精品解析：2023-2024学年北师大版八年级下学期测试数学试题（一）

2023~2024学年度下学期 八年级测试（一） 数 学 试 卷 一 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的） 1. 已知a，b．c均为实数，a＜b，那么下列不等式一定成立的是(　　) A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C D. 4. 下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则代数式的值为（ ） A B. C. 3 D. 4 6. 如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数与的图象如图所示，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（　　） A B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在的平分线上，且与互补，，，将绕点任意旋转，下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④的最小值为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式的值是2，则x＝_____． 12. 已知ab＝2，＝，则多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值为______． 13. 如图，在中，是的角平分线，，则点到的距离为_________． 14. 如图，将沿着射线方向平移得到，连接 ______． 15. 如图，在等腰三角形中，，，在线段上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，当△为等腰三角形时，的值为______． 三、解答题（本题共7小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解分式方程： （1）； （2）． 17. 代数式 ，若代数式M的值为零，求此时x，y，z的值． 18. 如图，已知在中，点分别是边的中点，过点的直线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 19. 已知：如图，的对角线，相交于点O，点E、F分别在，上，且，求证：． 20. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同． （1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？ 21. 阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组法．请回答下列问题： （1）尝试填空：______； （2）解决问题：因式分解； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 22. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度下学期 八年级测试（一） 数 学 试 卷 一 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的） 1. 已知a，b．c均为实数，a＜b，那么下列不等式一定成立的是(　　) A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可． 详解：A、∵a＜b，∴a-b＜0，故本选项错误； B、∵a＜b，∴-3a＞-3b，故本选项错误； C、当c=0时，a|c|=b|c|，故本选项错误； D、∵a＜b，c2+1＞0，∴a（c2+1）＜b（c2+1），故本选项正确． 故选D． 点睛：本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义进行判断作答即可．熟练掌握：如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形，是解题的关键． 【详解】解：A．是中心对称图形，故符合要求； B．不是中心对称图形，故不符合要求； C．不是中心对称图形，故不符合要求； D．不是中心对称图形，故不符合要求； 故选：A． 3. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、从左到右不是因式分解，不符合题意； B、从左到右不是因式分解，不符合题意； C、从左到右是因式分解，符合题意； D、从左到右不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 4. 下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题因式分解，掌握运用公式法分解因式是解决此题的关键． 根据完全平方公式逐项判定即可． 【详解】解：A、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； B、不能用完全平方公式因式分解，故此选项符合题意； C、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； D、能用完全平方公式因式分解，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 若，则代数式的值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，代入分式，化简即可． 【详解】解：由可得 将代入可得： 原式 故选：A 【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算． 6. 如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴B选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角线的性质，熟记平行四边形的性质是解题关键． 7. 已知一次函数与的图象如图所示，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当时的范围是：一次函数的图象在的图象上边时对应的未知数的范围，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知，当时，一次函数的图象在的图象上边， ∴若时，x的取值范围是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与一元一次不等式关系，数形结合是解题的关键． 8. 把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件的为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据题意找出不等关系，列不等式是解题的关键． 由如果每人分3瓶，那么余8瓶，可知共有瓶牛奶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶，可得． 【详解】解：∵如果每人分3瓶，那么余8瓶， ∴共有瓶牛奶， ∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后一人就分不到3瓶， ∴ 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了点的平移以及关于轴对称点的性质，直接利用平移的性质得出对应点位置，进而结合关于轴对称点的性质得出答案，正确掌握横坐标的关系是解题的关键． 【详解】解：∵将点向下平移个单位长度得到点， ∴，即， ∴点关于轴的对称点， 故选：． 10. 如图，点在的平分线上，且与互补，，，将绕点任意旋转，下列说法正确的有（ ） ①；②；③；④的最小值为 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】作于，于，由平分，，，可推出，根据勾股定理和角平分线的性质可得，证明得到，证明得到，，由，可判断①；根据，可判断②；根据将绕点任意旋转时，的长度是变化的，可判断③；证明是等边三角形，得到，当，时，有最小值，可判断④． 【详解】解：如图，作于，于， ， ， ， ， ， 平分，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，故①正确； ，故②正确； 将绕点任意旋转时，的长度是变化的，故③错误； ，， 等边三角形， ， ，，即时，有最小值，最小值为，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形． 二 填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式的值是2，则x＝_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程，解方程. 【详解】解：＝2， 去分母得：x﹣2＝2（x﹣4）， x﹣2＝2x﹣8， x＝6， 经检验：x＝6是原方程的解． 故答案为6． 点睛】考核知识点：解分式方程.掌握分式方程一般解法. 12. 已知ab＝2，＝，则多项式a3b＋2a2b2＋ab3的值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】已知第二个等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，把ab＝2代入求出a+b的值，原式提取公因式，再利用完全平方公式分解后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ab=2，， ∴，即a+b=3， 则原式=ab（a2+2ab+b2） =ab（a+b）2 =2×32 =2×9 =18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 13. 如图，在中，是的角平分线，，则点到的距离为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】作于H，根据，求出，再由角平分线的性质即可解答． 【详解】解：作于H，如图所示： ∵， ∴，， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴点D到的距离为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相是解题的关键． 14. 如图，将沿着射线的方向平移得到，连接 ______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，关键在于找到平移的距离，即对应点之间的距离． 根据平移的性质即可求解． 【详解】解：∵将沿着射线的方向平移得到， ∴． 故答案为：5． 15. 如图，在等腰三角形中，，，在线段上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，当△为等腰三角形时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】过作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求出，再分类讨论：当时，当时，当时，利用全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识求解即可． 【详解】解：如图，过作于点， ，， ， ， ， ， ， 当时， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 当时，如图， ， ， ，， ，， ，即， 解得：， ， ， ，， ， ，即， 解得：， ， ， ； 当时，则，， 又，在， 此时，、重合，、重合，线段不存在； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识并分类讨论． 三、解答题（本题共7小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）原方程无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， 则是增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 17. 代数式 ，若代数式M的值为零，求此时x，y，z的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先把多项式进行因式分解，利用因式的平方都不小于0求出x，y，z的值．解题的关键是正确的把多项式进行因式分解． 【详解】解：， 即：， ， ∵，，， ∴，，， ∴，． 18. 如图，已知在中，点分别是边的中点，过点的直线交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行性四边形的判定与性质、三角形中位线等知识，熟练掌握平行四边形的判定条件和性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，然后根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明结论即可； （2）首先证明四边形是平行四边形，易得，然后根据平行四边形的性质证明结论即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵点分别是边的中点， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点是边的中点， ∴， ∴． 19. 已知：如图，的对角线，相交于点O，点E、F分别在，上，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．连接、，由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，证明四边形是平行四边形，得出对边平行，即可得出结论． 【详解】证明：连接、，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 20. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进A、B两种羽毛球拍进行销售，已知每副A种球拍的进价比每副B种球拍贵20元，用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同． （1）求A、B两种羽毛球拍每副的进价； （2）若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，那么该商店最多可购进A种羽毛球拍多少副？ 【答案】（1）A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元； （2）该商店最多购进A种羽毛球拍45副． 【解析】 【分析】（1）设A种羽毛球拍每副的进价为x元，根据用2800元购进A种球拍的数量与用2000元购进B种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可； （2）设该商店购进A种羽毛球拍m副，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设A种羽毛球拍每副的进价为x元，则B种羽毛球拍每副的进价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意，（元）， 答：A种羽毛球拍每副的进价为70元，B种羽毛球拍每副的进价为50元； 【小问2详解】 设该商店购进A种羽毛球拍m副，则购进B种羽毛球拍副， 根据题意，得， 解得， 答：该商店最多购进A种羽毛球拍45副． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立相应的关系式是解题的关键． 21. 阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组法．请回答下列问题： （1）尝试填空：______； （2）解决问题：因式分解； （3）拓展应用：已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）等边三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用分组分解法因式分解即可； （2）利用分组分解法因式分解即可； （3）利用分组分解法因式分解，再利用非负数的性质证明即可． 【小问1详解】 解： ； 故答案为：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 结论：是等边三角形． 理由：∵， ∴，即： ∵，， ∴，， ∴ ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了分组分解法，非负数的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是根据范例熟练掌握分组分解． 22. 在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 【答案】第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． 【解析】 【分析】根据题意求出OA、OB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：OA＝16海里/时×1.5小时＝24海里；OB＝12海里/时×1.5小时＝18海里， ∵OB2＋OA2＝242＋182＝900，AB2＝302＝900， ∴OB2＋OA2＝AB2， ∴∠AOB＝90°， ∵艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进， ∴∠BOD＝50°， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． 【点睛】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键，注意：如果三角形两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$