大单元复习03 圆锥曲线的方程-2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版专用）

大单元复习03 圆锥曲线的方程（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】椭圆的定义及标准方程 9 【考点2】椭圆的焦点三角形 11 【考点3】椭圆的离心率 12 【考点4】椭圆的弦长与弦中点 13 【考点5】双曲线的定义及标准方程 13 【考点6】双曲线的焦点三角形 14 【考点7】双曲线的离心率 16 【考点8】双曲线的渐近线 17 【考点9】双曲线的弦长与弦中点 18 【考点10】抛物线及标准方程 19 【考点11】抛物线的简单几何性质 20 知识梳理 一、椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 注意： (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值. (2)定值必须大于两定点的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在. 二、椭圆的方程 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2 注意： (1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴. (2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同. (3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上. 三、椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0，1) 注意： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 四、离心率的性质 五、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立 消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 六、弦长问题 弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB|＝＝或 |AB|＝. 七、双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注意： (1)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (2)双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|. ①若定义中的常数等于|F1F2|，此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). ②若定义中的常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在. ③若定义中的常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 八、双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 注意： (1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴. (2)两种双曲线－＝1，－＝1(a>0，b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>0，b>0，a2＋b2＝c2；不同点是：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不同. 九、双曲线的几何性质 (1)双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴和虚轴 实轴：线段A1A2，长：2a 虚轴：线段B1B2，长：2b 半实轴长：a，半虚轴长：b 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2c 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. 十、离心率的几何性质 1.填空　离心率 (1)定义：焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e，由a2＋b2＝c2，可得 e＝＝. (2)范围：由c＞a＞0可知，双曲线的离心率e＞1. (3)几何意义：由等式c2＝a2＋b2，得 ＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度. 十一、直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 将①代入②， 得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. a.当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点. b.当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离. 十二、弦长公式： 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝. 十三、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 注意： (1)定义可归纳为“一动，三定”：一动点M，一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值(即动点到焦点和准线的距离比值为常数1). (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 十四、抛物线的方程 抛物线标准方程的几种形式(p＞0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px x＝－ y2＝－2px x＝ x2＝2py y＝－ x2＝－2py y＝ 注意： (1)标准方程结构特征：顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上. (2)p的几何意义：焦点到准线的距离. (3)抛物线的开口方向：其开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围. 十五、抛物线的简单几何性质 四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e＝1 通径长 2p 注意： (1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平. (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直. 十六、抛物线的焦半径与焦点弦 (1)抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦. (2)有关抛物线的焦点弦的结论 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l. ①x1·x2＝，y1·y2＝－p2； ②以弦AB为直径的圆与准线相切； ③|AB|＝x1＋x2＋p＝2(x0＋)＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； ④＋＝为定值(F是抛物线的焦点). 十七、直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. ①若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. ②若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点. 十八、有关弦长问题 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0). 注意： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. 热考题型 【考点1】椭圆的定义及标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·四川达州·期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（21-22高二上·辽宁营口·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，，，若动点P满足，则（    ） A．存在点P，使得 B．面积的最大值为 C．对任意的点P，都有 D．椭圆上存在2个点P，使得的面积为 5．（22-23高二上·福建龙岩·期中）“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（    ） A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6 B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7 C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为 D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 三、填空题 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 . 【考点2】椭圆的焦点三角形 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 3．（2024·浙江金华·三模）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆C上存在两个点，使得 D．的最小值为 5．（23-24高三下·江西·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 三、填空题 6．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 【考点3】椭圆的离心率 一、单选题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）下列方程表示的椭圆中，形状最接近圆的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·北京·阶段练习）设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（    ） A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则 C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若椭圆的离心率为，则 5．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（    ） A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8 C．椭圆C的离心率为 D．的面积为 三、填空题 6．（22-23高二上·广东江门·期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 【考点4】椭圆的弦长与弦中点 一、单选题 1．（24-25高三上·全国·单元测试）已知椭圆的上，下顶点分别为，左、右顶点分别为，若过的中点和原点的弦长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·吉林白山·期末）已知过点的直线与椭圆交于两点，则弦长可能是（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高二·上海·随堂练习）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、B两点，M为线段AB的中点．下列结论中正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若直线方程为，则 三、填空题 6．（23-24高二下·云南·开学考试）已知椭圆的右顶点为，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则该椭圆的离心率为 . 【考点5】双曲线的定义及标准方程 一、单选题 1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 二、多选题 4．（2024·广东广州·二模）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线与交于另一点，则的最小值为6 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 5．（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知两点，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为15，则P到另一个焦点的距离为 . 【考点6】双曲线的焦点三角形 一、单选题 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 4．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知左、右焦点分别为，的椭圆的长轴长为4，过的直线交椭圆于P，Q两点，则（    ） A．离心率 B．若线段垂直于x轴，则 C．的周长为8 D．的内切圆半径为1 5．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知P为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为A，下列结论正确的是（    ） A．的横坐标为2 B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【考点7】双曲线的离心率 一、单选题 1．（2023·广东·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l经过，且与C交于两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ） A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·江西·阶段练习）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 5．（24-25高三上·浙江·开学考试）设双曲线，则（    ） A．的实轴长为2 B．的焦距为 C．的离心率为 D．的渐近线方程为 三、填空题 6．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 【考点8】双曲线的渐近线 一、单选题 1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（2024·浙江·模拟预测）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 3．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（    ） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 三、填空题 6．（23-24高二上·广东江门·期末）写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 . 【考点9】双曲线的弦长与弦中点 一、单选题 1．（23-24高二下·云南曲靖·期中）双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的焦点恰好为矩形的长边中点，且该矩形的顶点都在双曲线上，矩形的长宽比为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，其左右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交双曲线于两点，设线段的中点为，若直线与直线的交点在轴上，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 5．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（    ） A．四边形ABCD一定是平行四边形 B．四边形ABCD可能为菱形 C．AB的中点可能为 D．的值可能为 三、填空题 6．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【考点10】抛物线及标准方程 一、单选题 1．（20-21高三上·黑龙江哈尔滨·期末）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过抛物线上的一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则的最小值是（   ） A．4 B． C．6 D． 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 4．（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知抛物线的准线方程为为的焦点，过点的直线与交于两点，则（    ） A． B．若，则 C．为钝角 D．为定值 三、填空题 6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 【考点11】抛物线的简单几何性质 一、单选题 1．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知为抛物线上的三个点，且，当点与原点О重合时，，则下列说法中，正确的是（    ） A．抛物线方程为 B．直线AB的倾斜角必为锐角 C．若线段AC的中点纵坐标为，AC的斜率为 D．当AB的斜率为2时，B点的纵坐标为 5．（21-22高二上·山西长治·期中）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（    ） A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个 B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个 C．使得的点M有且仅有4个 D．使得的点M有且仅有4个 三、填空题 6．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点（允许重合），满足，且，则的取值范围是 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大单元复习03 圆锥曲线的方程（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】椭圆的定义及标准方程 9 【考点2】椭圆的焦点三角形 14 【考点3】椭圆的离心率 19 【考点4】椭圆的弦长与弦中点 23 【考点5】双曲线的定义及标准方程 27 【考点6】双曲线的焦点三角形 31 【考点7】双曲线的离心率 37 【考点8】双曲线的渐近线 41 【考点9】双曲线的弦长与弦中点 45 【考点10】抛物线及标准方程 50 【考点11】抛物线的简单几何性质 54 知识梳理 一、椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 注意： (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值. (2)定值必须大于两定点的距离. (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段. (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在. 二、椭圆的方程 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2 注意： (1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴. (2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a>b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>b>0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同. (3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上. 三、椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0，1) 注意： (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 四、离心率的性质 五、直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：联立 消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 六、弦长问题 弦长公式：当直线y＝kx＋b(k≠0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB|＝＝或 |AB|＝. 七、双曲线的定义 一般地，把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 注意： (1)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (2)双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|. ①若定义中的常数等于|F1F2|，此时动点轨迹是分别以F1和F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). ②若定义中的常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在. ③若定义中的常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 八、双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 注意： (1)双曲线的标准方程是指当双曲线在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴. (2)两种双曲线－＝1，－＝1(a>0，b>0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a>0，b>0，a2＋b2＝c2；不同点是：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不同. 九、双曲线的几何性质 (1)双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 实轴和虚轴 实轴：线段A1A2，长：2a 虚轴：线段B1B2，长：2b 半实轴长：a，半虚轴长：b 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2c 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) (2)等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x. 十、离心率的几何性质 1.填空　离心率 (1)定义：焦距与实轴长的比叫作双曲线的离心率，记为e，由a2＋b2＝c2，可得 e＝＝. (2)范围：由c＞a＞0可知，双曲线的离心率e＞1. (3)几何意义：由等式c2＝a2＋b2，得 ＝＝＝. 因此e越大，也越大，即渐近线y＝±x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大，因此离心率e可以用来表示双曲线开口的程度. 十一、直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，② 将①代入②， 得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. a.当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点. b.当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)， Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时直线与双曲线相离. 十二、弦长公式： 若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝. 十三、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 注意： (1)定义可归纳为“一动，三定”：一动点M，一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值(即动点到焦点和准线的距离比值为常数1). (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线. 十四、抛物线的方程 抛物线标准方程的几种形式(p＞0) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px x＝－ y2＝－2px x＝ x2＝2py y＝－ x2＝－2py y＝ 注意： (1)标准方程结构特征：顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上. (2)p的几何意义：焦点到准线的距离. (3)抛物线的开口方向：其开口方向取决于一次项变量(x或y)的取值范围. 十五、抛物线的简单几何性质 四种形式的抛物线的几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0，0) 离心率 e＝1 通径长 2p 注意： (1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平. (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直. 十六、抛物线的焦半径与焦点弦 (1)抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦. (2)有关抛物线的焦点弦的结论 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l. ①x1·x2＝，y1·y2＝－p2； ②以弦AB为直径的圆与准线相切； ③|AB|＝x1＋x2＋p＝2(x0＋)＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)； ④＋＝为定值(F是抛物线的焦点). 十七、直线与抛物线的位置关系的判断方法 设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. ①若k2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合. ②若k2≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点. 十八、有关弦长问题 设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝·或|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0). 注意： (1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. (2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况. 热考题型 【考点1】椭圆的定义及标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·四川达州·期末）已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（   ） A．6 B．3 C．4 D．2 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（21-22高二上·辽宁营口·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，，，若动点P满足，则（    ） A．存在点P，使得 B．面积的最大值为 C．对任意的点P，都有 D．椭圆上存在2个点P，使得的面积为 5．（22-23高二上·福建龙岩·期中）“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（    ） A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6 B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7 C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为 D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为 三、填空题 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B D D AD ABD 1．B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 2．D 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 故选:D. 3．D 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围. 【详解】依题意，解得或 故选：D 4．AD 【分析】根据题意求得P的轨迹是椭圆，从而判断椭圆上是否存在点，使得，判断A； 当点P为椭圆上、下顶点时，面积的取最大值，进而判断B； 由椭圆定义知，验证C选项； 求得使得的面积为的P点坐标满足的关系，与椭圆联立，根据判别式判断交点个数，判断D. 【详解】由题知，点P的轨迹是，，焦点在x轴上的椭圆， 则，椭圆方程为， A：当点P为椭圆右顶点时，，故A正确； B：当点P为椭圆上、下顶点时，面积的取最大值， 且最大值为，故B错误； C：， 因，故C错误； D：设使得的面积为的P点坐标为， 由坐标知，，直线的方程为， 则，解得或， 联立，化简得， 则，因此存在两个交点； 同理可得直线与椭圆没有交点； 综上，有且仅有2个点，使得的面积为，故D正确； 故选：AD 5．ABD 【分析】选项A，易得，，从而判断；选项B根据椭圆的性质解决椭圆中两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程． 【详解】解：对于A，因为点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB， 则，， 则， 当位于椭圆的下顶点时取等号， 所以△OAB面积的最大值为6，故A正确； 对于B，半圆上的点到点的距离都是， 半椭圆上的点到点的距离的最小值为，最大值为， 所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确； 对于C，是椭圆的两个焦点， 在△PAB中，，由余弦定理知： ， 当且仅当时取等号， 所以cos∠APB的最小值为，故C错误； 对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆：中取两条切线：和，它们交点为， 该点在蒙日圆上，半径为 此时蒙日圆方程为：，故D正确． 故选：ABD． 6．4 【分析】根据椭圆的对称性，利用三角形中位线定理求得，再由椭圆定义求解即可． 【详解】如图，根据椭圆的对称性，不妨设为左焦点，为右焦点， 由椭圆，得，， 是的中点，是的中点， 为的中位线， ， 由椭圆的定义得． 故答案为：4． 【考点2】椭圆的焦点三角形 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 2．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 3．（2024·浙江金华·三模）已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）已知椭圆C：的左右焦点分别为，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆C上存在两个点，使得 D．的最小值为 5．（23-24高三下·江西·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 三、填空题 6．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D C C ABD ABD 1．D 【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 2．C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 3．C 【分析】先根据题意画出图象，由角平分线的性质可得点到直线与的距离相等，进而利用直线的方程可得点的坐标，然后列方程求点的坐标，从而可得. 【详解】由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：    设，又， 由题意可知，直线的斜率一定存在， 所以，直线，即，则点， 直线，化为一般形式得， 因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 于是，化简得， 即， 又点在椭圆上，所以，得， 因此，，即， 解得或，点在第一象限，所以，， 则点， 所以. 故选：C. 【点睛】思路点睛：首先设点的坐标，再求出直线，直线的表达式以及点的坐标，最后再根据点到角两边的距离相等以及点在椭圆上，解出点的坐标，最后再求线段的长度. 4．ABD 【分析】先求出，根据椭圆的定义即可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义及三角形的面积公式即可判断B；求出的最大值即可判断C；根据椭圆的定义结合基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】由椭圆C：，得，则， 所以， 因为点P是椭圆上的一个动点，所以， 对于A，的周长为，故A正确； 对于B，在中，由余弦定理得， ， 即，则， 所以， 所以的面积为，故B正确； 对于C，当点位于椭圆得上下顶点时，最大， 当点位于椭圆得上下顶点时，， 此时为等边三角形，故的最大值为， 所以椭圆C上不存点，使得，故C错误； 对于D，因为， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 经检验符合题意，所以的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 5．ABD 【分析】利用椭圆的性质以及坐标运算逐一确定选项中的范围，进而判断存在性. 【详解】由已知得： 对于A，由为椭圆上第一象限内任意一点可得，，A正确； 对于B，由，得以为直径的圆与椭圆有4个交点，因而存在点使得，B正确； 对于C，由为椭圆上第一象限内任意一点可得， 又由可得，解得，与矛盾，C错误； 对于D，由已知， 因为， 而，所以，所以存在点，使得，D正确． 故选：ABD． 6． 【分析】结合椭圆定理、勾股定理的逆定理与三角形面积公式计算即可得. 【详解】由椭圆定义可得， 则有，即，， 又， 由，故， 故. 故答案为：. 【考点3】椭圆的离心率 一、单选题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）下列方程表示的椭圆中，形状最接近圆的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·北京·阶段练习）设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（    ） A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则 C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若椭圆的离心率为，则 5．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则（    ） A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8 C．椭圆C的离心率为 D．的面积为 三、填空题 6．（22-23高二上·广东江门·期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D C A BC ABD 1．D 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，求得的面积为，结合，求得，进而得到，代入椭圆的方程，得到，转化为，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 不妨设点在第一象限，由椭圆的定义知， 因为，可得，即， 可得，所以， 所以的面积为，可得，解得， 又因为，可得，即， 将点代入椭圆的方程，可得，整理得， 因为，可得，即， 解得和（舍去），即椭圆的离心率为. 故选：D. 2．C 【分析】根据椭圆方程计算离心率，越接近圆则离心率越小，即可得答案. 【详解】A：，则， B：，则， C：，则， D：，则， 由上C选项中椭圆离心率最小，故最接近圆. 故选：C 3．A 【分析】根据条件知焦点在轴上，再由题设可得，得，即可求解. 【详解】因为椭圆的一个焦点为，所以焦点在轴上， 又离心率为，所以，解得，所以椭圆的方程为， 故选：A. 4．BC 【分析】 由方程表示椭圆可得判断A，再根据其它各项描述及椭圆的性质判断正误即可. 【详解】由题意，A错； 椭圆的焦点在y轴上，则，即，B对； 若，则，故，该椭圆的焦距为4，C对； 若椭圆的离心率为，则或，可得或，D错. 故选：BC 5．ABD 【分析】由已知结合椭圆的定义及性质先求出，，，即可根据焦距，焦点三角形的周长以及离心率求解ABC，根据余弦定理以及三角形面积公式可得D. 【详解】由题意可知，，， 故为等边三角形，则，， 又， 所以，，， 所以焦距，A正确； 离心率，C错误； 由椭圆定义可知，的周长，B正确． 设，则，又， 由余弦定理可得， 所以，D正确， 故选：ABD． 6． 【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案. 【详解】椭圆的离心率为， 设所求椭圆方程为， 则，从而，， 又，∴， ∴所求椭圆的标准方程为. 故答案为： . 【考点4】椭圆的弦长与弦中点 一、单选题 1．（24-25高三上·全国·单元测试）已知椭圆的上，下顶点分别为，左、右顶点分别为，若过的中点和原点的弦长为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆，一组斜率的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·安徽六安·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·吉林白山·期末）已知过点的直线与椭圆交于两点，则弦长可能是（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高二·上海·随堂练习）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、B两点，M为线段AB的中点．下列结论中正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若直线方程为，则 三、填空题 6．（23-24高二下·云南·开学考试）已知椭圆的右顶点为，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则该椭圆的离心率为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A C A BCD BD 1．A 【分析】由题意求得直线的方程为，联立椭圆方程即可求得两个交点坐标，进一步由弦长列方程可得，结合离心率公式即可求解. 【详解】因为的中点坐标为，所以其所在直线的方程为． 则由得或，由题意和椭圆的对称性知， 得，则． 故选：A. 2．C 【分析】根据题意，设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为，结合“点差法”，即可求解. 【详解】设斜率的平行直线与椭圆相交于，且中点为， 可得. 由，两式相减得， 整理得，可得， 即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 3．A 【分析】根据椭圆焦点坐标以及的中点坐标，利用点差法即可得，可求出椭圆的方程. 【详解】不妨设，所以， 两式相减可得，整理可得， 根据题意可知直线的斜率为， 由的中点坐标为可得； 因此，可得， 又焦点为可得，解得； 所以椭圆的方程为. 故选：A 4．BCD 【分析】讨论直线斜率存在性，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式求的范围，即可得答案. 【详解】由，即点在椭圆内， 若直线斜率存在，设直线为，联立椭圆， 整理得，且， 所以， 则， 若直线斜率不存在，则为长轴长，即， 综上，.    故选：BCD 5．BD 【分析】根据椭圆中点弦的性质，可以判断ABC；对于D，直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得，从而判断正误． 【详解】由题意可知：， 对于选项A：设， 则，且， 因为A、B两点在椭圆上，则，相减可得， 整理可得，即， 所以直线AB与OM不相互垂直，故 A错误； 对于选项B：因为， 若点M坐标为，则，可得， 所以直线方程为，即，故B正确； 对于选项C：若直线方程为，点，则， 可得，所以C错误； 对于选项D：若直线方程为， 联立方程，消去y整理得：，解得， 所以，故D正确； 故选：BD． 6．/ 【分析】由题意首先得，进一步结合、已知得，由次可得的值，结合离心率公式即可得解. 【详解】由题意，在中令，其中，可得， 所以， 因为过其焦点且垂直于长轴的弦长为1， 所以，所以，， 所以. 故答案为：. 【考点5】双曲线的定义及标准方程 一、单选题 1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 二、多选题 4．（2024·广东广州·二模）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（    ） A．的最小值为8 B．若直线与交于另一点，则的最小值为6 C．为定值 D．若为的内心，则为定值 5．（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知两点，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）已知双曲线，双曲线C上一点P到一个焦点的距离为15，则P到另一个焦点的距离为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A B B ACD ACD 1．A 【分析】根据双曲线的定义可得，即可求解. 【详解】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点， 所以，故， 由于， 所以， 故选：A 2．B 【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为， 若圆与圆外切，则，， 可得； 若圆与圆内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 3．B 【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得. 【详解】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 4．ACD 【分析】根据双曲线的定义判断A；取直线可判断B；由向量的数量积公式和运算律进行化简判断C；根据双曲线的定义判断D. 【详解】对A，得，所以， 所以， 当为双曲线右支与轴交点时，取等号， 即的最小值为8，故A正确； 对B，若直线经过，当直线的斜率为0时，直线的方程为， 与双曲线的两个交点为，此时，故B错误； 对C，因为， 所以，， 两式相加得，， 所以，故C正确； 对D，设为的内心， ， ， ， 在双曲线上，,为定值，D正确， 故选：ACD． 5．ACD 【分析】首先求得满足的轨迹方程，再转化为判断直线与双曲线右支有交点，即可求解. 【详解】，所以点是以为焦点的双曲线的右支， 此时，，，， 所以双曲线方程是，， “B型直线”是指直线与双曲线，有交点， A. ，，，且，所以存在正根，即直线与双曲线右支有交点，所以是“型直线”，故A正确； B.是双曲线的渐近线，所以直线不会和双曲线有交点，所以不是“型直线”，故B正确； C.和双曲线，有交点，所以是“型直线”，故C正确； D.联立，代入解得，那么是“型直线”，故D正确. 故选：ACD 6．31 【分析】根据题意结合双曲线的定义即可求解. 【详解】由双曲线方程可知， 设双曲线的左、右焦点分别为，，则， 根据对称性不妨设， 由双曲线定义可得，解得， 故答案为：31． 【考点6】双曲线的焦点三角形 一、单选题 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 2．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 4．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知左、右焦点分别为，的椭圆的长轴长为4，过的直线交椭圆于P，Q两点，则（    ） A．离心率 B．若线段垂直于x轴，则 C．的周长为8 D．的内切圆半径为1 5．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知P为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为A，下列结论正确的是（    ） A．的横坐标为2 B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B B B BC ABC 1．B 【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得. 【详解】对于双曲线，则， 根据双曲线定义有， 又，，故． 故选：B    2．B 【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案. 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B. 3．B 【分析】利用双曲线的几何定义，结合图中等腰直角三角形，能求解出的长，从而问题可求解. 【详解】 结合题意可知,设，则， 结合双曲线的定义可得，则， 又由双曲线的定义可得，则，解得， 所以，，， 在中，则余弦定理得： ， 所以，则，即. 故选：B. 4．BC 【分析】首先由题意把参数求出来，根据平方关系、离心率公式运算即可判断A；由题意将代入椭圆方程求出弦长即可判断B；由椭圆定义即可判断C；由的周长是定值，但面积会随着直线的倾斜程度而变化，由此即可判断D. 【详解】对于A，由题意椭圆的长轴长为4，所以，解得， 所以，离心率为，故A错误； 对于B， 由A可知椭圆方程为，由题意若直线的方程为，将其代入椭圆方程可得，即，故B正确； 对于C，的周长为，故C正确； 对于D，由题意直线斜率不为0且经过点，不妨设直线， 将其与椭圆方程联立消去得， ， 一方面， 另一方面，由C选项分析可知，不妨设的内切圆的半径为，所以， 对比两式可知，即与有关，故D错误. 故选：BC. 5．ABC 【分析】求出双曲线的实半轴长及半焦距，再利用双曲线的定义，结合三角形内切圆的性质逐项计算判断即得. 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距， 设的内切圆在，，上的切点分别为，切点，    显然，即，而，则的横坐标为，A正确； 设的内切圆半径为，则，B正确； 延长交于点，由平分，，得，为的中点， 因此，即有，C正确； ，D错误. 故选：ABC 6． 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 【考点7】双曲线的离心率 一、单选题 1．（2023·广东·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线l经过，且与C交于两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是（    ） A．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 B．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 C．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔 D．的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·江西·阶段练习）双曲线与的离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在x轴上，的焦点在y轴上 B．的焦点到其渐近线的距离与的焦点到其渐近线的距离相等 C．的最小值为 D． 5．（24-25高三上·浙江·开学考试）设双曲线，则（    ） A．的实轴长为2 B．的焦距为 C．的离心率为 D．的渐近线方程为 三、填空题 6．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）设双曲线的左右焦点分别为，离心率为为上一点，且，若的面积为，则 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D A C AC BD 1．D 【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率． 【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上． 设，则，，． 在中，，得， 则，. 在中，， 即，得． 所以双曲线C的离心率为. 故选：D. 2．A 【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断. 【详解】因为，， 又双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 因为，所以，即，即， 所以的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔. 故选：A. 3．C 【分析】利用焦半径三角形及双曲线的几何定义，再结合余弦定理，就可以求得离心率，从而也就可以求得渐近线方程. 【详解】 边接，由关于原点对称，可知四边形是平行四边形， 即，，由得：， 又由双曲线的定义得，解得， 再由余弦定理得：， ， 即，再由， 故渐近线方程为：， 故选：C. 4．AC 【分析】根据题意 ，利用双曲线的几何性质，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，根据双曲线的标准方程的形式，可判定A正确； 对于B中，由双曲线的几何性质，可得的焦点到其渐近线的距离为，的焦点到其渐近线的距离为，所以B错误； 对于C中，由， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由（不是定值），当且仅当时，等号成立，所以D错误． 故选：AC 5．BD 【分析】由题意得，由此即可逐一判断每一选项. 【详解】，即 由题意，所有， 所以的实轴长为，的焦距为，的离心率为， 的渐近线方程为，即，故AC错误，BD正确. 故选：BD. 6．2 【分析】根据双曲线定义以及余弦定理，由双曲线离心率和的面积为可解得. 【详解】不妨取点在第一象限，如下图所示：    根据双曲线定义可得，且； 由离心率为可得，可得，即； 设，则； 由的面积为可得， 解得； 利用余弦定理可得， 即，整理可得， 即，所以，解得. 故答案为：2 【考点8】双曲线的渐近线 一、单选题 1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）双曲线的一条渐近线为，则C的离心率为（    ） A． B． C．2 D．4 2．（2024·浙江·模拟预测）双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 3．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（    ）条. A．0 B．1 C．2 D．3 二、多选题 4．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（    ） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 三、填空题 6．（23-24高二上·广东江门·期末）写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C C D AD BC 1．C 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】由双曲线方程易知C的渐近线为， 所以，则. 故选：C 2．C 【分析】设，通过题意求出直线的方程、直线的方程，之后联立直线的方程、直线的方程及双曲线方程，计算即可得出答案． 【详解】设，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图： 设、，，双曲线其中一条渐近线为， 直线的方程为，① 由，得，即直线的斜率为，直线方程为，② 由点在双曲线上，得，③ 联立①③，得，联立①②，得， 则，即，因此， 所以离心率． 故选：C 3．D 【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可. 【详解】由题可设双曲线C的方程为（）， 将点代入上式得：， 故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为， 当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意， 当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意， 综上，这样的直线共有3条. 故选：D. 4．AD 【分析】根据已知，结合四边形的形状判断AB；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，结合与之间的关系求最值判断D. 【详解】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形， 由双曲线可知：， 对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，据双曲线定义可知：， 若，则四边形为矩形， 则，所以， 即 所以，所以， 所以，故B不正确； 对于C，由双曲线的方程可知， 在中，， 又因为双曲线渐近线方程为：，所以， 所以，即，故C错误； 对于D， 当且仅当时，取到最小值为4，故D正确． 故选：AD． 5．BC 【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，以及内切圆的定义，即可依次计算判断. 【详解】对于A，双曲线C：的渐近线方程，则， 于是双曲线C的方程为，A错误； 对于B，双曲线C的离心率，B正确； 对于C，， ，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确； 对于D，由点 在双曲线上支上，得，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D错误. 故选：BC 6．（答案不唯一） 【分析】设所求双曲线的方程为，再根据焦点在轴上，可得，即可得解. 【详解】设所求双曲线的方程为， 因为所求双曲线的焦点在轴上，所以， 则可取， 所以所求双曲线的方程为. 故答案为：.（答案不唯一） 【考点9】双曲线的弦长与弦中点 一、单选题 1．（23-24高二下·云南曲靖·期中）双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的焦点恰好为矩形的长边中点，且该矩形的顶点都在双曲线上，矩形的长宽比为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，其左右顶点分别为，过且与轴垂直的直线交双曲线于两点，设线段的中点为，若直线与直线的交点在轴上，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B．3 C． D． 二、多选题 4．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知双曲线焦距长为6，则（    ） A． B．的离心率为 C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为 5．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（    ） A．四边形ABCD一定是平行四边形 B．四边形ABCD可能为菱形 C．AB的中点可能为 D．的值可能为 三、填空题 6．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D C B BC AD 1．D 【分析】先求双曲线的渐近线，再应用点到直线距离结合圆求弦长即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 根据对称性不妨取，圆的圆心为，半径， 可得圆心到渐近线的距离为， 则弦长为. 故选：D. 2．C 【分析】解法一：先求出长方形一个顶点，代入双曲线方程，结合解二次方程即可求解； 解法二：连接，结合几何图形利用双曲线定义得，即可求解. 【详解】解法一：由题可得，矩形的宽为，则长为， 双曲线以矩形长边中点为焦点，过顶点，如图所示， 则，代入双曲线的方程，得，即. 又因为，所以，即， 等式两边同时除以得. 设，则，即， 解得或（不合题意，舍去），即， 所以. 故选：C. 解法二：连接，由题意知，则，，， 则由双曲线的定义知，即，， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 3．B 【分析】根据题意可得，，，，，，分别求出直线和的方程，从而得到直线和与轴的交点坐标，即可求出答案. 【详解】由题可得：，，，，，， 所以，直线的方程为：， 令，解得：，所以直线与轴交点为， 由于，则直线的方程为：， 令，解得：，所以直线与轴交点为， 因为直线与直线的交点在轴上，所以，解得：， 所以双曲线的离心率， 故选：B 4．BC 【分析】根据焦距得出判断A，B选项，根据渐近线公式计算判断C选项，联立方程求出点的坐标结合两点间距离公式计算判断D选项. 【详解】双曲线焦距长为6，可得，所以A不正确； 可得，所以的离心率为，所以B正确； 的渐近线为，所以C正确； 联立直线与双曲线方程，可得两个交点坐标为， 所以弦长为,D选项错误 故选：BC. 5．AD 【分析】根据双曲线的对称性和双曲线的结合性质，结合中点弦问题“点差法”，以及直线的夹角公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故，， 所以四边形ABCD一定是平行四边形，而直线AC，BD斜率之积为，则AC与BD不垂直，所以四边形ABCD不可能为菱形，A正确，B错误； 设，，则，， 两式作差得， 若的中点为，可得， 代入上式，求得，故AB的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 则，此时，故C错误； 当点A位于第一象限，点B位于第二象限， 设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，结合双曲线渐近线， 易知，，可得， 又因为，所以的取值范围为； 当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为． 综上的取值范围为，所以D正确． 故选：AD. 6． 【分析】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可. 【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 【考点10】抛物线及标准方程 一、单选题 1．（20-21高三上·黑龙江哈尔滨·期末）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）过抛物线上的一点P作圆C：的切线，切点为A，B，则的最小值是（   ） A．4 B． C．6 D． 3．（24-25高三上·广东·阶段练习）记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 4．（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（23-24高二下·山西长治·阶段练习）已知抛物线的准线方程为为的焦点，过点的直线与交于两点，则（    ） A． B．若，则 C．为钝角 D．为定值 三、填空题 6．（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D B B AC ACD 1．D 【分析】根据题意点到直线的距离和到点的距离相等，可得点的轨迹为抛物线，即可得解. 【详解】根据题意，设点，且点在的下方， 故点到直线的距离和到点的距离相等， 所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以的轨迹方程为， 故选：D. 2．B 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径， 由切圆于点，得， 则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 3．B 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】过点作的垂线，垂足为，则， 则，如图所示. 所以的最小值为. 故选：B． 4．AC 【分析】利用抛物线的定义来求焦半径，即可得到答案. 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或， 故选：. 5．ACD 【分析】联立直线抛物线方程可得韦达定理，进而根据弦长公式求解A，根据焦半径公式可判断BD,利用数量积，结合坐标运算即可求解C. 【详解】由题意知，所以，则，设过点的动直线方程为，代入，得，设， 显然，则， 则， 当且仅当时等号成立，故A正确； 由得，，解得，所以，故B错误； ，所以为钝角，故C正确； ，为定值，故D正确. 故选:ACD. 6． 【分析】设，，则，再由，可得，进而可得答案． 【详解】如图， 设，，则， 依题意，四边形为矩形， 则，即， 所以，即， 则， 所以顶点的轨迹方程为， 故答案为:． 【考点11】抛物线的简单几何性质 一、单选题 1．（2024·山东聊城·二模）点在抛物线上，若点到点的距离为6，则点到轴的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C的焦点为F，点E是C的准线与C的对称轴的交点，点P在C上，若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知为抛物线上的三个点，且，当点与原点О重合时，，则下列说法中，正确的是（    ） A．抛物线方程为 B．直线AB的倾斜角必为锐角 C．若线段AC的中点纵坐标为，AC的斜率为 D．当AB的斜率为2时，B点的纵坐标为 5．（21-22高二上·山西长治·期中）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（    ） A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个 B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个 C．使得的点M有且仅有4个 D．使得的点M有且仅有4个 三、填空题 6．（22-23高三下·上海·阶段练习）已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点（允许重合），满足，且，则的取值范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A B B ABD ABD 1．A 【分析】由抛物线的定义知，点到焦点的距离等于点到准线的距离，结合点和准线的位置，求点到轴的距离. 【详解】抛物线开口向右，准线方程为， 点到焦点的距离为6，则点到准线的距离为6， 点在y轴右边，所以点到y轴的距离为4． 故选：A． 2．B 【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 3．B 【分析】 先设，根据图形分别表示出和即可得解. 【详解】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为，则其焦点为， 点是的准线与的对称轴的交点，其坐标为， 点在上，设为，若，则， 且，则. 故选：B. 4．ABD 【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，以及直线的斜率公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当点与原点重合时，直线的斜率为， 设，则，可得， 将代入抛物线方程，可得，解得， 所以抛物线方程为，所以A正确； 对于C中，因为， 若的中点纵坐标为，则，所以C错误； 对于B中，设直线的斜率为，则，， 则，， 因为，可得，所以B正确； 对于D中，由可得，， 即（*）， 由，可得（*）式等价于，即， 化简得，当时，，所以D正确. 故选：ABD． 5．ABD 【分析】为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点；考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个． 【详解】如图，    由为等腰三角形，若，则有两个点；若，则不存在，若，则有两个点，则使得为等腰三角形的点有且仅有4个,故A正确； 由中为直角的点有两个；为直角的点不存在；为直角的点有两个，则使得为直角三角形的点有且仅有4个，故B正确； 若的在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程可得，解得，由对称性可得在第四象限只有一个，则满足的有且只有2个，故C错误； 使得的点在第一象限，可得直线， 代入抛物线的方程，可得，， 可得点有2个；若在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得的点有且只有4个，故D正确． 故选：ABD 6． 【分析】首先求出焦点坐标与准线方程，设，，，根据焦半径公式表示出，，，依题意可得，即可求出的取值范围，即可得解. 【详解】解：设，，， 抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以，，， ，又、、为抛物线上三点，显然三点不完全重合， ，即，， 所以， 因为，所以，等价于， 由对称性，不妨设， 所以，即， 所以，所以， 所以，，， 当时，即； 当时，即; 所以 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$