.2 直线和圆的位置关系（圆的切线的证明） 教学目标 复习圆的切线证明方法：定义法、距离法、判定定理法。 灵活运用圆的切线判定方法解决问题。 热身训练 1.已知⊙O的半径是5，直线l是⊙O的切线,则点O到直线l的距离d是__________. 2.如图，A,B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线.若∠AOB=120°，则当锐角∠CAB=____°时，直线AC才能成为⊙O的切线. 第2题 5 60 切线的 判定方法线 定义法：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切.这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. 知识回顾 例1（九年级上第98页例1）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. 证明： 过点O作OE⊥AC于点E 连接OD,OA ∵⊙O与AB相切于点D ∴OD⊥AB 又△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点 ∴AO是∠BAC的平分线 ∵OD⊥AB，OE⊥AC ∴OD=OE 即OE是⊙O的半径，又OE⊥AC ∴AC是⊙O的切线 无明确交点，作垂直，证半径 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. 方法小结： 利用角平分线性质、全等三角形得线段等于半径 （2023年扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°,CB=CD, 连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作☉B，交BD于点E. 试判断CD与☉B的位置关系，并说明理由 . 证明： 过点O作BF⊥CD于点F ∵AD∥BC ∴∠2=∠DBC ∵CB=CD ∴∠DBC=∠1 ∴∠1=∠2 ∵AD⊥AB，BF⊥CD ∴AB=BF 即BF为☉B半径 ∴CD与☉B相切 链接学考 结论：CD与☉B相切 切线的 判定方法线 定义法：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切.这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. 无明确交点，作垂直，证半径 知识回顾 例2（九年级上第101页第4题）如图，直线 AB 经过⊙O上的点C，且OA = OB，CA = CB.求证：直线 AB 是⊙O 的切线. 证明： 连接OC ∵OA = OB，CA = CB ∴OC⊥AB ∵OC是⊙O的半径 ∴直线AB是⊙O的切线 有明确交点，连半径，证垂直 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的 判定方法线 定义法：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切.这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ① ② 无明确交点，作垂直，证半径 知识回顾 有明确交点，连半径，证垂直 1.如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（ ）. A.AB=4，AT=3，BT=5 B.∠B=45°，AB=AT C.∠B=55°，∠TAC=55° D.∠ATC=∠B D 知识应用 方法小结： 1.利用勾股定理逆定理得垂直 2.利用两角互余得垂直 2.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，以下条件不正确的是( ). A.AC∥OD B.AB=AC C.CD=DB D.DE=DO 知识应用 分析： A选项AC∥OD ∴∠ODE=∠CED=90° B选项AB=AC ∴∠B=∠C ∴∠C+∠1=90° ∵DE⊥AC ∵OB=OC ∴∠2=∠B=∠C ∴∠1+∠2=90° ∴∠EDO=90° 2.如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，以下条件不正确的是( ). A.AC∥OD B.AB=AC C.CD=DB D.DE=DO 方法小结： 1.利用平行线性质得垂直 2.利用等角代换得垂直 D 知识应用 分析： ③CD=DB ∵AO=BO ∴OD为△ABC的中位线 ∴AC∥DO ∴∠EDO=∠CED=90° 链接学考 1. 如图①，AB 为半圆的直径，点 O 为圆心， AF 为半圆的切线，过半圆上的点C 作CD∥AB 交AF 于点D，连接BC. (1)（4分）连接 DO，若BC∥OD，求证:CD 是半圆的切线； 1 2 3 图 链接学考 1. 如图①，AB 为半圆的直径，点 O 为圆心， AF 为半圆的切线，过半圆上的点C 作CD∥AB 交AF 于点D，连接BC. (1)（4分）连接 DO，若BC∥OD，求证:CD 是半圆的切线； 证明： 连接CO， ∵BC∥OD ∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵OB=OC ∴∠2=∠4 ∵OA=OC，OD=OD ∴△OAD≌△OCD（SAS） ∴∠OCD=∠OAD=90° ∵AF是半圆的切线 ∴∠OAD=90° ∴∠1=∠3 ∵OC是半圆的半径 ∴CD 是半圆的切线 方法小结： 利用全等三角形转化角得垂直 1 链接学考 可证得四边形BODC是平行四边形 可证得四边形AOCD是正方形 可证得CD 是半圆的切线 1. 如图①，AB 为半圆的直径，点 O 为圆心， AF 为半圆的切线，过半圆上的点C 作CD∥AB 交AF 于点D，连接BC. (1)（4分）连接 DO，若BC∥OD，求证:CD 是半圆的切线； 1 链接学考 可证得四边形BODC是平行四边形 可证得△BOC≌△OAD 可得CD 是半圆的切线 1. 如图①，AB 为半圆的直径，点 O 为圆心， AF 为半圆的切线，过半圆上的点C 作CD∥AB 交AF 于点D，连接BC. (1)（4分）连接 DO，若BC∥OD，求证:CD 是半圆的切线； 可证得∠BOC=∠OAD=90° 1 2.如图,在平行四边形ABCD中,AB=BD,∠A=45°,边AB是半圆O的直径, AD与半圆O交于点E,请仅用无刻度的直尺过点A作出半圆O的切线 . 链接学考 2.如图,在平行四边形ABCD中,AB=BD,∠A=45°,边AB是半圆O的直径, AD与半圆O交于点E,请仅用无刻度的直尺过点A作出半圆O的切线 . 链接学考 切线的 判定方法线 定义法：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切.这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ① ② 无明确交点，作垂直，证半径 有明确交点，连半径，证垂直 课堂小结 A P O 第1题 1.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12, 则PA与☉O的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 2.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°,AT=AB. 求证: AT是⊙O的切线. 2. 如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交边BC于P，BP=PC, PE⊥AC于E。 求证：PE是⊙O的切线。 O A B C E P T O B A 第2题 O A B C E P 第3题 B 思路：利用勾股定理的逆定理证垂直 3.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°,AT=AB. 求证: AT是⊙O的切线. T O B A 第2题 证明： ∵∠ABT=45°,AT=AB ∴ ∠ATB= ∠ABT =45° ∴∠BAT =90°即AT⊥OA ∵ OA是⊙O的半径 ∴ AT是⊙O的切线 圆切线的证明， 借助辅助线牵线搭桥， 以不变方法模型去应万变的图形。 希望同学在备学考中， 用奋斗“牵线”， 将拼搏“搭桥”， 以不变的初心， 去战胜万变的困难。 祝同学们考上自己理想的高中！ 感谢聆听 $$