精品解析：华东师大版2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

期中复习综合测试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各式中，是方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的方程的解是，则的值是（ ） A. -5 B. -6 C. -3 D. 8 3. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知且，则的值为（ ） A B. C. D. 5. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂x足为点B，点C在y轴上，则的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. 1.5 D. 1 6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）． A. 12cm B. 14cm C. 16cm D. 28cm 7. 一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系如图所示．下列四种说法：其中正确的个数是（　　） ①每分钟的进水量为5升． ②每分钟的出水量为3.75升． ③从计时开始8分钟时，容器内水量为25升． ④容器从进水开始到水全部放完的时间是20分钟． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（　　） A. 54 B. 27 C. 72 D. 45 9. “今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？（选自《孙子算经》）”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少，有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况，如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？嘉嘉准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程为（ ） A. B. C. D. 10. 不等式组解集在数轴上表示为（　　） A B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 如果关于方程的解是，求的值_____________． 12. 若是方程的一个解．则______． 13. 如图，是的外角，，，则的度数是______． 14. 某种商品标价为130元．若以标价的8折出售，仍可获利14元，则该商品的进价为___________． 15. 关于的方程的解为非负数，则的取值范围是___． 16. 若铅笔每支2元，练习本每本3元，买x支铅笔和y本练习本，共用13元．写出以x 和y为未知数的方程是________________． 三．解答题（满分52分） 17. 解下列方程（组）． （1）； （2）； （3）． 18. 解不等式和不等式组，并把解集在数轴上表示出来 （1）； （2）； （3）． 19. 规定新运算：，其中、是常数．已知，． （1）求、的值； （2）若，求，的值； （3）若，，且，求的最小整数值． 20. 在关于，的二元一次方程组中， （1）若，求方程组的解； （2）若，当为何值时，有最小值？是多少？ 21. 已知关于，的方程组的解满足，试求的取值范围． 22. 完成下面的证明： 已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC． 证明：∵AB⊥AC（已知） ∴∠　 　＝90°（ 　 　） ∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知） ∴∠1+∠BAC+∠B＝　 　（ 　 　） 即∠　 　+∠B＝180° ∴AD∥BC（ 　 　） 23. 为庆祝中国共产党的百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π） 24. 如图，已知直线，直线c和直线a、b相交于点C、D． （1）有怎样的数量关系？说明你的理由； （2）如果点M在C、D之间运动，这种关系是否会发生变化？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习综合测试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列各式中，是方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程，直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项是方程，符合题意； B选项不是等式，是代数式，故不符合题意； C选项无未知数，故不是方程，不符合题意； D选项是不等式，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 2. 已知关于的方程的解是，则的值是（ ） A. -5 B. -6 C. -3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数的一元一次方程，从而可求出的值． 【详解】解：把代入原方程得， 解得． 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解的定义和解一元一次方程，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键． 3. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程是二元一次方程，根据定义判断． 【详解】解：A，含有三个未知数，不符合定义，故不符合题意； B，含有未知数的项的次数是2，不符合定义，故不符合题意； C，含有一个未知数，不符合定义，故不符合题意； D，符合定义，故符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，熟记定义是解题的关键． 4. 已知且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先列出关于，的二元一次方程组，然后解方程组求得和的值，再代入中计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，求代数式的值．根据题意建立方程组并求解是解题的关键． 5. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂x足为点B，点C在y轴上，则的面积为（ ） A. 3 B. 2 C. 1.5 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，由题意易得AB∥y轴，则有CH=OB，设点，进而可得，然后根据三角形面积计算可求解． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示： ∵轴， ∴AB∥y轴， ∴CH=OB， 设点，则有， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　）． A. 12cm B. 14cm C. 16cm D. 28cm 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质结合OE⊥BD可得EO是BD的垂直平分线，再利用线段垂直平分线的性质可得BE＝DE，然后可得△ABE的周长． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O ∴BO＝DO 又∵OE⊥BD ∴BE＝DE ∵AB＝6cm，AD＝8cm， ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝14cm 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形、垂直平分线的知识；解题的管家你是熟练掌握平行四边形、垂直平分线的性质，从而完成求解． 7. 一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系如图所示．下列四种说法：其中正确的个数是（　　） ①每分钟的进水量为5升． ②每分钟的出水量为3.75升． ③从计时开始8分钟时，容器内的水量为25升． ④容器从进水开始到水全部放完的时间是20分钟． A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意和图像运用一次函数知识对四种说法逐一判断． 【详解】由题知前4分钟只开进水管且每分钟的进水量是常数知结合图像知，每分钟进水量为（升），故第①种说法正确；由第4到第8分钟的图像结合题意知，每分钟出水量为（升），故第②种说法正确；由图结合题意知第8分钟水池的水量为（升）故第③种说法正确；由题意和图知第12分钟后只开放水管所以放完水还需时间（分钟），从进水开始到放完水需（分钟），故第④种说法正确． 所以正确说法的个数为4个． 故选：D． 【点睛】此题考查一次函数的应用，理解图像，从图像提取相关信息求得k值并理解k值的实际意义是关键． 8. 一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（　　） A. 54 B. 27 C. 72 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】设原数的个位数字是x，则十位数字是9﹣x，则愿两位数是=10（9﹣x）+x，新两位数是10x+（9﹣x），根据新两位数=原两位数+9”列方程求解可得 【详解】设原数的个位数字是x，则十位数字是9﹣x． 根据题意得：10x+（9﹣x）=10（9﹣x）+x+9 解得：x=5，9﹣x=4 ∴原来的两位数为45． 故选D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，找出题目中的相等关系列出方程是解题的关键． 9. “今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？（选自《孙子算经》）”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少，有人在草丛中听到这帮盗贼分赃的情况，如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？嘉嘉准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，可知盗贼人数失窃绸缎数，由此等量关系列出另一方程即可． 【详解】解：盗贼有人，失窃的绸缎有匹， 根据如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，可列另一方程为：， 故选：A． 【点睛】本题考查列二元一次方程解决实际问题，能够根据题意列出二元一次方程是解决本题的关键． 10. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式3-x≥1，得：x≤2， 则不等式组的解集为1＜x≤2， 解集在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 如果关于的方程的解是，求的值_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】将代入可得关于的方程，解出即可． 【详解】解：将代入方程中，得：， 解得：． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 12. 若是方程的一个解．则______． 【答案】5 【解析】 【分析】先由是方程的一个解，得出，然后把化为，再整体代入即可． 【详解】解：把代入方程得：， 则， 故答案为：5． 【点睛】此题考查的知识点是二元一次方程组的解，解题关键是把方程的解代入原方程，得出，然后整体代入． 13. 如图，是的外角，，，则的度数是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵是的外角，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 14. 某种商品标价为130元．若以标价8折出售，仍可获利14元，则该商品的进价为___________． 【答案】90元 【解析】 【分析】设该商品的进价为x元，根据售价减进价等于利润列出方程，解之即可． 【详解】解：设该商品的进价为x元， 由题意可得：， 解得：， ∴该商品的进价为90元， 故答案为：90元． 【点睛】本题考查一元一次方程在解决实际问题中的应用，得到售价的等量关系是解决本题的关键． 15. 关于的方程的解为非负数，则的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程、解一元一次不等式及非负数的意义，根据题意得出不等式及熟练应用以上知识点是解题的关键． 解方程得出 ，由解是非负数列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 解得 关于的方程的解为非负数， 解得． 故答案为： 16. 若铅笔每支2元，练习本每本3元，买x支铅笔和y本练习本，共用13元．写出以x 和y为未知数的方程是________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“买x支铅笔和y本练习本，共用13元”列方程即可； 【详解】由铅笔每支2元，练习本每本3元，买x支铅笔和y本练习本，共用13元，列方程为： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，根据花费的总价钱得到相应的等量关系是解答本题的关键，注意单价与数量的对应关系． 三．解答题（满分52分） 17 解下列方程（组）． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组， （1）按照去分母、去括号、移项合并同类项的步骤解方程即可； （2）利用代入法解方程组即可； （3）利用加减法变为二元一次方程组，解二元一次方程组后，再代入求出第三个未知数即可． 【小问1详解】 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 【小问2详解】 把①代入②得， 解得 把代入①得， 解得 ∴ 【小问3详解】 得，③ 得，，即④ 得， 把代入③得， 把，代入①得， ∴ 18. 解不等式和不等式组，并把解集在数轴上表示出来 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），数轴见解析 （2），数轴见解析 （3），数轴见解析 【解析】 【分析】此题考查了解不等式和不等式组， （1）利用移项、合并同类项、系数化为1解不等式，再把解集表示在数轴上即可； （2）求出每个不等式的解集，取公共部分，再把解集表示在数轴上即可； （3）求出每个不等式的解集，取公共部分，再把解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 移项得， 合并同类项得到， 系数化为1得， 在数轴上表示如下： 【小问2详解】 解不等式①得， 解不等式②得， 在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为 【小问3详解】 解不等式①得， 解不等式②得， 在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为 19. 规定新运算：，其中、是常数．已知，． （1）求、的值； （2）若，求，的值； （3）若，，且，求的最小整数值． 【答案】（1），； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入①求出即可； （2）根据新运算得出方程组，再①②得出，求出，再把代入②求出即可； （3）根据新运算得出方程组，再①②得出，根据求出的范围，再求出最小整数解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1），， ∴， ， ， ①②，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； 【小问3详解】 解：，，， ， ①②，得， ， ， ， 的最小整数值是． 20. 在关于，的二元一次方程组中， （1）若，求方程组的解； （2）若，当为何值时，有最小值？是多少？ 【答案】（1） （2）当时，S有最小值，最小值是． 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，完全平方公式变形求值，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和完全平方公式变形，是解题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）把方程组的两个方程相加得到，然后代入整理，再利用完全平方公式变形为，根据进行解答即可． 【小问1详解】 解：时，方程组为， 得，，解得； 把代入①得，，解得， ∴方程组的解是． 【小问2详解】 解： 方程组的两个方程相加得，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，S有最小值，最小值是． 21. 已知关于，的方程组的解满足，试求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，求出，是解答本题的关键． 先解方程组求出，，再根据列不等式求解即可． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入②得， 解得， ∵ ∴ 解得． 22. 完成下面的证明： 已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC． 证明：∵AB⊥AC（已知） ∴∠　 　＝90°（ 　 　） ∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知） ∴∠1+∠BAC+∠B＝　 　（ 　 　） 即∠　 　+∠B＝180° ∴AD∥BC（ 　 　） 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据垂直的定义可得，再根据角的和差可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∵，（已知）， ∴（等量关系）， 即， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 【点睛】本题考查了垂直、平行线的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 23. 为庆祝中国共产党百年华诞，某校要进行美化校园，各班同学设计热爱祖国的板报．八年一班学生在设计板报时，在黑板中间画一个半径为R的大圆，然后挖去半径为r的四个小圆，分别作为热爱中国共产党、热爱人民、认同中华文化和继承革命传统四个学习区域．请计算当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 剩余部分的面积为， ∵R＝7.8cm，r＝1.1cm， ∴（平方厘米）， 即当R＝7.8cm，r＝1.1cm时剩余部分的面积为． 【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式． 24. 如图，已知直线，直线c和直线a、b相交于点C、D． （1）有怎样的数量关系？说明你的理由； （2）如果点M在C、D之间运动，这种关系是否会发生变化？ 【答案】（1），理由见解析 （2）不发生变化 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点，构造平行线． （1）过点作，进而得到，根据两直线平行，内错角相等，以及角的和差关系，即可得出结论． （2）根据（1）中的证明方法进行证明即可得到结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 点M在C、D之间运动，这种关系是不会发生变化，证明如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$