第二章《一元二次方程》综合练习 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

第二章《一元二次方程》 综合练习题 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 2．已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（　　） A．（x﹣3）（x+4）＝0 B．（x+3）（x﹣4）＝0 C．（x+3）（x+4）＝0 D．（x﹣3）（x﹣4）＝0 3．关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．0 4．一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 5．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+8）2＝54 B．（x﹣8）2＝54 C．（x+4）2＝6 D．（x﹣4）2＝6 6．已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（　　） A．x1＝2，x2＝6 B．x1＝﹣2，x2＝﹣6 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3 7．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D． 8．某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为300平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（　　） A．10米 B．12米 C．15米 D．不存在 9．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，[﹣3]＝﹣3，则方程2[x]＝x2的解为（　　） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 10．若α，β是方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A．2015 B．2022 C．﹣2015 D．4010 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．写出以x1＝4为一个根的一个一元二次方程 　 　． 12．已知关于x的一元二次方程c（1﹣x2）﹣2bx＝a（1+x2），其中a、b、c分别为△ABC三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状为　 　． 13．若a，β是方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，则α﹣αβ+β的值为 　 　． 14．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为 7﹣4＝3．”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x＝m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为 　 　． 15．若关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2＝0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2的最大值是 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）（x+2）2＝6+3x． 17．已知关于x的方程x2+kx﹣6＝0有两个实数根x1，x2，其中x1＝2，求另一个根x2和k的值． 18．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ 19．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）． 解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2．…第一步 移项，合并同类项，得3x＝3．…第二步 系数化为1，得x＝1．…第三步 任务： ①小明的解法从第 　 　步开始出现错误； ②此题的正确结果是 　 　． ③用因式分解法解方程：3x（x+2）＝2x+4． 20．关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 21．已知关于x的方程x2+ax+a﹣3＝0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 22．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 23．设a＞b＞c＞0，已知关于a的方程x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca＝0． （1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； （2）若方程有实根x0，求证：b+c＜x0＜a； （3）当方程的两个实根分别为6，9时，求正整数a，b，c的值． 24．如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 25．请阅读下列材料：x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以，把代入已知方程，得，化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0，这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：　 　； （2）已知方程2x2﹣7x+3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，求一元二次方程ay2﹣（2a﹣b）y+a﹣b+c＝0的两根．（直接写出结果） 答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．DABCD． 6-10．BABDB． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．x2﹣4x＝0（答案不唯一）． 12．直角三角形． 13．7． 14．4． 15．﹣1． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）x2﹣4x+1＝0， 移项得：x2﹣4x＝﹣1， 配方得：x2﹣4x+4＝﹣1+4， 整理得：（x﹣2）2＝3， 直接开方得：， 即：，； （2）解：（x+2）2＝6+3x， 移项得：（x+2）2﹣（6+3x）＝0， 因式分解：（2+x）2﹣3（2+x）＝0， （2+x）（2+x﹣3）＝0， 即：2+x＝0，x﹣1＝0， x1＝﹣2，x2＝1． 17．解：根据根与系数的关系得2+x2＝﹣k，2x2＝﹣6， 解得x2＝﹣3，k＝1， 即另一个根x2＝﹣3，k的值为1． 18．解：设月平均增长率是x， 由题意得，5（1+x）2＝7.2， 解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去）， 答：月平均增长率是20%． 19．解：①小明的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ②此题的正确结果是x1，x2＝1， 故答案为：x1，x2＝1； ③3x（x+2）＝2x+4， 3x（x+2）﹣2（x+2）＝0， （x+2）（3x﹣2）＝0， x+2＝0或3x﹣2＝0， x1＝﹣2，x2． 20．（1）证明：∵在方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0中， Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4×1×（2k+4）＝k2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵x2﹣（k+4）x+2k+4＝（x﹣2）（x﹣k﹣2）＝0， ∴x1＝2，x2＝k+2． ∵方程有一根小于1， ∴k+2＜1，解得：k＜﹣1， ∴k的取值范围为k＜﹣1． 21．（1）证明：∵Δ＝a2﹣4（a﹣3）＝a2﹣4a+12＝（a﹣2）2+8＞0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：当x＝1时，12+a⋅1+a﹣3＝0， ∴a＝1， 当a＝1时， 原方程化为x2+x﹣2＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣2， ∴该方程的另一个根为2． 22．解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2＝400， 解得：x1，x2（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得： （40﹣25﹣m）（400+5m）＝4250， 解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 23．解：（1）由方程有实根得，Δ＝（a+b+c）2﹣4（ab+bc+ca）≥0即0≤a2+b2+c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca＝a（a﹣b﹣c）﹣b（a+c﹣b）﹣c（a+b﹣c）＜a（a﹣b﹣c）， 由a＞0，得a﹣b﹣c＞0，即a＞b+c．所以，a，b，c不能成为一个三角形的三边．（2）设f（x）＝x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca，则f（b+c）＝bc＞0，f（a）＝bc＞0，且f（）＜0由（1）知b+ca，所以二次方程的实根x0都在b+c与a之间，即a＞x0＞b+c．（3）由根与系数关系有a+b+c＝15，ab+bc+ca＝54，得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝225﹣108＝117＜112． 由（2）知a＞9，故得92＜a2＜112， ∴a＝10． ∴b+c＝5，bc＝4， 由b＞c， 解得b＝4，c＝1，∴a＝10，b＝4，c＝1． 24．解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm． （1）依题意，得：（16﹣3t+2t）×6＝33， 解得：t＝5． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示． ∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm， ∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62， 解得：t1，t2（不合题意，舍去）． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm． 25．解：（1）设所求方程的根是y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y， 把x＝﹣y代入x2+x﹣2＝0， 得y2﹣y﹣2＝0， 故答案为：y2﹣y﹣2＝0； （2）设所求方程的根是y，则y， 所以x， 把x代入方程2x2﹣7x+3＝0，得 2（）2﹣7•3＝0， 化简，得3y2﹣7y+2＝0； （3）一元二次方程整理后可得：a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0， ∵令y﹣1＝x， ∴y＝x+1， 则方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根比 ax2+bx+c＝0（a≠0）两根大1， 所以方程 a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0 的两根分别是4、﹣1。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$