大单元复习01 空间向量与立体几何-2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（人教A版专用）

大单元复习01 空间向量与立体几何（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】空间向量及其运算 9 【考点2】空间向量基本定理 10 【考点3】空间向量及其运算的坐标表示 12 【考点4】用空间向量研究直线、平面的位置关系 14 【考点5】利用空间向量研究异面直线的夹角 15 【考点6】利用空间向量研究线面角 17 【考点7】利用空间向量研究面面角 19 【考点8】利用空间向量研究空间距离 21 【考点9】利用空间向量研究空间折叠问题 23 【考点10】利用空间向量研究探究性问题 25 知识梳理 一、空间向量的有关概念 (1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模. (3)表示法 ①字母表示法：用字母a，b，c，…表示； ②几何表示法：空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. (4)特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 二、空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 三、空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律　 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 四、空间向量共线的充要条件 (1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 ①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. ②直线可以由其上一点和它的方向向量表示. 五、空间向量共面的充要条件 (1)向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 六、空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 七、空间向量的数量积及性质 　(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉. (2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2. (3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②a·b＝b·a； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 八、向量a的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影： 如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. (2)向量a向直线l投影如图(2). (3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量. 九、证明平行、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 十、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 十一、求距离(长度)问题 　|a|＝(||＝). 十二、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. (2)空间直角坐标系的画法 ①空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. ②右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 十三、空间直角坐标系中的坐标 (1)点的坐标：在单位正交基底{i，j，k}下与向量＝xi＋yj＋zk对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. (2)向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). 十四、空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. (2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 十五、空间向量平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则有： 平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R). 垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 十六、夹角和长度的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝＝. (2)空间两点间距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 P1P2＝||＝. 十七、空间中点、直线的向量表示 (1)点的位置向量 在空间，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. (2)空间直线的向量表示式 ①设a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，(Ⅰ) 将＝a代入①式，得＝＋t，(Ⅱ) (Ⅰ)和(Ⅱ)都称为空间直线的向量表示式. ②性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 十八、空间平面的向量表示 空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y. 我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 十九、平面的法向量 平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}. 二十、直线和直线平行 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 二十一、直线与平面平行 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 二十二、平面与平面平行 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 二十三、直线和直线垂直 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 二十四、直线与平面垂直 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 二十五、点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l的上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝. 二十六、点到平面的距离 已知平面α的法向量是n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离PQ＝|·|＝||＝. 二十七、直线(平面)到平面的距离 (1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. (2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 二十八、两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 二十九、直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 三十、两个平面的夹角 二面角 (1)两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角. (2)两平面夹角的计算 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 热考题型 【考点1】空间向量及其运算 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点E是棱长都为2的正四棱锥的棱PC的中点，空间中一点M满足，其中x，y，，且．当最小时，有（    ） A．为等边三角形 B． C．EM与底面ABCD所成的角是 D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为 二、多选题 4．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（   ） A．动点的轨迹长度为； B．异面直线与所成角的正切值为2； C．的最大值为2； D．三棱锥的外接球表面积为. 5．（22-23高三下·广东广州·阶段练习）已知四面体的外接球球心为，内切球球心为，满足平面，，是线段上的动点，实数，满足，实数a，b，c，d满足，则下列说法正确的是（    ） A．， B． C．若，则 D．若，则//平面 三、填空题 6．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 【考点2】空间向量基本定理 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二上·山东泰安·开学考试）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 三、填空题 6．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则 ； .    【考点3】空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题 1．（24-25高二上·河北保定·开学考试）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二下·全国·课前预习）（多选）设，，，且是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间的一组基的有（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 6．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 . 【考点4】用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、单选题 1．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 二、多选题 4．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，是正三角形的一条中位线，将沿折起，构成四棱锥，为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．若平面平面，则的一个方向向量为 D．若，则平面的一个法向量为 5．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 三、填空题 6．（2024·安徽·模拟预测）已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为 . 【考点5】利用空间向量研究异面直线的夹角 一、单选题 1．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）    A． B． C． D． 二、多选题 4．（2023·福建宁德·一模）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．不存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 5．（2023·河南·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（   ） A．平面 B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的正切值为 三、填空题 6．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【考点6】利用空间向量研究线面角 一、解答题 1．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．    (1)若Q为的中点，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角正弦值为，求． 2．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，底面，是线段的中点，在线段上，． (1)证明：平面； (2)在线段上，与所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 3．（2025·广东深圳·一模）如图，平面ABCD，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． (1)求证：平面CPM； (2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求的值． 4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图，在长方体中，，点在棱上移动.    (1)当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值； (2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 5．（24-25高三上·北京昌平·开学考试）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，.      (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．（24-25高三上·重庆·开学考试）如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且.    (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【考点7】利用空间向量研究面面角 一、解答题 1．（24-25高二上·四川巴中·开学考试）如图所示，在三棱锥中，．    (1)求证：； (2)若点D为AP的中点，且，求二面角的大小． 2．（2024·江苏镇江·三模）如图，三棱锥中， ，， ，D是棱AB的中点，点E在棱AC上. (1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）； ①平面⊥平面； ②； ③. (2)若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小. 3．（24-25高三上·山东济南·开学考试）如图，在四棱锥中，底面 ,,，    (1)证明：平面平面 ； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．      (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 5．（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且． (1)已知点G为AF上一点，且，证明：平面DCE； (2)若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为，求点F到平面DCE的距离． 6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面在线段上且是的中点，点在线段上，且．    (1)当时，证明：平面平面； (2)当平面与平面所成的二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积． 【考点8】利用空间向量研究空间距离 一、单选题 1．（2024·江西新余·模拟预测）已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（    ）. A． B．1 C． D． 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题 3．（2024高二·全国·专题练习）（多选）如图，在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 4．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．动点的轨迹长度为 C．不存在点，使得平面 D．四面体DEFG体积的最大值为 三、填空题 5．（21-22高二·全国·课后作业）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 6．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，．则 ；该平行六面体的体积为 ． 【考点9】利用空间向量研究空间折叠问题 一、解答题 1．（23-24高二下·河南·开学考试）如图1，在矩形中，，点分别是上一点，且，过点作于点，将剪掉，并将四边形沿直线折叠，使（如图2），连接，取的中点，连接. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 2．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图1，在梯形中，，过分别作梯形的高，交于点，沿所在直线将梯形折叠，使得点与点重合，记为点，如图2，M是中点，是中点. (1)证明：直线平面； (2)是线段上异于端点的一点，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求平面与平面的夹角的余弦值. 条件①：； 条件②：四棱锥的体积为； 条件③：点到平面的距离为； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（23-24高二上·上海闵行·期中）如图，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱. (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 4．（23-24高二下·海南海口·期末）如图1，在边长为2的正方形中，为的中点，分别将，沿，所在直线折叠，使、两点重合于点，如图2.在三棱锥中，为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 5．（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二 (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、． (1)证明：平面平面； (2)若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值． 【考点10】利用空间向量研究探究性问题 一、解答题 1．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 2．（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二上·河南开封·阶段练习）如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 4．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，在直角梯形中，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点不重合），是上的动点（与点不重合）． (1)证明：平面； (2)若点在平面内，当最小时，求； (3)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点． (1)判定直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)在上是否存在一点，使平面. 6．（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大单元复习01 空间向量与立体几何（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 9 【考点1】空间向量及其运算 9 【考点2】空间向量基本定理 15 【考点3】空间向量及其运算的坐标表示 21 【考点4】用空间向量研究直线、平面的位置关系 26 【考点5】利用空间向量研究异面直线的夹角 32 【考点6】利用空间向量研究线面角 41 【考点7】利用空间向量研究面面角 51 【考点8】利用空间向量研究空间距离 63 【考点9】利用空间向量研究空间折叠问题 69 【考点10】利用空间向量研究探究性问题 80 知识梳理 一、空间向量的有关概念 (1)空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度：空间向量的大小叫做向量的长度或模. (3)表示法 ①字母表示法：用字母a，b，c，…表示； ②几何表示法：空间向量用有向线段表示.若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||. (4)特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 共线(平行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 二、空间向量的加减运算 加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 三、空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ＞0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ＜0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律　 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 四、空间向量共线的充要条件 (1)空间向量共线的充要条件：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)直线的方向向量 ①如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，可知＝λa，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. ②直线可以由其上一点和它的方向向量表示. 五、空间向量共面的充要条件 (1)向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. (2)共面向量 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb 六、空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 七、空间向量的数量积及性质 　(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__〈a，b〉. (2)性质：①零向量与任意向量的数量积为0； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③a·a＝|a||a|cos 〈a，a〉＝|a|2. (3)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R； ②a·b＝b·a； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 八、向量a的投影 (1)在空间，向量a向向量b投影： 如图(1)，先将它们平移到同一平面α内，利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. (2)向量a向直线l投影如图(2). (3)向量a向平面β投影：如图(3)，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量. 九、证明平行、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 十、求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 十一、求距离(长度)问题 　|a|＝(||＝). 十二、空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. (2)空间直角坐标系的画法 ①空间直角坐标系的画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. ②右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 十三、空间直角坐标系中的坐标 (1)点的坐标：在单位正交基底{i，j，k}下与向量＝xi＋yj＋zk对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标. (2)向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). 十四、空间向量的坐标运算 (1)空间向量的坐标：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. (2)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).则有 向量运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 十五、空间向量平行、垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则有： 平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R). 垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. 十六、夹角和长度的坐标表示 (1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，cos〈a，b〉＝＝. (2)空间两点间距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则 P1P2＝||＝. 十七、空间中点、直线的向量表示 (1)点的位置向量 在空间，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示，我们把向量称为点P的位置向量. (2)空间直线的向量表示式 ①设a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，(Ⅰ) 将＝a代入①式，得＝＋t，(Ⅱ) (Ⅰ)和(Ⅱ)都称为空间直线的向量表示式. ②性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 十八、空间平面的向量表示 空间平面的向量表示式 如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y. 我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 十九、平面的法向量 平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A 和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}. 二十、直线和直线平行 两直线平行的判定方法 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 二十一、直线与平面平行 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 二十二、平面与平面平行 平面和平面平行的判定方法 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 二十三、直线和直线垂直 两直线垂直的判定方法 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 二十四、直线与平面垂直 直线和平面垂直的判定方法 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 平面和平面垂直的判定方法 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 二十五、点到直线的距离 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l的上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝. 二十六、点到平面的距离 已知平面α的法向量是n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离PQ＝|·|＝||＝. 二十七、直线(平面)到平面的距离 (1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. (2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 二十八、两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 二十九、直线和平面所成的角 直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 三十、两个平面的夹角 二面角 (1)两平面的夹角 平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面 β的夹角. (2)两平面夹角的计算 设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 热考题型 【考点1】空间向量及其运算 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（    ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知点E是棱长都为2的正四棱锥的棱PC的中点，空间中一点M满足，其中x，y，，且．当最小时，有（    ） A．为等边三角形 B． C．EM与底面ABCD所成的角是 D．四棱锥的外接球被二面角所夹的几何体的体积为 二、多选题 4．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（   ） A．动点的轨迹长度为； B．异面直线与所成角的正切值为2； C．的最大值为2； D．三棱锥的外接球表面积为. 5．（22-23高三下·广东广州·阶段练习）已知四面体的外接球球心为，内切球球心为，满足平面，，是线段上的动点，实数，满足，实数a，b，c，d满足，则下列说法正确的是（    ） A．， B． C．若，则 D．若，则//平面 三、填空题 6．（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 A D D ACD AD 1．A 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 2．D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 3．D 【分析】根据共面向量的推论得到四点共面，再结合最小得到点的位置，然后根据正棱锥的性质判断AB选项；C选项，根据线面角的定义得到为直线与平面所成角，然后求线面角即可；D选项，根据二面角的定义得到为二面角的平面角，根据四棱锥的特点得到为四棱锥外接球的球心，然后根据角的比值求体积即可. 【详解】因为，，所以， 又，所以四点共面， 所以当为四边形的中心时，最小， 对于A：根据正棱锥的性质可得平面， 因为平面，所以，三角形为直角三角形，故A错； 对于B：在直角三角形中，，， 所以三角形为等腰直角三角形， 因为是的中点，所以，故B错； 对于C：因为平面，所以点在底面的投影落在上， 所以为直线与平面所成角， 因为三角形为等腰直角三角形，所以，故C错； 对于D：根据正棱锥的性质可得三角形为等腰三角形，，所以， 因为平面平面，所以为二面角的平面角， 因为， 所以为四棱锥外接球的球心，为直径， 所以四棱锥外接球被二面角所夹的几何体的体积为，故D正确. 故选：D. 4．ACD 【分析】取的中点，分析可知平面.对于A：分析可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B：分析可知异面直线与所成角即为，即可得结果；对于C：根据数量积的几何意义分析判断；对于D：分析可知，进而求球的半径和表面积. 【详解】取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为平面，则平面， 由平面，可得. 对于选项A：在中，， 可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆， 所以动点的轨迹长度为，故A正确 对于选项B：因为∥，∥，则∥， 可知异面直线与所成角即为，其正切值为，故B错误； 对于选项C：因为线段在平面内的投影为， 结合选项A可知：在方向上的投影数量的最大值为1， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 因为平面，且为的外接圆圆心，可知， 则，解得， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确； 故选：ACD. 5．AD 【分析】根据空间向量的“奔驰定理”，即可判断A； 首先确定点的位置，举出特殊位置确定的值，即可判断B； 根据垂直关系的转化，举出特殊位置，即可判断C； 利用垂直，平行的位置关系，即可判断D. 【详解】根据空间向量“奔驰定理”可知，， 因为四面体的内切球球心，所以， 如图，平面，平面，所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 因为，，所以，， 即，故A正确； 因为和是有公共斜边的直角三角形，斜边的中点到顶点的距离都相等，且为，所以四面体外接球的球心为的中点， 若，当P与A重合时，，可取任意值，故B错误；    若P与C重合，满足，但此时不成立，故C错误；    因为平面，平面，故平面平面， 过作，垂足为， 因为面平面，平面，故面， 而面，故，若， 则，而平面，故平面， 故，而平面，平面， 所以平面，故D正确. 故选：AD 【点睛】思路点睛：在空间向量的一些计算中，可以借助平面向量的中的某些定理（如奔驰定理）来处理空间向量中有关问题的计算，另外一些位置关系的判断应该利用基本的判定定理来处理. 6． 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】， 故答案为：. 【考点2】空间向量基本定理 一、单选题 1．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二上·山东泰安·开学考试）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（23-24高二下·江苏泰州·期末）如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，，为的重心，为的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．． B． C．若，则向量共面 D．若，则 三、填空题 6．（23-24高一下·吉林通化·期末）如图，在正四面体中，分别在棱上，且，若，则 ； .    参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B A A ABD ACD 1．B 【分析】直接利用空间向量的基地概念判断选项即可. 【详解】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误； 故选：B 2．A 【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义,将、，用基底表示出来，在应用向量数量积的运算律即可. 【详解】在平行六面体中, 四边形是平行四边形,侧面是正方形, 又是的交点, 所以是的中点, 因为,,, 所以， 所以 ， 所以 又， 所以 ， 可得,， 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 故选：A. 3．A 【分析】设，根据空间向量基本定理即可建立关于，，的方程，解方程即得，，． 【详解】 设； 由题意可知， ，解得； 在基底下的坐标为． 故选：A． 4．ABD 【分析】根据空间向量基底的概念可得解. 【详解】由已知，，不共面，则，，不共面，A选项正确； 设，即方程无解， 所以，，不共面，B选项正确； 设，即，解得： ， 即，所以，，共面，C选项错误； 设，显然三个向量不共面，D选项正确； 故选：ABD. 5．ACD 【分析】结合空间向量线性运算利用表示，结合空间向量基本定理求，判断A，表示，结合模的性质及数量积运算律求其模长，判断B，表示，结合向量共面定理判断C，由，可得，化简可求，判断D. 【详解】延长交与点，因为为的重心， 所以， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以， 所以，A正确； 因为， 所以， 所以， 所以， 又，， 所以，，， 所以， 所以，B错误； 因为， ，， 设，则，，， 所以，， 所以，所以向量共面，C正确； 因为， ， 由可得，， 又，，， 所以， 所以， 所以，D正确. 故选：ACD. 6． 【分析】根据空间向量线性运算法则及基本定理求出、、，再根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】依题意，， 因为 ， 又，所以，所以； 则 . 故答案为：； 【考点3】空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题 1．（24-25高二上·河北保定·开学考试）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东中山·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏常州·期中）如图，在平行六面体中，，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二下·全国·课前预习）（多选）设，，，且是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间的一组基的有（    ） A． B． C． D． 5．（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 6．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则 ；直线与所成角的余弦值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B C A BCD AD 1．B 【分析】根据空间基底的概念对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是空间的一个基底， A选项，由于，所以共面，A选项错误. B选项，由于不存在实数，使得， 所以不共面，所以B选项正确. C选项，由于，所以共面，C选项错误. D选项，由于， 所以共面，D选项错误. 故选：B 2．C 【分析】根据向量线性运算，利用向量表示，再根据向量的模的性质，数量积的运算律求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 又，，，，， 所以 所以. 故选：C. 3．A 【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件用表示出，然后对所得的等式两边平方化简可求得结果. 【详解】平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 所以，即的长为， 故选：A. 4．BCD 【分析】根据给定条件，作出平行六面体，结合图形及基底的意义判断即可. 【详解】在平行六面体中，令，，，如图， 则，，，， 显然四点不共面，则向量也不共面， 同理和也不共面， 选项B，C，D都可以作为空间的一组基， 而点共面，则共面，选项A不能作为空间的一组基. 故选：BCD 5．AD 【分析】由题意可知，，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，， 对于A，，故A正确； 对于B，又因为， 所以， 所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AD． 6． 【分析】表达出，平方后求出，求出；求出，利用向量夹角余弦公式求出异面直线距离的余弦值. 【详解】连接， ， 故； ， 故 ， 故， 则 ， 故直线与所成角的余弦值为. 故答案为：； 【考点4】用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、单选题 1．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（    ） A．平面EFG B．平面EFG C．平面EFG D．平面EFG 二、多选题 4．（22-23高二上·安徽马鞍山·阶段练习）如图，是正三角形的一条中位线，将沿折起，构成四棱锥，为的中点，则（    ） A．平面 B．平面 C．若平面平面，则的一个方向向量为 D．若，则平面的一个法向量为 5．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（    ） A．是平面的一个法向量 B．四点共面 C． D． 三、填空题 6．（2024·安徽·模拟预测）已知正方体的体积为8，且，则当取得最小值时，三棱锥的外接球体积为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 D A D BCD AD 1．D 【分析】运用空间点坐标表示和对称点的坐标变化写出点坐标. 【详解】运用空间点坐标表示和对称规律，知道关于轴对称的点的坐标是. 故选：D. 2．A 【分析】根据线面平行得出，从而即可求解 【详解】若，则，从而， 即，解之得：. 故选：A 3．D 【分析】根据向量垂直可得是平面的一个法向量，即可根据向量的位置关系，逐一判断直线与平面的位置关系. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，    设正方体棱长为2，取的中点为，则平面即为平面, 故与平面相交，故A错误， , 则,, 由于， 故是平面的一个法向量，故平面，故D正确， 由正方体的性质可得与不平行，因此不垂直于平面，C错误， 由于，， 故与法向量不垂直，故与平面不平行，故B错误， 故选：D 4．BCD 【分析】结合面面平行的判定及性质，利用反证法判断A，根据线面垂直的判定定理判断B，建立空间坐标系，求出向量坐标判断C，求出平面的法向量判断D. 【详解】对于A，若平面，因为，平面，平面， 所以平面，又因为，所以平面平面， 但平面与平面相交，所以假设不成立，所以不平行平面，不正确； 对于B，因为，，所以，， 又因为，所以平面，正确； 对于C，将沿折起，使到，且平面平面， 以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设三角形的边长为2， 则，，，，， ，正确； 对于D，设，因为，， 所以， 所以，，， 因为，所以， 所以，， 设平面， 所以， 故，正确． 故选：BCD． 5．AD 【分析】根据向量垂直，即可结合法向量定义求解A，根据共面定理即可求解B，根据向量共线即可求解C，由模长公式即可求解D. 【详解】， 所以平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量，故A正确； 设，则，无解，所以四点不共面，故B错误； ，所以与不平行，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 6．/ 【分析】首先将平面展成与平面同一平面，确定点的位置，再建立空间直角坐标系，确定球心的位置，根据球体积公式计算即可． 【详解】由题意得，，将平面展成与平面同一平面， 当点共线时，此时最小， 在展开图中作，垂足为N， 因为为等腰直角三角形，所以，， 由得，，解得， 在正方体，过点作，垂足为，则， 如图，以D为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则， 因为，所以， 又因为平面，且， 所以平面， 因为， 所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，设，则， 因为， 所以， 解得，即，所以外接球， 所以三棱锥外接球的体积， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：立体图形中求线段和最小值，将线段所在平面展开在同一平面，即可确定最小值；确定立体图形的外接球，可先确定球心所在直线，建立空间直角坐标系求解. 【考点5】利用空间向量研究异面直线的夹角 一、单选题 1．（24-25高二上·河北张家口·开学考试）如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北保定·开学考试）如图，在正方体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（  ）    A． B． C． D． 二、多选题 4．（2023·福建宁德·一模）如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．不存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 5．（2023·河南·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则（   ） A．平面 B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面的夹角的正切值为 三、填空题 6．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 B C D CD ABD 1．B 【分析】建立空间直角坐标系，先利用向量法求，则得线线角. 【详解】连接交于，连接， 由四棱锥是正四棱锥，则平面，且. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由，不妨设，则， 在中，， 则，则， ， 则， 由异面直线与所成角为锐角，所求余弦值为. 故选：B. 2．C 【分析】法一：以基底，表示，代入向量夹角公式计算即可； 法二：分别以所在的直线为轴，通过向量的坐标运算计算即可； 法三：由，将直线和夹角即为直线和所成角或其补角，通过余弦定理即可求解. 【详解】化为空间向量问题，以作为基底，则 ， 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于.进行向量运算 因为四面体为正四面体，所以且夹角均为， 所以 . 故选：C. 【法二】分别以所在的直线为轴 建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2， 得 得. 设向量和的夹角为， 则直线和夹角的余弦值等于. 进行向量运算得.. 故选：C 【法三】连接，易得， 则直线和夹角即为直线和所成角或其补角， 设正方体的棱长为2， 则中，， 由余弦定理得，. 故选：C 3．D 【分析】依题意分别为基底表示出，求出，，再结合数量积运算律求出，根据向量夹角计算公式可得结果. 【详解】根据题意以为基底表示出可得： ，， 又棱两两的夹角均为，不妨取，则； 所以； ； 又 ； 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 4．CD 【分析】建立空间直角坐标系，对选项A，利用向量数量积判断垂直关系；对选项B，利用数量积求异面直线所成的角；对选出C，利用等体积法求三棱锥体积的最大值；对选项D，向量法求直线与平面所成角的正弦值，再根据函数的单调性即可判断. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ， 对于A，假设存在点，使得， 由，，所以， 解得，即点Q与D重合时，，A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线NQ与SA所成的角为， 由，， 所以，方程无解； 所以不存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为，B错误； 对于C，连接； 设，因为， 所以当，即点Q与点D重合时，取得最大值2，又点N到平面AMQ的距离， 所以，C正确； 对于D，由上分析知：，， 若是面QMN的法向量，则， 令，则，得， 因为，设直线DC与平面QMN所成的角为，， 所以， 当点Q自D向C处运动时，的值由0到2变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确. 故选：CD. 5．ABD 【分析】选项A由线面平行的判定定理可证；选项B由线面垂直可证线线垂直；选项CD可由空间向量法可得. 【详解】选项A： 如图连接交于，连接， 由题意可知为的中点，又为的中点，故， 又平面，平面，故平面，故A正确； 选项B：由题意为等边三角形，为的中点， 故, 又棱柱为直三棱柱，故， 又，平面，平面， 故平面，又平面，故，故B正确； 选项C： 如图建立空间直角坐标系，则，，， 因，故， 所以，， 设异面直线与所成角为，则 故C错误； 选项D：由题意平面的一个法向量为， ，，， 设平面的法向量为，则 ，即，设，则，， 故， 设平面与平面的夹角为，则， 故， 故，故D正确， 故选：ABD 6．/ 【分析】以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    则，，，， 所以，， 所以， 则直线与所成角的余弦值为， 故答案为：. 【考点6】利用空间向量研究线面角 一、解答题 1．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）在直三棱柱中，，，，G是的重心，点Q在线段AB（不包括两个端点）上．    (1)若Q为的中点，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角正弦值为，求． 2．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，底面，是线段的中点，在线段上，． (1)证明：平面； (2)在线段上，与所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 3．（2025·广东深圳·一模）如图，平面ABCD，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． (1)求证：平面CPM； (2)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求的值． 4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图，在长方体中，，点在棱上移动.    (1)当点在棱的中点时，求平面与平面所成的夹角的余弦值； (2)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最小，并求出最小值. 5．（24-25高三上·北京昌平·开学考试）如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，.      (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 6．（24-25高三上·重庆·开学考试）如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且.    (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值. 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接，由面面平行的判定得出平面平面，再由面面平行的性质即可证明； （2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据线面夹角的向量公式列出方程求解即可． 【详解】（1）连接并延长，交于点，则为的中点，连接， 因为为直三棱柱，所以平面平面，，， 又分别为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 因为平面，且， 所以平面平面，又平面， 所以平面．    （2）以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设， 则，，， 所以， 由直三棱柱可得，为的中点， 所以，则， 设平面的一个法向量为， 由得，，取，则， 因为直线与平面所成的角正弦值为， 所以， 整理得，，解得或（不合题意舍）  ， 所以．    2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，证得和，得到平面，证得，再由，得到，证得平面，得到，进而证得平面； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，设，根据与所成的角为，求得，得到，求得平面和平面的法向量分别为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为底面，且底面，所以， 又因为为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面，所以平面. （2）解：以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为，可得， 可得， 则，， 因为在线段上，设，其中， 则， 因为与所成的角为，可得， 解得，所以，所以，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的二面角为，其中， 可得，即平面与平面所成的二面角为. 3．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接EM，利用平行公理、线面平行的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出平面PQM的法向量，设出点的坐标，利用线面角的向量求法列式计算即得. 【详解】（1）连接EM，由，得， 又，则四边形为平行四边形， 由点E和M分别为AP和BQ的中点，得且， 而，F为CD的中点，则且， 四边形为平行四边形，则，又平面MPC，平面MPC， 所以平面MPC． （2）由平面，，得直线两两垂直， 以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设为平面PQM的法向量，则， 取，得， 设，即， 则，， 由直线DN与平面PMQ所成的角为，得， 即，整理得，而，解得， 所以. 4．(1) (2)当时，直线与平面所成角的正弦值最小，最小值为 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成的夹角的余弦值； （2）设，可求得平面的一个法向量，直线的方向向量，利用向量法可得，可求正弦值的最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，    当点在棱的中点时，则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成的夹角的余弦值为； （2）设， 则， 则，    设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 令， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 5．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1） 根据，证得平面； （2）建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，，用空间向量求解直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）在三棱柱中，因为平面，平面，所以. 又分别为的中点，则，所以. 因为为中点，所以. 又，平面，平面， 所以平面. （2）由（1）知，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以， 所以两两垂直. 如图，建立空间直角坐标系，    则， 所以. 设平面的一个法向量为， 则即 令，则.于是. 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据的面积相等，得到再由平面证得结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，所以， 由，即， 又因为，可得为边上的高，所以 因为平面且平面所以 又因为且平面，所以平面. （2）解：因为平面且， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为.    【考点7】利用空间向量研究面面角 一、解答题 1．（24-25高二上·四川巴中·开学考试）如图所示，在三棱锥中，．    (1)求证：； (2)若点D为AP的中点，且，求二面角的大小． 2．（2024·江苏镇江·三模）如图，三棱锥中， ，， ，D是棱AB的中点，点E在棱AC上. (1)下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）； ①平面⊥平面； ②； ③. (2)若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小. 3．（24-25高三上·山东济南·开学考试）如图，在四棱锥中，底面 ,,，    (1)证明：平面平面 ； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 4．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且．      (1)求证：； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 5．（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，，，，，，且． (1)已知点G为AF上一点，且，证明：平面DCE； (2)若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为，求点F到平面DCE的距离． 6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，平面在线段上且是的中点，点在线段上，且．    (1)当时，证明：平面平面； (2)当平面与平面所成的二面角的正弦值为时，求四棱锥的体积． 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，得到和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得. （2）由，证得，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，得到，再求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，分别连接， 在中，因为，可得， 在中，因为，可得， 又由，且平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）解：因为且，所以， 又因为，所以， 因为，即， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，可得， 设，因为，可得，即，则， 则且, 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则为锐角， 可得， 所以二面角的大小为.    2．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）若选择①②，则只需证明⊥平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；若选择①③，则只需证明⊥平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；若选择②③，则只需证明⊥平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）选择①②，可证明③. 由，是线段的中点，得⊥. 又平面⊥平面，平面平面，且平面； 所以⊥平面， AC平面ABC，得⊥， 又⊥；，平面， 所以⊥平面． 因为平面，所以， 若选择①③，可证明②. 由，是线段的中点，得⊥. 又平面⊥平面，平面平面，且平面； 所以⊥平面， 平面，得， 又⊥，，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以． 选择②③，可证明①. 由，是线段的中点，得⊥ 因为⊥，⊥， 平面，， 所以⊥平面． PD平面PDE，得⊥， ,平面，所以⊥平面． 又平面，故平面⊥平面. （2）方法一：由（1），选择①②，则③成立. 取线段的中点F，连接， 则由，及是线段的中点， 得⊥. 由（1）知，⊥平面， 以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系三棱锥的体积，且， ，得，得 所以由，是线段的中点，⊥，得： . 所以，，，. 设面与面的法向量分别为，， 则 ， 得：，所以面的一个法向量为. ， 得：，所以面的一个法向量为. 设平面与平面所成二面角为， 则， 因为，所以面与面所成二面角的大小为． 方法二：延长交的延长线于Q，连接， 则平面与平面. 由三棱锥的体积为，且， ，得，解得. 又由，及是线段的中点，⊥， 在等腰直角三角形中，，， 连结CD，在中，，，， 在等腰直角三角形中，，， 在中，， 在中，由，所以， 又由（1）知，⊥平面，是在面内射影， 由三垂线逆定理得：， 则即为二面角的平面角， ， 所以面与面所成二面角的大小为. 3．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的定理证明结果即可； （2）建立如图所示坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入公式计算即可； 【详解】（1）证明：记， 因为，所以， 所以， 即， 又底面平面， 所以， 因为，且平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面．    （2）取中点，连接，则，所以平面， 所以三条直线两两垂直， 分别以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以 设平面的法向量为， 则，可取， 同理设平面的一个法向量为， 则，可取 所以，， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 4．(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，设，， 所以， 则， 则， 故；    （2），则， 则， 则， 又，平面， 所以平面， 故为平面的一个法向量， 又平面的法向量为， 则平面与平面的夹角的余弦值为 ， 又平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，故. 5．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABEG为平行四边形，故O为AE中点，由中位线得到且，即四边形BCHO为平行四边形，故，得到平面DCE，即平面DCE； （2）由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用锐二面角的余弦值列出方程，求出，从而得到点到平面的距离. 【详解】（1）证明：如图，连接AE交BG于点O，取DE中点为H，连接HO，HC，GE， 在四边形ABEG中，，， 故四边形ABEG为平行四边形． 故O为AE中点，所以在中，OH为中位线， 则且，又且， 故且，即四边形BCHO为平行四边形， 所以，又∵平面DCE，平面DCE， ∴平面DCE，即平面DCE． （2）因为平面平面ABEF，平面平面，，平面ABCD，所以平面ABEF， 如图，以点A为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系， 设，，，，，， 则，，， 设平面DCE的法向量为， 则，取， ∵，， 设平面BDF的法向量为，∴，取． 由平面BDF与平面DCE所成锐二面角的余弦值为， 可得， 解得或（舍去） 故，点F到平面DCE的距离， 故点F到平面DCE的距离为． 6．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）接，作交于点，则四边形为平行四边形，在中由余弦定理得，由勾股定理可得，在中，，分别是，的中点，结合中位线及平行的传递性可得，即可得平面，由线面平行判定定理可得结论. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量与二面角平面角之间关系求得值，再由棱锥的体积公式求得结果. 【详解】（1）连接，作交于点，则四边形为平行四边形， ，在中，，，， 由余弦定理得，有，则， 由题设，在中，分别是，的中点，则，， 由，得，由平面，平面， 得，又，且都在面内，则平面， 又平面，所以平面平面.    （2）以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 平面的一个法向量为，设平面的法向量为， 则，令，得， 由平面与平面所成的二面角的正弦值为，得， 于是，解得，， 所以四棱锥的体积. 【考点8】利用空间向量研究空间距离 一、单选题 1．（2024·江西新余·模拟预测）已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（    ）. A． B．1 C． D． 2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题 3．（2024高二·全国·专题练习）（多选）如图，在边长为1的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离为 B．直线到直线的距离为 C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为 4．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知正方体的体积为8，线段的中点分别为，动点在下底面内（含边界），动点在直线上，且，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．动点的轨迹长度为 C．不存在点，使得平面 D．四面体DEFG体积的最大值为 三、填空题 5．（21-22高二·全国·课后作业）若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 6．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，．则 ；该平行六面体的体积为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C C ABD ACD 1．C 【分析】根据题意取，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果. 【详解】由题意取，则， 所以到的距离为 . 故选：C 2．C 【分析】由坐标运算求出，，，进而求出，再求得在方向上的投影，然后即可求出点B到直线AC的距离. 【详解】因为，， 所以，， ， ， 所以在方向上的投影为，， 所以点B到直线AC的距离为. 故选：C. 3．ABD 【分析】建立空间直角坐标系，求出直线的单位方向向量，由点到直线距离的向量公式求解可判断A；先证明，然后由由点到直线距离的向量公式求解可判断B；求出平面的法向量，由点到平面的向量公式可判断CD. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，． 因为，，． 设，所以， 所以点到直线的距离为，故A正确． 因为，，所以， 所以，所以点到直线的距离即为直线到直线的距离． ，． 设，所以， 所以直线到直线的距离为，故B正确． 设平面的一个法向量， 又，，所以 取，则，，所以， 所以． 又，所以点到平面的距离为，故C错误． 因为，平面，所以平面， 所以到平面的距离即为点到平面的距离． 又平面的单位法向量，， 所以直线到平面的距离为，故D正确． 故选：ABD 4．ACD 【分析】对于A，由题意可证平面，因此点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值，据此判断A；对于B，根据题意求出正方体边长及的长，由此可知点的运动轨迹；对于C，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，假设点的坐标，求出的方向向量，假设平面，则平面的法向量和的方向向量共线，进而求出点的坐标，再判断点是否满足B中的轨迹即可；对于D，利用空间直角坐标系求出点到平面的距离，求出距离的最大值即可. 【详解】对于A，如图，连接、， 依题意，，而平面平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，其为定值， 所以点到平面的距离为定值，故三棱维的体积为定值，故正确； 对于B，因为正方体的体积为8，故，则，而， 故， 故动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在底面内的部分，即四分之一圆弧， 故所求轨迹长度为，故B错误； 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 设为平面的法向量，则故 令，故为平面的一个法向量， 设，故， 若平面，则， 则，解得，但， 所以不存在点点，使得平面，故C正确； 对于D，因为为等腰三角形，故， 而点到平面的距离， 令，则， 则，其中， 则四面体体积的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 5． 【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答. 【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而，所以平行平面、间的距离. 故答案为： 6． 【分析】利用空间向量的数量积求向量模长可得第一空，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离求体积即可. 【详解】由题意易知， ； 如图所示，建立空间直角坐标系，则，设， 由题意可知， 不妨取，则， 易知是底面的一个法向量， 所以到底面的距离为. 【考点9】利用空间向量研究空间折叠问题 一、解答题 1．（23-24高二下·河南·开学考试）如图1，在矩形中，，点分别是上一点，且，过点作于点，将剪掉，并将四边形沿直线折叠，使（如图2），连接，取的中点，连接. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 2．（23-24高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）如图1，在梯形中，，过分别作梯形的高，交于点，沿所在直线将梯形折叠，使得点与点重合，记为点，如图2，M是中点，是中点. (1)证明：直线平面； (2)是线段上异于端点的一点，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求平面与平面的夹角的余弦值. 条件①：； 条件②：四棱锥的体积为； 条件③：点到平面的距离为； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（23-24高二上·上海闵行·期中）如图，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱. (1)求四棱锥的体积； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 4．（23-24高二下·海南海口·期末）如图1，在边长为2的正方形中，为的中点，分别将，沿，所在直线折叠，使、两点重合于点，如图2.在三棱锥中，为的中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 5．（2024·安徽合肥·三模）如图一：等腰直角中且，分别沿三角形三边向外作等腰梯形使得，沿三边折叠，使得，重合于，如图二 (1)求证：． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6．（23-24高二上·江西九江·期末）如图，在中，，于现将沿折叠，使为直二面角如图，是棱的中点，连接、、． (1)证明：平面平面； (2)若，且棱上有一点满足，求二面角的正弦值． 参考答案： 1．(1) (2) 【分析】（1）由题意知两两垂直，建立如图空间直角坐标系，即可利用空间向量法求解线面角； （2）求出平面的一个法向量，结合（1），利用空间向量法即可求解面面角. 【详解】（1）由题意知，，， 以为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量为，则 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. （2）设平面的一个法向量，又， 所以令，则，所以， 又平面的法向量， 故， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 2．(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）取的中点为，连接，，证明四边形为平行四边形，得到，得到证明； （2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，分别选择①②③得到，计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：取的中点为，连接，， 则，且，，， 故且，故四边形为平行四边形，， 平面，平面，故直线平面. （2）四边形为正方形，，，故， ，又，，平面， 故平面， 以为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，， 设，，， 若选择①：， 则，， ， 设平面的法向量为，则， 取得到； 设平面的法向量为， 则，取得到； 平面与平面的夹角的余弦值为； 若选择②：设，，， ，故，，，以下同①； 若选项③：设，，， 点到平面的距离为，，以下同①； 3．(1)20 (2) 【分析】（1）首先证明面，然后求解； （2）构建空间直角坐标系，求解面的法向量，然后求解二面角余弦值． 【详解】（1）在正方形中， 因为 所以三棱柱的底面三角形的边， 因为，所以, 所以， 因为正方形 ，, 所以又 所以面. 在直角梯形中, , 所以, 即四棱锥的体积为20. （2） 如图：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则, , 设平面的法向量为 解得：， 所以 又平面的法向量 设的夹角为 由图可知二面角平面与平面所成锐二面角的余弦值为锐角， 所以二面角的余弦值为. 4．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】（1）由条件易知，所以， 而平面，所以平面， 又平面，所以； （2） 取的中点，连接，过O作的平行线， 易知，则， 由上可以以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 即, 设平面的一个法向量， 有，令，则， 所以， 设直线与平面所成角为， 则. 5．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）补全图形得到三棱锥，由线面垂直证得； （2）思路一：建立空间直角坐标系，运用向量求解线面角； 思路二：等体积法求得到平面的距离，再用几何法求得线面角. 【详解】（1）延长交于点过作于，过作于， 又四边形为等腰梯形，则，则， 又，所以，为的中点， 延长交于点，则，为的中点，则， 与重合于点，为三棱锥， 设为中点，等腰直角中， 又为的中点，为的中点，，∴， ，又平面平面， 又平面，. （2）方法一： 为中点，， 又， 以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， ， ，， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 方法二： 为中点，，， 又， 又，平面，∴平面， ，为等边三角形，设到平面的距离为， ∴， . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，，通过底面，证明，然后推出平面，即可证明平面平面； （2）以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可求出正弦值． 【详解】（1）证明：在图中，，是的中点，， 而，，故为二面角的平面角， 又为直二面角，， 而平面，故平面， 而平面，，且，平面， 因此平面，又平面，平面平面. （2）以、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 因，所以，那么， 设平面的法向量， 由且，得，取，则， 设平面的一个法向量，， 则，即，令，则，所以， 于是， 所以二面角的正弦值为． 【考点10】利用空间向量研究探究性问题 一、解答题 1．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面．    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 2．（2024·贵州贵阳·二模）由正棱锥截得的棱台称为正棱台.如图，正四棱台中，分别为的中点，，侧面与底面所成角为.    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由. 3．（24-25高二上·河南开封·阶段练习）如图，在四棱锥 ，平面 ，，且 ，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 4．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图1，在直角梯形中，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点不重合），是上的动点（与点不重合）． (1)证明：平面； (2)若点在平面内，当最小时，求； (3)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 5．（24-25高二上·上海·单元测试）已知在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点． (1)判定直线与平面的位置关系，并说明理由； (2)在上是否存在一点，使平面. 6．（23-24高二下·浙江宁波·期末）如图，在五面体中，四边形为矩形，为等腰直角三角形，且.面面. (1)求证：： (2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由. 参考答案： 1．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质及面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在四棱锥中，底面为矩形，则， 由平面，平面，得， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）依题意，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，由，得，令， 则有，即，， ，由平面，得存在实数使， 即，解得，， ， 设平面的法向量，则，令，， 设平面的法向量，则，令，， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 2．(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）借助中位线的性质可得线线平行，即可得线面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平行，再由面面平行的性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量可用未知数表示出直线与平面所成的角的正弦值，计算即可得解. 【详解】（1）连接、，由分别为的中点，则， 又平面，平面，故平面， 正四棱台中，且， 则四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面， 又，且平面，平面， 故平面平面，又平面，故平面；    （2）正四棱台中，上下底面中心的连线底面， 底面为正方形，故， 故可以为原点，、、为轴，建立空间直角坐标系， 由，侧面与底面所成角为， 则， 则，，， 假设在线段上存在点满足题设，则， 设，则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，，即， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 故， 解得或（舍），故， 故线段上存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为， 此时线段的长为.    3．(1)证明见解析 (2) (3)存在，且. 【分析】（1）建立适当空间直角坐标系后，求出平面的法向量后，借助向量的数量积为零即可得两向量垂直，即可得线面平行； （2）求出平面的法向量后，结合所得平面的法向量，利用夹角公式计算即可得； （3）假设存在，设出对应未知数，可表示出向量，再结合空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）过作，垂足为，则， 如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则， 为的中点，，则， ， 设平面的一个法向量为 ， 则，令，解得， ，即， 又平面，所以平面； （2）设平面的一个法向量为， 所以 ，令，解得， 所以 ， 即平面与平面所成二面角的余弦值为； （3）存在，且，理由如下： 假设线段上存在一点，设， ， 则 又直线与平面所成角的正弦值为， 平面的一个法向量， ， 化简得，即， ，故存在，且. 4．(1)证明见解析； (2)； (3)存在，为线段上靠近点的四等分点. 【分析】（1）先用线面垂直证明线线垂直，然后利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用三点共线时最小，然后结合余弦定理即可求出最小值； （3）建立空间直角坐标系，用参数表示点的坐标，用平面与平面的夹角余弦值建立关于参数的方程，解方程即可得解. 【详解】（1）证明：平面， 平面，因为平面， ， 是中点，， 平面，面． （2）延长至点，使得，由（1）可知，平面，又平面， 平面平面， ， 当，且时，最小， ， （3）假设存在点满足题意，平面平面， 平面平面，平面，平面， 如图所示建系， ，设， 设平面法向量为， ，即， ， 又平面的法向量为， ，满足． 即此时为线段上靠近点的四等分点． 5．(1)平面PCD，理由见解析； (2)存在. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明，即可； （2）存在的中点，使平面．先计算平面的法向量为及，由即可求得. 【详解】（1）直线与平面垂直．理由如下： 依题意，取的中点，连接, 因为平面为等边三角形，所以, 又因为平面平面,且平面平面,平面， 所以平面， 以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，． 所以，，， 所以， ， 即，， 又，平面,平面, 所以平面． （2）存在， 设平面的法向量为，则，， 所以，， 又，， 所以 令，则，， 所以平面的一个法向量为． 取的中点，则． 又，所以． 因为， 所以． 又是平面的法向量，且不在平面上， 所以平面． 故存在的中点，使平面． . 6．(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理即得. （2）取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）由矩形，得，而平面平面，平面平面， 平面，则平面，又面，于是， 而，，平面， 因此平面，又平面， 所以. （2）取的中点，作，连接，由（1）知，平面， 而平面，则，又，，则，即两两垂直， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系， 假定在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，设， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 于是，整理得，解得或， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，此时或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$