精品解析：上海市嘉定区第一中学2024-2025学年高三上学期数学测试卷三

高三第一学期数学练习三（20240918） 一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 集合，集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程组的解即可. 【详解】依题意，由，解得或， 所以. 故答案为： 2. 若（为虚数单位），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 3. 若一元二次不等式的解集是，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用韦达定理，列出方程，计算可得. 【详解】根据题意，易知，，令，由韦达定理，可得，解得. 故答案为： 4. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 5. 某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______． 【答案】185 【解析】 【分析】利用80百分位数的定义求解即得. 【详解】显然该组数据已由小到大排列，由，得该组数据的第80百分位数为. 故答案为：185 6. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则___________. 【答案】8 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式可得前三项的系数，再解方程即可解决 【详解】由通项公式 得展开式前三项系数分别为1、、 所以1+=，解之得，或（舍） 故答案为：8 7. 已知椭圆上一点P到两焦点的距离之积为m，则当m取最大值时，点P的坐标为__. 【答案】(0,3)或 【解析】 【详解】∵椭圆，∴椭圆的a=5，b=3 设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，得|PF1|+|PF2|=2a=10 ∵|PF1|+|PF2|≥ ∴点P到两焦点的距离之积m满足：m=|PF1|×|PF2|≤=25 当且仅当|PF1|=|PF2|=5时，m有最大值25 此时，点P位于椭圆短轴的顶点处，得P（0，3）或（0，﹣3） 故答案为(0,3)或 点睛：本题解题关键是利用好椭圆定义，|PF1|+|PF2|为定值，结合均值不等式，问题迎刃而解. 8. 如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱.光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，求该圆锥的侧面积即可. 【详解】由已知得射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积是以为顶点，以圆柱的底面为底面的圆锥的半个侧面积，共两个， 所以面积为. 故答案为：. . 9. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 【答案】 【解析】 【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算. 【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种， 然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种， 因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位， 利用插空法排列甲，排法有种， 所以不同的排列方法有种. 故答案为： 10. 已知数列是首项为，公差为2的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，设，则当时，的最大值是______． 【答案】9 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式求出，利用等比数列通项公式求出，再求出和，判断出数列的单调性，根据可得结果. 【详解】，， ， ， 因为，即， 所以数列为递增数列， 因为，， 的最大值为. 故答案为：9 【点睛】关键点点睛：利用数列的单调性求解是解题关键. 11. 已知函数，若，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，数形结合可得，，故，然后利用对勾函数的单调性即可求出答案. 【详解】的图象如下： 因为且，所以且， 所以，所以，故， 由对勾函数在上单调递减，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 12. 已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，先求出，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，根据求出点的轨迹，进而可得出答案. 【详解】如图，设， 因为， 所以，故， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设， 由，得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示两点间的距离， 所以的最大值为. 故答案为：. 二、选择题（满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 14. 已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理及性质定理，结合充要条件及必要条件的定义即可求解. 【详解】直线在平面上， 则“直线”成立时，“直线”不一定成立； “直线”⇒“直线”， ∴直线在平面上，则“直线”是“直线”的必要非充分条件. 故选：B . 15. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 16. 当时，方程在上根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据同型结构构造函数，通过其单调性转化为研究根的问题，再利用的单调性判定根的个数即可. 【详解】，设函数， 现讨论方程根的个数，在时单调递增， 故问题可转化为根的问题， 令，易知单调递增，故， 当时，方程只有一根， 所以方程在上根的个数为1． 故选：B． 【点睛】思路点睛：注意观察式子，通过指对转化构造同型结构，再构造函数研究其单调性、判定根的个数即可. 三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分） 17. 设函数，该函数图像上相邻两个最高点之间的距离为，且为偶函数. （1）求和的值； （2）在中，角的对边分别为，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，，即求； （2）利用正弦定理可得，进而可得，再利用二倍角公式、和差角公式及辅助角公式可得，然后利用正弦函数的性质即求. 【小问1详解】 ∵函数图像上相邻两个最高点之间的距离为， ∴，解得， 又为偶函数， ∴，又， ∴. 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， 又，∴， ∴又， ∴， 由（1）知， ∴ ， 又，所以， ∴， ∴的取值范围为. 18. 如图，在正四棱锥中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面与棱PC的交点为G. （1）求平面与平面所成锐二面角的大小； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，BD，相交于点O，连接EF，与OP相交于点Q，依题意可得，从而得到平面，设平面与平面相交于直线l，根据线面平行的性质得到，连接QA，即可得到，又，则即为平面与平面所成锐二面角，再根据锐角三角函数的定义计算可得； （2）延长AQ，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G，过点G作交AC于点M，依题意可得底面ABCD，设，则，根据，即可求出，最后根据计算可得. 【小问1详解】 连接AC，BD，相交于点O，因为四边形ABCD是正方形， 所以O是正方形的中心，连接PO，因为四棱锥是正四棱锥，则底面ABCD， 连接EF，与OP相交于点Q，因为E、F分别为PB、PD的中点， 则Q为OP，EF的中点，EF是三角形PBD的中位线，所以， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，平面， 设平面AEGF与平面ABCD相交于直线l，故，连接QA， 则因为，所以，又因为， 因为，所以，， 故即为平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角，其中，，所以， 即平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角的大小为； 【小问2详解】 延长AQ，因为平面平面，则由两平面相交的性质可得AQ一定过点G， 过点G作交AC于点M，因为底面ABCD，所以底面ABCD， 设，则，由（1）知， 所以，即，解得，故，所以， 所以. 19. 近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？ （2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入； ②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）500 （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）由调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，建立并求解不等式即可； （2）由题意条件转化为两个不等式恒成立问题，构造函数利用对勾函数与一次函数的单调性求解最值，即可求出m的取值范围. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的人数为，且年人均投入为万元， 则． 因为，所以，解得， 因为且，所以，故， 即要使这名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为500． 【小问2详解】 由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得 ， 上式两边同除以ax，得， 整理得， 由条件②技术人员年人均投入不减少，得， 解得． 假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 即（）恒成立． 设， 由在上单调递减， 因为且，所以在上单调递减， 则， 当时，等号成立，所以． 又因为， 当时，，所以， 所以， 即存在这样的m满足条件，m的取值范围为． 20. 已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； （3）若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，求出点的坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解； （2）易知直线不与x轴重合，设其方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，结合计算求得即可； （3）如图，由（2），利用弦长公式求出，利用平行线之间的距离公式求出平行线与之间的距离，进而表示，结合换元法计算即可求解. 【小问1详解】 由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. 【小问2详解】 显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. 【小问3详解】 延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 21. 已知为实数，函数. （1）若函数在处的切线斜率为2，求的值； （2）讨论函数在上的零点个数； （3）设表示的最大值，设.当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 时有一个零点，时没有零点. （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）利用导数的性质，结合函数零点的宝义、零点存在原理进行求解即可； （3）根据题中定义，结合导数的性质，给合函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 ， 因为函数在处的切线斜率为2， 所以； 【小问2详解】 ， 令， ， 令，解得. ①当，即时，在恒成立， 在为严格增函数， ， 由零点存在定理知在上有唯一零点. ②当时，在恒成立， 在为严格增函数， ，故在恒成立，没有零点. ③当时 - 0 + 极小值 最小值，无零点. 综上，时有一个零点，时没有零点. 【小问3详解】 当时，， 根据题中定义显然有. 当时， 时，， 根据题中定义显然有； 时， 根据题中定义显然有. 下考虑时的情况. ， 由解得，且 - 0 + 极小值 最小值. 令，则在为严格增函数. ①时， ，故， 故的最小值； ②时， 故在上的最小值， 而在上，，即在上， 此时. 综上，. 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中定义含义，能够转化为不等式，能够运用分类讨论思想进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第一学期数学练习三（20240918） 一、填空题（本大题满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 集合，集合，则________． 2. 若（为虚数单位），则__________. 3. 若一元二次不等式的解集是，则实数的值为__________. 4. 已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 5. 某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______． 6. 在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则___________. 7. 已知椭圆上一点P到两焦点的距离之积为m，则当m取最大值时，点P的坐标为__. 8. 如图，有一底面半径为1，高为3的圆柱.光源点沿着上底面圆周作匀速运动，射出的光线始终经过圆柱轴截面的中心.当光源点沿着上底面圆周运动半周时，其射出的光线在圆柱内部“扫过”的面积为____________. 9. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有______种. 10. 已知数列是首项为，公差为2的等差数列，是1为首项，2为公比的等比数列，设，则当时，的最大值是______． 11. 已知函数，若，且，则的取值范围是______. 12. 已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________. 二、选择题（满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线在平面上，则“直线”是“直线”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 非充分非必要 15. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 16. 当时，方程在上根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分） 17. 设函数，该函数图像上相邻两个最高点之间的距离为，且为偶函数. （1）求和的值； （2）在中，角的对边分别为，若，求的取值范围. 18. 如图，在正四棱锥中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面与棱PC的交点为G. （1）求平面与平面所成锐二面角的大小； （2）若，求的值. 19. 近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我国的芯片技术迎来了重大突破．某企业原有1000名技术人员，年人均投入a万元（），现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员工名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． （1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调整后的研发人员的人数最少为多少？ （2）为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入； ②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数m，满足以上两个条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 20. 已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； （3）若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 21. 已知为实数，函数. （1）若函数在处的切线斜率为2，求的值； （2）讨论函数在上的零点个数； （3）设表示的最大值，设.当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $