大单元复习02 直线和圆的方程-2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末大单元复习（新高考人教A版专用）

大单元复习02 直线和圆的方程（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 7 【考点1】倾斜角与斜率 7 【考点2】平行与垂直的综合应用 8 【考点3】直线的方程 9 【考点4】对称问题 10 【考点5】直线的交点坐标与距离公式 11 【考点6】圆的标准方程 12 【考点7】圆的一般方程 12 【考点8】与圆有关的最值问题 13 【考点9】直线与圆的位置关系 15 【考点10】圆与圆的位置关系 16 知识梳理 一、直线的倾斜角 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 二、直线的斜率和方向向量 (1)直线的斜率 ①斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝tan__α. ②斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝. (2)直线的方向向量与斜率的关系如下： 若直线l的斜率为k，则其一个方向向量为(1，k)；若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 三、两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 四、两直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 五、直线的点斜式方程 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 六、直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 七、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为＝.叫做直线的两点式方程. 八、直线截距式方程 若直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为＝，即＋＝1.方程＋＝1叫做直线的截距式方程. 九、直线的一般方程 (1)直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. (2)二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 对于直线方程的一般式，有如下约定： (1)方程中等号的左侧从左向右一般按x，y，常数项的先后顺序排列； (2)x的系数为正； (3)x，y的系数和常数项一般不出现分数. 十、两条直线的交点坐标 两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 十一、两直线的位置关系的判断 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 十二、直线系过定点问题 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. (3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 十三、两点间的距离公式 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|＝ 特例 点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ 十四、坐标法 (1)坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 十五、点到直线的距离 (1)概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立. 十六、两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 十七、圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 注意： (1)当圆心在原点即A(0，0)时，方程为x2＋y2＝r2. (2)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. 十八、点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 十九、圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为. 注意： (1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形. (2)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. 二十、直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次 方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 图形 二十一、用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 二十二、圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r2＞r1)，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<r2－r1 r2－r1<d<r1＋r2 d＝r2－r1 d＝r1＋r2 图示 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 消元， 注意： (1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系. (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. (3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线. 热考题型 【考点1】倾斜角与斜率 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（21-22高二·全国·课后作业）（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 5．（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 【考点2】平行与垂直的综合应用 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 2．（23-24高二下·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 3．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 4．（23-24高二上·陕西榆林·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 5．（22-23高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 三、填空题 6．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线和垂直且，则的最小值为 . 【考点3】直线的方程 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 二、多选题 4．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 三、填空题 6．（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 【考点4】对称问题 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 2．（21-22高二上·广东湛江·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 二、多选题 4．（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 5．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（22-23高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是 . 【考点5】直线的交点坐标与距离公式 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 3．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 二、多选题 4．（24-25高二上·福建三明·开学考试）以下四个命题为真命题的是（ ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线恒过定点 5．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴对称的直线为 C．点到直线的最大距离为 D．与两坐标轴围成的三角形面积为2的直线有4条 三、填空题 6．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【考点6】圆的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（24-25高二下·上海·期末）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 ． 【考点7】圆的一般方程 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（21-22高二上·江苏苏州·周测）已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．的取值范围是 C．圆半径的最小值为 D．存在定点，使得圆恒过点 5．（22-23高二上·广东东莞·期中）已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 三、填空题 6．（23-24高二下·全国·课堂例题）若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为 . 【考点8】与圆有关的最值问题 一、单选题 1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东·阶段练习）方程表示圆心在轴上的圆，当半径最小时，方程为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 二、多选题 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）若A，B是平面内不重合的两定点，动点P满足，则点P的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆．已知点，，动点P满足，点P的轨迹为圆C，则（    ） A．圆C的方程为 B．设动点，则的最大值为20 C．若P点不在x轴上，圆C与线段AB交于点Q，则PQ平分 D．的最大值为72 三、填空题 5．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）如图，正方形的边长为4，E是边AB上的一动点，交EC于点P，且直线FG平分正方形的周长，则当线段BP的长度最小时，点A到直线BP的距离为 ． 6．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）对平面上两点A、B，满足的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆．已知，，，若动点P满足，则的最小值是 ． 【考点9】直线与圆的位置关系 一、单选题 1．（2024·安徽·一模）已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 5．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知直线与圆交于点，点中点为，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为4 C．为定值 D．存在定点，使得为定值 三、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ． 【考点10】圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 4．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 5．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大单元复习02 直线和圆的方程（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 7 【考点1】倾斜角与斜率 7 【考点2】平行与垂直的综合应用 10 【考点3】直线的方程 12 【考点4】对称问题 16 【考点5】直线的交点坐标与距离公式 20 【考点6】圆的标准方程 23 【考点7】圆的一般方程 27 【考点8】与圆有关的最值问题 30 【考点9】直线与圆的位置关系 35 【考点10】圆与圆的位置关系 40 知识梳理 一、直线的倾斜角 (1)直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α＜180°}，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 二、直线的斜率和方向向量 (1)直线的斜率 ①斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k来表示，即k＝tan__α. ②斜率公式：如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，可得斜率公式为k＝. (2)直线的方向向量与斜率的关系如下： 若直线l的斜率为k，则其一个方向向量为(1，k)；若直线的方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 三、两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 四、两直线垂直的判定 图示 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 五、直线的点斜式方程 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 六、直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程形式 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 七、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为＝.叫做直线的两点式方程. 八、直线截距式方程 若直线l与x轴的交点为A(a，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则由两点式得直线l的方程为＝，即＋＝1.方程＋＝1叫做直线的截距式方程. 九、直线的一般方程 (1)直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式. (2)二元一次方程与直线的关系 在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示. 对于直线方程的一般式，有如下约定： (1)方程中等号的左侧从左向右一般按x，y，常数项的先后顺序排列； (2)x的系数为正； (3)x，y的系数和常数项一般不出现分数. 十、两条直线的交点坐标 两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. 十一、两直线的位置关系的判断 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 十二、直线系过定点问题 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0. (3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 十三、两点间的距离公式 条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 结论 |P1P2|＝ 特例 点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ 十四、坐标法 (1)坐标法的概念：坐标法又称解析法，它是把几何问题转化为代数问题，通过建立适当的平面直角坐标系，加以分析研究解决问题的方法. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 十五、点到直线的距离 (1)概念：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足. (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立. 十六、两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 十七、圆的标准方程 (1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 注意： (1)当圆心在原点即A(0，0)时，方程为x2＋y2＝r2. (2)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的. 十八、点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点M在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 十九、圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为(－，－)，半径长为. 注意： (1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形. (2)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. 二十、直线与圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系与判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判定方法 几何法：设圆心到 直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法：由 消元得到一元二次 方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 图形 二十一、用坐标法解决几何问题 用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 二十二、圆与圆的位置关系 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2(r2＞r1)，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距 与半径 的关系 d>r1＋r2 d<r2－r1 r2－r1<d<r1＋r2 d＝r2－r1 d＝r1＋r2 图示 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 消元， 注意： (1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系. (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. (3)两圆外离时有四条公切线，当两圆外切时有三条公切线，当两圆相交时有两条公切线，当两圆内切时只有一条公切线，当两圆内含时无公切线. 热考题型 【考点1】倾斜角与斜率 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（21-22高二·全国·课后作业）（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（    ） A．-2 B．0 C．1 D．2 5．（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知，若点在线段上，则的取值范围是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C C C BCD AC 1．C 【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由的坐标求出直线的斜率，结合的范围可得即的取值范围， 再利用正切函数的性质分析可得的范围，即可得答案. 【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，， 又由，则 故选：C. 2．C 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，由两角差的正切公式以及同角三角函数之间的基本关系计算可得结果. 【详解】设直线，的倾斜角分别为，则,; 因此； 所以. 故选：C 3．C 【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：； 故选：C 4．BCD 【分析】由两点的斜率公式求得，由此得，求解即可. 【详解】由题意得，即，所以， 故选：BCD． 5．AC 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 6． 【分析】设，利用斜率计算公式可得：，．再利用斜率与倾斜角的关系即可得出． 【详解】设，则，， 点是线段上的任意一点， 的取值范围是,， 故答案为：, 【考点2】平行与垂直的综合应用 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 2．（23-24高二下·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（ ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 3．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 4．（23-24高二上·陕西榆林·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．若直线经过第三象限，则， C．点在直线上 D．存在使得直线与直线垂直 5．（22-23高二·江苏·假期作业）（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 三、填空题 6．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知直线和垂直且，则的最小值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B D A ACD AC 1．B 【分析】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【详解】由题意，由点和点，可得，所以的方程为， 又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故选：B． 2．D 【分析】根据坐标可知直线斜率不存在，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【详解】由题意点和点， 所以直线斜率不存在，且直线的方程为， 所以直线与直线垂直. 故选：D. 3．A 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．ACD 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 5．AC 【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 6． 【分析】根据直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，故， 因为，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 【考点3】直线的方程 一、单选题 1．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线，为使这条直线不经过第二象限，则实数的范围是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南岳阳·开学考试）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 二、多选题 4．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）经过点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．方程与方程可表示同一直线 C．经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为 D．过两点的直线都可用方程表示 三、填空题 6．（24-25高二上·湖南衡阳·开学考试）对任意的实数，直线所过的定点为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D D C BC AD 1．D 【分析】对直线分斜率存在和不存在两种情况讨论，由直线不经过第二象限，得到关于实数的不等式，求解不等式，即可得到答案． 【详解】若，即时，直线方程可化为，此时直线不经过第二象限，满足条件； 若，直线方程可化为 ，此时若直线不经过第二象限，则且，解得， 综上满足条件的实数的范围是. 故选：D 2．D 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故D项正确. 故选：D 3．C 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 4．BC 【分析】由题意可知直线的斜率为，分两种情况，由点斜式得到直线方程. 【详解】由题意可知直线的斜率为， 当直线的斜率为1时，直线方程为，化简得； 当直线的斜率为时，直线方程为，化简得. 故选：BC 5．AD 【分析】对于A：先求斜率，进而可得倾斜角； 对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C：设直线l：， 进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D：根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确； 对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误； 对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或， 所以直线方程为或，故C错误； 对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点、的直线，故D正确； 故选：AD. 6． 【分析】将方程化为，列方程求解即可. 【详解】原方程可变形为， 令，解得， 于是有对，都满足方程， 所以这些直线都经过同一定点，该定点的坐标为. 故答案为：. 【考点4】对称问题 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）点P在直线上运动，，则的最大值是（    ） A． B． C．3 D．4 2．（21-22高二上·广东湛江·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 二、多选题 4．（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线与相交于点 B．直线和轴围成的三角形的面积为 C．直线关于原点O对称的直线方程为 D．直线关于直线对称的直线方程为 5．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（22-23高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A A C AC BC 1．A 【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可. 【详解】设关于的对称点为， 则，解得，即 故, , 当且仅当，三点共线时，等号成立. 故选：A 2．A 【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点，点，再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程． 【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 3．C 【分析】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【详解】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 4．AC 【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由解得，所以交点坐标为，A选项正确. 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为， 所以B选项错误. 由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点， 所以直线关于原点O对称的直线方程为， 所以C选项正确. 点关于直线的对称点是； 点关于直线的对称点是， 所以直线关于直线对称的直线方程为， 即，所以D选项错误. 故选：AC 5．BC 【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 6． 【分析】 在直线上任取一点，求该点关于的对称点的坐标，并代入直线即可得出所求方程. 【详解】 设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为， 则,得对称点的坐标为， 又点在直线上， 所以，即. 所以所求直线方程为. 故答案为：. 【考点5】直线的交点坐标与距离公式 一、单选题 1．（23-24高二上·吉林延边·期中）过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知，，，则三角形的面积为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 3．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 二、多选题 4．（24-25高二上·福建三明·开学考试）以下四个命题为真命题的是（ ） A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B．直线的倾斜角的范围是 C．直线与直线之间的距离是 D．直线恒过定点 5．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴对称的直线为 C．点到直线的最大距离为 D．与两坐标轴围成的三角形面积为2的直线有4条 三、填空题 6．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A A B BD BC 1．A 【分析】先求出两直线的交点坐标，再由与直线垂直可设所求直线为，将交点坐标代入可求得结果. 【详解】由，得， 设与直线垂直的直线的方程为，则 ，得， 所以所求直线方程为. 故选：A 2．A 【分析】根据两点间的距离判定三角形为直角三角形，求解即可. 【详解】，, ， ，所以三角形为直角三角形， ， 故选：A. 3．B 【分析】由交点在两条直线，代入点的坐标得的关系，再将关系变形代入点到直线的距离公式消元求最值可得. 【详解】因为两直线交于， 则，即，且，则； 由原点到直线的距离 由， 则，当且仅当时，取最大值，此时. 即两直线重合时，原点到直线的距离最大. 故选：B. 4．BD 【分析】对于A，运用截距式和斜截式分情况讨论判断；对于B，由 ，得到倾斜角的范围判断；对于C，运用平行线间的距离公式计算判断；对于D，将方程化为，恒成立得到， 求出定点为判断即可. 【详解】对于A，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故A错误； 对于B，直线的斜率， 所以倾斜角的范围是，故B正确； 对于C，直线，即为， 故直线与直线之间的距离为，故C错误； 对于D，由， 得，由， 解得，所以定点为，故D正确. 故选：BD. 5．BC 【分析】把直线方程整理成点斜式，令k的系数等于零，可求出直线所过的定点M，即可判断A；在直线上取两点，求出这两点关于x轴对称的点，即可求出关于x轴对称直线的方程，即可判断B；结合A选项，当直线时，点P到直线l的距离最大，即可判断C；分别求出直线与坐标轴的交点坐标，再结合题意即可判断D. 【详解】选项A：由直线l:,得，令，解得，所以直线l过定点,故A错误； 选项B：当时，直线l: ，取两点,分别关于x轴对称的点为,所以l关于x轴对称直线为，故B正确； 选项C：由A选项可知直线l过定点，当直线时，点P到直线l的距离最大，最大距离为，故C正确； 选项D：由直线l:，令，得，当时，，此时直线与x轴没交点，所以，令，得，依题意：，解得或，所以满足条件的直线有3条，故D错误; 故选：BC. 6． 【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论． 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 【考点6】圆的标准方程 一、单选题 1．（23-24高二上·天津·期中）以点为圆心，并与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津南开·期中）已知点，，，则外接圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆经过点、，为直角三角形，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（24-25高二下·上海·期末）过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D B A BC ABC 1．D 【分析】由题意确定圆的半径，即可求解. 【详解】解：由题意，圆心坐标为点，半径为， 则圆的方程为． 故选：D． 2．B 【分析】根据条件可得是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可． 【详解】由题 得是直角三角形，且， 所以圆的半径为，圆心为， 所以外接圆的方程为. 故选：B. 3．A 【分析】首先确定圆心坐标，再求出两圆心的中点坐标与斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 所以、的中点坐标为，又， 则，所以直线的方程为，即. 故选：A 4．BC 【分析】设圆心，由题意可知，，，求出、的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的方程. 【详解】设圆心，由题意可知，，即，解得， 因为为直角三角形，则为直角三角形，则， 即，解得，则圆的半径为， 圆心为，因此，圆的方程为或， 故选：BC. 5．ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 6． 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，结合两直线垂直的斜率相乘等于求得所求直线斜率，最后点斜式写出所求直线方程； 【详解】圆的圆心为，与直线垂直的直线的斜率为1， 所以所求直线为，即． 故答案为：. 【考点7】圆的一般方程 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是，，则这个圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（21-22高二上·江苏苏州·周测）已知二次函数交轴于两点（不重合），交轴于点．圆过三点．下列说法正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．的取值范围是 C．圆半径的最小值为 D．存在定点，使得圆恒过点 5．（22-23高二上·广东东莞·期中）已知圆心为的圆与点，则（    ） A．圆的半径为2 B．点在圆外 C．点在圆内 D．点与圆上任一点距离的最小值为 三、填空题 6．（23-24高二下·全国·课堂例题）若点在圆（为常数）外，则实数的可能取值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B B C AD BD 1．B 【分析】依题意可得，两点的中点坐标即为圆心，两点间的距离即为圆的直径，从而求出圆的标准方程，再化为一般式方程. 【详解】由题意可知该圆的圆心为，圆的直径为，则半径为， 所以圆的方程为，即. 故选：B． 2．B 【分析】对方程配方整理，结合圆的标准方程求的取值范围，以及半径的最大值，即可得结果. 【详解】由题意整理可得：， 则，解得， 且圆的半径， 当且仅当时，等号成立， 即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为. 故选：B. 3．C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 4．AD 【分析】由圆心在中垂线上可知A正确；根据可求得范围，知B错误； 求得坐标后，代入圆的方程可表示出，结合范围可求得，知C错误； 将圆的方程整理为，由此可求得定点，知D正确. 【详解】对于A，对称轴为，过两点的圆的圆心必在中垂线，即上，A正确； 对于B，与轴交于两点，，解得：， 即且，B错误； 对于C，设在左侧，由得：，则， 设圆：，又， ，解得：， 且，，C错误； 对于D，由C可知，圆：， 即，， 令，解得：或，圆恒过定点或，D正确. 故选：AD. 5．BD 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断. 【详解】因为，即， 所以圆心为，半径，故A错误； 又，所以点在圆外，故B正确，C错误； 因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确. 故选：BD 6．（答案不唯一） 【分析】由点A在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 又由圆的一般方程，可得， 即，即或， 所以实数的范围为，例如符合题意. 故答案为：（答案不唯一）. 【考点8】与圆有关的最值问题 一、单选题 1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东·阶段练习）方程表示圆心在轴上的圆，当半径最小时，方程为（    ） A． B． C． D． 3．（21-22高二上·安徽六安·期中）已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 二、多选题 4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）若A，B是平面内不重合的两定点，动点P满足，则点P的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆．已知点，，动点P满足，点P的轨迹为圆C，则（    ） A．圆C的方程为 B．设动点，则的最大值为20 C．若P点不在x轴上，圆C与线段AB交于点Q，则PQ平分 D．的最大值为72 三、填空题 5．（22-23高三下·河北石家庄·阶段练习）如图，正方形的边长为4，E是边AB上的一动点，交EC于点P，且直线FG平分正方形的周长，则当线段BP的长度最小时，点A到直线BP的距离为 ． 6．（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）对平面上两点A、B，满足的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名为阿波罗尼斯圆．已知，，，若动点P满足，则的最小值是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C D B ACD 1．C 【分析】 求出直线过的定点及圆的圆心的坐标，再结合已知求出直线的斜率即可得解. 【详解】依题意，直线，由，解得， 所以直线过定点， 由，得， 所以圆心，半径， 显然，即点在圆内， 所以直线斜率， 当时，直线被圆截得的弦最短， 所以，即，解得, 所以直线的方程为，即， 经检验，此时，满足题意. 故选：C. 2．D 【分析】分析得，再化为标准方程，利用二次函数的性质得到半径的最小值即可. 【详解】由题意得，则， ， 则，对称轴为，代入得最小值为， 此时圆的方程为. 故选：D. 3．B 【分析】根据圆的半径最小时圆的面积最小，然后考察圆的半径即可. 【详解】由，得，易知当，圆的半径最小，即圆的面积最小. 故选：B 4．ACD 【分析】设点代入关系式，化简可得的轨迹方程为一个圆，可判断；利用，化为圆心到点的距离加上圆的半径后，再平方再减去即可判断；根据阿波罗尼斯圆结论判断是否为线段内分点即可判断；根据，将转化为，当,,三点共线时得出最大值即可判断. 【详解】设，由得，故正确； 由题可知， 故的最大值为圆C上的点到点的距离的平方减去25， 即圆心到点的距离加上圆的半径后，再平方再减去25即可， 因为圆上动点P到点的距离最大值为， 所以的最大值为，故不正确； 因为为圆与线段的交点，所以设，且， 所以，因为，所以是线段的内分点，所以平分，故正确； 因为，， 所以， 当,,，四点共线时，，且有最大值为， 所以的最大值为，故正确． 故选：. 5． 【分析】适当建系，求出点P的轨迹及对应方程，再利用圆的性质得出当BP的长最小时，B，P，M三点共线，进而求解即可． 【详解】依题意，由FG平分正方形的周长，得FG恒过正方形的中心， 设正方形的中心为点O，由知，点P的轨迹是以OC为直径的圆， 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系， 则， 以OC为直径的圆的方程为，设M为圆心，则M坐标为， 当BP的长最小时，B，P，M三点共线，此时直线BP的方程为， 则点A到直线BP的距离为. 故答案为： 6． 【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定，利用三角形三边关系可知当三点共线时，，即为所求最小值. 【详解】由题意知：，即， 则（当且仅当三点按顺序共线时取等号）， 又因为，所以的最小值为. 故答案为：.    【考点9】直线与圆的位置关系 一、单选题 1．（2024·安徽·一模）已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·广西南宁·期中）设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线、，切点分别为、，则下列说法中正确的有（    ） A．的取值范围为 B．四边形面积的最小值为 C．存在点使 D．直线过定点 5．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知直线与圆交于点，点中点为，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为4 C．为定值 D．存在定点，使得为定值 三、填空题 6．（2024高三·全国·专题练习）直线与直线交于点，当变化时，点到直线的距离的最大值是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C A C ABD ACD 1．C 【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【详解】设中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C． 2．A 【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案. 【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为， 圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以， 即，解得，即的方程为. 故选：A 3．C 【分析】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【详解】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 4．ABD 【分析】根据切线长公式即可求解A，B，C，设出点的坐标，求出以为直径的圆的方程，利用两圆的方程相减得到公共弦的方程，将代入直线的方程恒成立，可得答案. 【详解】圆心到直线的距离为，    所以，因为圆的半径为，根据切线长公式可得， 当时取等号，所以的取值范围为，所以A正确； 因为，所以四边形面积等于，四边形面积的最小值为，故B正确； 因为，所以，在直角三角形中，，所以，设，因为，整理得，方程无解，所以不存在点使，故C不正确； 对于D，设，则，，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以以为直径的圆的方程为，化简得，所以为圆与以为直径的圆的公共弦， 联立可得，两式相减可得：，即直线的方程为，即，故直线过定点，故D正确； 故选：ABD 5．ACD 【分析】利用直线过定点进行逐项分析，对于A，根据和直线垂直时，取最小值求解即可；对于B，验证直线能否过圆心即可； 对于C，联立直线和圆的方程，将表示出来求解即可；对于D，利用，结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】直线，即， 故直线过定点,且圆的圆心为，半径为2, ，故在圆内， 对于A，当和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，距离， 此时最小，，故A正确； 对于B，当时，为圆的直径，此时直线过圆心， 方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误； 对于C，设，则， 当直线斜率不存在时，，联立圆得，， 此时 当直线斜率存在时，设直线，联立圆， 得，即， ， ，, , 带入得：， 故为定值，故C正确； 对于D，中点为，故,且在上， 所以,故是直角三角形， 当为中点时，为定值，故D正确. 故选：ACD 6． 【分析】首先根据两条直线所过的定点，以及位置关系，确定点的轨迹方程，即可利用几何关系求最值. 【详解】直线过定点，直线过定点， 且直线与直线垂直， 所以点在以为直径的圆上，圆心，半径， 其方程为． 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为： 【考点10】圆与圆的位置关系 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆C：上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江嘉兴·二模）已知圆，若圆上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 4．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知圆，圆．则下列选项正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当圆和圆外切时，若分别是圆上的动点，则 C．若圆和圆共有2条公切线，则 D．当时，圆与圆相交弦的弦长为 5．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A B B ABD ABC 1．A 【分析】将问题转化为圆与圆的位置关系问题，再求解参数即可. 【详解】到原点的距离为的点的轨迹为圆：， 因此圆C：上总存在两个点到原点的距离均为， 转化为圆：与圆C：有两个交点， 因为两圆的圆心和半径分别为，，，， 所以，故，解得或， 故实数a的取值范围是，故A正确. 故选：A 2．B 【分析】由得到点的轨迹是以为直径的圆，依题意，问题转化为两个圆有公共点的问题，解不等式组即得. 【详解】 如图，由可知点的轨迹是以为直径的圆，设为圆， 因，故圆. 依题意知圆与圆必至少有一个公共点. 因，则， 由，解得：. 故选：B. 3．B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 4．ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 【详解】对于A，由圆，圆， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆外切时，，解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD 5．ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 6． 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$