1鸽巢问题（教学设计）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

1鸽巢问题（1） 教材分析 本单元的教学内容是教材第67～68页例1、例2及“做一做”。 教材例1借助把4支铅笔放进3个笔筒中的操作情境，介绍了较简单的“抽屉问题”。学生在操作实物的过程中可以发现一个现象：不管怎么放，总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。为了解释这一现象，教材呈现了两种思考方法。第一种方法是进行列举。第二种方法采用的是“反证法”或“假设法”的思路。第二种方法比第一种方法更为抽象，更具一般性。 例2介绍了另一种类型的“抽屉问题”，即“把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少（k＋1）个物体”。实际上，如果设定k=1，这类“抽屉问题”就变成了例1的形式。因此，这两类“抽屉问题”在本质上是一致的，例1只是例2的一个特例。教材提供了让学生把7本书放进3个抽屉的情境，在操作的过程中，学生发现不管怎么放，总有1个抽屉至少放进3本书。研究了“把7本书放进3个抽屉”的问题后，教材又进一步提出“如果共有8本书，10本书，情况会怎样？”的问题，让学生利用前面的方法进行类推，得出结论。在此基础上，让学生观察这几种“抽屉问题”的特点，寻找规律，使学生对这类“抽屉问题”达到一般性的理解。 学情分析 由于例1中的数据较小，为学生自主探索提供了很大的空间。因此，教学时，可以放手让学生自主思考，让学生先采用自己的方法“证明”，然后进行交流。除了教材上提供的两种方法以外，还会有其他的方法（如数的分解法），只要是合理的，都应给予鼓励。在此过程中，教师也应给予适当的指导。 教学建议 1．要善于激发学生的探究欲望。 教学例1时，可以依据情境把“总有1个笔筒里至少有2支铅笔”的结论先抛出来，并提出对“总有”和“至少”的质疑，引发学生探究。 2．学生自主探索和教师指导相结合。 教学时，应放手让学生自主探索。学生可能会用实物模拟、图示、数的分解等方法来分析，只要是合理的，教师都应给予鼓励。对于假设的思考方法，教师更应该予以指导乃至示范，让更多学生能真正理解和掌握。 3．让学生经历比较、归纳等过程。 教师要引导学生对教材上提供的两种方法进行比较，思考枚举的方法有什么优越性和局限性，假设的方法有什么独特的优点，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。在学生解决了“4支铅笔放进3个笔筒”的问题后，教师可以不断改变数据（铅笔数比笔筒多1），让学生继续思考，并引导学生归纳得出一般性的结论。 4．要重视“做一做”第2题的教学。 这个问题，学生容易犯“总有1个鸽笼至少会飞进3只鸽子”的错误，教师可让学生暴露思维，然后引发讨论，实现理解。 5．允许学生多样化地解决问题。 学生通过例1的学习，已积累了相关的经验。所以此题的教学可直接让学生想办法解释结论。学生采用直观枚举、分解数、以“平均分”来假设的思考方法，教师都应该肯定。 6．要引导学生逐步从直观走向抽象。 教师可在对比几种不同的解决方法后，引导学生发现直观方式终究带有一定的局限性，意识到假设法的优越性。然后，教师可对假设法进行强化教学，让学生牢固掌握。需要注意的是，例2的假设已是“反证”形式，而例1中的假设则呈现顺向的“平均分”的思路，两者本质相同，却有微小差别。教师可利用有余数除法7÷3=2⋯⋯1，引导学生分析和理解。 7．要引导学生建立模型。 利用有余数除法解决了本例中的三个具体问题后，教师应引导学生总结归纳解决这一类“抽屉问题”的一般方法。学生可以得出“总有1个抽屉里至少有“商＋1＇个物体”的“公式”，也可以用a÷n=······c，总有1个抽屉至少要放(b+1)个物体”的抽形式来刻画。 8．要关注学生对模型的运用。 “做一做”的题目，应要求学生尽可能地运用已夫得的模型去分析和解答。 教学目标 1．了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的义。使学生学会用此原理解决简单的实际问题。 2．经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、青测、实验、推理等活动的学习方法。 3．通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。 重点难点 重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”. 难点：找出解决“鸽巢问题”的窍门，进行反复推理。 教法学法 教法：引导讲解。 学法：合作交流，练习体验。 教学准备 教师准备：多媒体课件、铅笔、笔筒、扑克牌。 学生准备：铅笔、笔盒。 课时安排 1课时 案例一 教学设计 一、谈话引入 还记得元旦联欢会时老师表演的节目吗？今天我再来给大家表演一个魔术。这个魔术需要一名同学来配合，谁愿意？ 向学生介绍：这是一副扑克牌，取出大王、小王，还剩多少张？（请学生任意抽取5张牌）好，见证奇迹的时刻到了，你手里的5张牌至少有2张牌的花色是一样的。（学生打开牌让大家看） 课件出示：至少有2张是同一花色。“至少”表示什么意思？ 神奇吧！再给你们表演一个，这回请你们任意抽出14张，现在你手里的14张牌中至少有对儿！（让学生打开牌看，再次理解“至少”） 引导：老师为什么能做出准确的判断呢？因为这个有趣的魔术中蕴含着一个数学原理，这节课我们就一起来研究这个原理。 板书课题：鸽巢问题 二、情境创设，探究新知 1．教学例1。（课件出示例题1情境图） 思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。为什么呢？总有”和“至少”是什么意思？ 学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”的学习过程来解问题。 （1）操作发现规律：通过把4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。 （2）理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。 （3）探究证明。 方法一：用“枚举法”证明。 方法二：用“分解法”证明。 把4分解成3个数。 由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4种情况，每一种情况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。 方法三：用“假设法”证明。 通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。 （4）认识“鸽巢问题”。 ①像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。 这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鸽于最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。 小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。 ②如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放的铅笔比笔筒的数量多3，那么总有1个笔筒里至少放2只铅笔······ 小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。 （5）归纳总结： 鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽展里（m n，且n是非零自然数），那么一定有1个抽屉里至少放进了2个物体。 2．教学例2。（课件出示例题2情境图） 思考问题：（一）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。为什么呢？ （二）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？ 学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题（一）。 （1）探究证明。 方法一：用数的分解法证明。 把7分解成3个数的和。每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种分法中最多那个数最小是3，即总有1个抽屉至少放进3本书。 方法二：用假设法证明。 把7本书平均分成3份，,7÷3=2(本)⋯⋯1(本),若每个抽屉放2本，则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个抽屉里就有3本书。 （2）得出结论。 通过以上两种方法都可以发现：7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。 学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。 （1）用假设法分析。 ①8÷3=2(本)⋯⋯2(（本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中2个抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。 ②10÷3=3（本）······1（本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。 （2）归纳总结： 综合上面两种情况，要把a本书放进3个抽屉里，如果a÷3=b本）C⋯⋯1（本）或a÷3=b（本）······2（本），那么一定有1个抽屉里至少放进（b＋1）本书。 鸽巢原理（二）：如果把多于kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非零的自然数），那么一定有1个抽屉中至少放进了（k＋1）个物体。 三、巩固练习 完成教材第68页做一做。 四、课堂小结 这节课我们学习了什么？引导学生回顾总结。 案例二 一、谈话导入，复习引入师：同学们，老师给大家表演一个“魔术”。一副牌，取出大小王，还剩52张牌，请5名同学上来，每人随意抽1张，我知道至少有2人抽到的是同花色的，相信吗？试一试。 师生共同玩几次这个“小魔术”，验证一下。师：想知道这是为什么吗？通过今天的学习，你就能解释这个现象了。下面我们就来研究这类问题，我们先从简单的情况入手研究。［板书课题：鸽巢问题］ 二、创设情境，初步感知 1．讲授例1。 （1）认识“抽屉原理”。（课件出示例题1） 把4支铅笔放进3个笔筒中，那么总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。学生读一读上面的例题，想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。 教师指出：上面这个问题，同学们不难想出其中的道理，但要完全清楚地说明白，就需给出证明。 （2）学生分小组活动进行证明。 活动要求： ①学生先独立思考。 ②把自己的想法和小组内的同学交流。 ③如果需要动手操作，要分工并全面考虑问题。（谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉”、谁记录等） ④在全班交流汇报。 （3）汇报。 师：哪个小组愿意说说你们是怎样证明的？ ①列举法证明。 学生证明后，教师提问：把4支铅笔放进3个笔筒里，共有几种不同的放法？ （共有4种不同的放法。在这里只考虑存在性问题，即把4支铅笔不管放进哪个笔筒，都视为同一种情况） 根据以上4种不同的放法，你能得出什么结论？ （总有1个笔筒里至少放进2支铅笔） ②数的分解法证明。 可以把4分解成三个数，共有四种情况：（4,0,0），（3,1,0），（2,2,0），（2,1,1），每一种结果的三个数中，至少有一个数是不小于2的。 ③反证法（或假设法）证明。 让学生试着说一说，教师适时指点： 假设先在每个笔筒里放1支铅笔。那么，3个笔筒里就放了3支铅笔。还剩下1支铅笔，放进任意一个笔筒里，那么这个笔筒里就有2支铅笔。 （4）揭示规律。 请同学们继续思考： ①把5支铅笔放进4个笔筒中，那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔， 为什么？ ②如果把6支铅笔放进5个笔筒中，结果是否一样呢？把7支铅笔放进6个笔 筒中呢？把10支铅笔放进9个笔筒中呢？把100支铅笔放进99个笔筒中呢？ 学生回答的同时教师板书： 铅笔数（支） 笔筒数（个） 结果 5 4 总有1个笔筒里 提问：观察板书，你有什么发现？ ③小组讨论，引导学生得出一般性结论。 （只要放的铅笔数比笔筒的数量多1，总有1个笔筒里至少放进2支铅笔） 追问：如果要放的铅笔数比笔筒的数量多2，多3，多4呢？ 学生根据具体情况思考并解决此类问题。 ④教师小结。 上面我们所证明的数学原理就是最简单的“抽屉原理”，可以概括为：把m个物体任意放到m-1个抽屉里，那么总有1个抽屉中至少放进了2个物体。 2．教学例2。 师：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。为什么？自己想一想，再跟小组的同学交流。 学生独立思考后，进行小组交流；教师巡视了解情况。 组织全班交流，学生可能会说： ·我们可以动手操作，选用列举的方法： 第一个抽屉7 6 5 5 4 4 3 3 第二个抽屉0 1 1 2 1 3 1 2 第三个抽屉0 0 1 0 2 0 3 2 通过操作，我们把7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放进3本书。 ·我们可以用数的分解法：把7分解成三个数，有（7,0,0），（6,1,0），（5,1,1），（5,2,0），（4,1,2），（4,3,0），（3,1,3），（3,2,2）这样八种情况。在任何一种情况中，总有1个数不小于3。 师：同学们，通过上面两种方法，我们知道了把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。但随着书的本数增多，数据变大，如果有8本书会怎样呢？10本呢？甚至更多呢？用列举法、数的分解法会怎样？（繁琐）我们能不能找到一种适用各种数据的一般方法呢？请同学们自己想一想。 学生进行独立思考。 师：假设把书尽量地“平均分”给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，你们能用什么算式表示这一平均分的过程呢？ 生： 师：有余数的除法算式说明了什么问题？ 生：把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放2本书，还剩1本；把剩下的1本不管放到哪个抽屉，总有1个抽屉至少放3本书。 师：如果有8本书会怎样呢？ 生：，可以知道把8本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放2本书，还剩2本；把剩下的2本中的1本不管放到哪个抽屉，总有1个抽屉至少放3本书。师：10本书呢？生：，可知把10本书平均放进3个抽屉，每个抽屉放3本书，还剩1本；把剩下的1本不管放到哪个抽屉，总有1个抽屉至少放4本书。师：你发现了什么？ 师生共同小结：要把a个物体放进n个抽屉，且n是非零自然数），如果，那么一定有1个抽屉至少放（b＋1）个物体。 3、 巩固提高，形成能力完成教材第67页“做一做”第1题、第2题。完成教材第68页“做一做”第1题、第2题。 四、课堂小结 师：通过今天的学习，你有什么收获？ 生：如果物体数除以抽屉数有余数，那么总会有1个抽屉里放进比商多1的物体个数。 师：你能在生活中找出这样的例子吗？ 学生举例说明。 师：之所以把这个规律称之为“原理”，是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理解决的问题，研究出这个规律是非常有价值的。同学们继续努力吧！ 教学反思 本节课让学生经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解了“鸽巢原理”，并能够应用于实际，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维。因为兴趣是最好的老师，所以在导人新课时，我利用“任意抽取5张牌，至少有2张牌的花色一样；任意抽取14张牌，其中至少有对儿”的问题，激发学生的兴趣，让学生初步感受鸽巢问题在生活中的应用。通过问题导入，一下就抓住了学生的注意力，让学生觉得这节课要探究的问题，好玩又有意义。这节课，我还注重学生的自主探索精神，让学生在学习中，经历猜想、验证、推理、应用的过程。适当设计形式多样化的练习，可以引起并保持学生的练习兴趣。学生的学习兴趣盎然，达到了预期的效果。整节课这样下来，思路很清晰，环环相扣，学生学得会比较扎实，都有所收获。 学科网（北京）股份有限公司 $$