第三章 导数及其应用讲义-2025届高三数学一轮复习

第3章 导数及其应用 教学安排： 第一节导数的概念及运算 第一课时 导数的概念及其意义 第二课时 导数的运算 第三课时 导数的几何意义 第二节导数的应用 第一课时 导数与函数的单调性 第二课时 函数的极值 第三课时 函数的最值 第三节 导数的综合应用 第七课时 函数的零点 第八课时 证明不等式 第九课时 不等式的恒（能）成立问题 第十课时 构造函数解决问题 第一节 导数的概念及运算 【课标要求】 了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 体会导数的内涵与思想。体会极限思想。通过函数图象直观理解导数的几何意义,能根据导数定义求函数y=c,y=x ,的导数,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(f(ax+b) 的导数。会使用导数公式表. 课时安排：3课时 第一课时 导数的概念及其意义 【课标要求】 了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 体会导数的内涵与思想。体会极限思想。通过函数图象直观理解导数的几何意义。 教学目标： 了解导数的概念,理解导数的几何意义。 教学重点：导数的概念、意义及导数的几何意义。 教学难点：极限思想在导数概念中的理解 教学过程： 环节1：问题检测 比较函数在区间[0,1],[1,2],[-2,-1]上的变化快慢 环节2：知识梳理 1.函数的平均变化率及其意义 （1）函数y=f(x)在区间的平均变化率： 平均变化率为 （2）函数y＝f(x)的平均变化率反映了函数f(x)在区间上的变化快慢， （3）函数y＝f(x)的图象在点A(割线的斜率，是曲线倾斜程度的“数量化”。 2.瞬时变化率与导数 （1）函数在某点处的导数 如果当无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称函数y=f(x)在可导，并把这个确定的值叫做数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝ ＝ ..f′(x0)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势， （2）导数的几何意义 f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． （3）导函数 一般地，函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导，则称函数f(x）可导，此时对于定义域内的每一个x,都对应一个确定的导数，于是在y=f(x)定义域内，是一个函数，把这个函数成为函数y=f(x)的导函数，记作f′(x)＝ . 环节3：考点强化 例1.（1） （2）.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) （3）.函数y=f(x)的图象如图示，试画出图象的大致形状。 （4）函数的图象如图示，试画出y=f(x)图象的大致形状 环节4：课后巩固： 1.阅读教材选择性必修二P59-71 ， 2.梳理导数的运算 3.作业：设函数，求：（1）当自变量由1变到1.1时，函数的变化率； （2）求函数在x=1的导数 第2课时 导数的运算 【课标要求】 能根据导数定义求函数y=c,y=x ,的导数,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(f(ax+b)）的导数。会使用导数公式表. 教学目标： 掌握基本初等函数的导数，能够用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，理解简单的复合函数的导数。 教学重点：导数的运算 教学难点：正确求导 教学过程： 环节1：知识检测： 请完成以下填空 1.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝____ f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝_____ f(x)＝sin x f′(x)＝____ f(x)＝cos x f′(x)＝_____ f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝_____ f(x)＝ex f′(x)＝_____ f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)=_____ f(x)＝ln x f′(x)=_____ 2.导数的四则运算法则:若f′(x)，g′(x)存在，则有： (1)[f(x)±g(x)]′＝__________；(2)[f(x)·g(x)]′＝____________; (3)′＝_____________.g(x)≠0). 3.复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数：_____________________________. 环节2：考点强化： 例1.求下列函数的导数． （1） （2） （3） (4)y=(2x2－x＋1)4； (5)y＝x； (6)y＝xln(1－x)． 例2.已知函数f(x)满足，求 例3.求曲线在点(1,1)处的切线方程 环节四：课堂练习 1已知函数f(x)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，则f(1)＝______. 2. 设函数f(x)在可导。且，则=_____; 3. 请写出与曲线y＝sin x在原点(0,0)处具有相同切线的另一个函数 ． 环节五：课后作业 1.请梳理导数运算中存在的问题； 2.(多选)下列求导正确的是(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 C.′＝ D．(ln 2x)′＝ 3.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x. (1)求f′(e)及f(e)的值； (2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程． 4.函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式；(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 第3课时 导数的几何意义 【课标要求】 通过函数图象直观理解导数的几何意义，理解曲线的切线概念 教学目标： 理解导数的几何意义，会利用导数求与函数图象有关的切线问题。 教学重点：导数的几何意义及其应用 教学难点：曲线的公切线及已知曲线的切线，求参数取值情况 教学过程： 一.考点分析： 考向1　求曲线在切点处的切线方程. 例1.（2022乙卷理21改编）已知函数，求曲线在点处的切线方程。 方法梳理：此类问题求解的一般步骤是先求导函数；再求导数值（即切线斜率）；然后由点斜式写出切线方程。 对点练习：（2023年乙卷理科）已知函数．当时，求曲线在点，（1）处的切线方程 考向2：求曲线过某点的切线方程. 例2.（2022新高考2卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________， 方法梳理： 此类问题求解的一般步骤是设切点坐标，由点斜式写出切线方程。由已知点在切线上可解得切点坐标进而使问题得以解决。 对点练习：1.过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 2.（2021乙卷文21） 求曲线．过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标。 考向3.已知切线方程或切线情况，求参数的取值或取值范围. 例3.(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 方法梳理：此类问题求解的一般是求出切线方程，把已知切线方程与对照，建立关于的方程组求解即可。 对点练习：1.已知函数 ，当a为何值时，x轴为曲线 的切线； 2.若函数f(x)＝x－＋aln x存在与x轴平行的切线，求实数a的取值范围． 考向4：　两曲线的公切线问题 例4.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线。则b=________. 方法梳理：公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解． 对点练习：1.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为______ 2.已知函数，若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程； 二．课后巩固 1.已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线，求，，，的值； 2.若函数存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围。 3.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，求m的值。 4.若点P是曲线y＝ln x－x2上任意一点，求点P到直线l：x＋y－4＝0距离的最小值。 5.(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是 ． 第二节 导数的应用 【课标要求】 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系，重点提升数学抽象、数学运算、直观想象、数学建模和逻辑推理素养。 【课时安排】 3课时 第一课时 导数与函数的单调性 教学目标：了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用。 教学重点：能利用导数研究函数的单调性 教学难点：含参数函数单调性的判断；已知函数的单调性情况，求参数的取值。 教学过程： 一.基础回顾： 问题1：导数与函数单调性有什么关系？ 知识梳理：函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 （理解在区间(a，b)f′(x)>0是f(x)在区间(a，b)上单调递增的充分条件） 问题2：如何利用导数判断函数的单调性？ 例1.求下列函数的单调区间。 （1）； （2） 变式：讨论函数的单调性。 总结：利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 例2.函数的图象如图示，试画出y=f(x)图象的大致形状。 二.考点练习： 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　　) 2.(选择性必修第二册P86例2改编)(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是(　　) A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增 B．在区间(2,3)上f(x)单调递减 C．在区间(4,5)上f(x)单调递增 D．在区间(3,5)上f(x)单调递减 3．函数f(x)＝x3＋x2－x的单调递增区间为________． 4．已知f(x)＝2x2－ax＋ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 三．课后巩固： 1.（2010-21）设函数，若，求的单调区间； 2.（2021新高考1卷22）已知函数．讨论的单调性。 3.(20192-20)已知函数.讨论f(x)的单调性。 4.（2022新高考2卷22）已知函数．当时讨论的单调性； 5.（2023新高考I卷19） 已知函数．讨论的单调性； 6.（20181-21）已知函数．讨论的单调性； 第二课时 函数的极值 教学目标：借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值。体会导数与函数极值的关系。 教学重点：能利用导数求某些函数的极大值、极小值 教学难点：含参数函数极值的判断；已知函数的极值情况，求参数的取值。 教学过程： 一.基础回顾： 问题1：什么是函数的极值与极值点？ 知识梳理：函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 问题2：怎样求函数的极值？ 例1.求下列函数的极值。 （1） （2） 变式练习：1.若函数无极值，求参数a的取值范围； 2.当a为何值，有三个零点？ 3.若函数在x=-1取得极大值，求a,b的值。 总结：1.运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤： （1）先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)； (2) 求方程f′(x)＝0的根； (3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点. （4）得出结论 2.三次函数的图象 二.考点练习： 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(　　) (2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(　　) (3)函数的极小值一定是函数的最小值．(　　) (4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(　　) 2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有两个极值点，则实数a的取值范围是________________． 4. 已知aR，讨论函数的极值点的个数。 三．课后巩固： 1.（2022新高考I卷10）已知函数，则（ ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心D．直线y=2x是曲线的切线 2.（2023新高考II卷11）若函数既有极大值也有极小值，则( )A. B. C. D. 3.(2014全国2-12).设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是（ ） AB.C. D. 4.（24新课标2卷11）设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则( ） A.当a>1时，f(x)的三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 C.存在a、b,使得x=b为曲线f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心 5.（24新课标2卷16）已知函数 ( 1 ) 当a=1时，求曲线y=f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线方程。 (2)若f(x) 有极小值，且极小值小于0,求a 的取值范围。 5..设函数 （I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性； （II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于 第三课时 函数的最值 教学目标：理解函数的最大（小）值概念，能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与最大（小）值的关系。 教学重点：能利用导数求闭区间连续函数的最值 教学难点：函数最值的存在性判断；函数最值的应用。 教学过程： 一.知识梳理：函数的最值 前提 函数y＝f(x)的定义域为D 条件 (1)对于任意x∈D，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈D，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 二.考点强化 例1.求下列函数的最值 （1）； （2） （3） 总结：1.闭区间[a,b]上的连续函数一定有最大值与最小值。 2.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤： （1）求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 3.若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，可利用单调性求最值； 4.若连续函数在开区间内有唯一极值，若为极大值，即为此函数在此区间上的最大值；若为极小值，即为此函数在此区间上的最小值； 5.若连续函数在开区间内有一极大值和一极小值。是否为最值需进一步判断，具体判断的方法是要么求区间左端点的右极限，右端点的左极限，或者判断区间端点函数值的正负。再进一步确定极值是否为最值。 三．考点练习： 1.(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为 A．－， B．－， C．－，＋2 D．－，＋2 2.（2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________． 3.函数f(x)＝xcos x－sin x在区间[－π，0]上的最大值为_____. 四.课后巩固 1.(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋取得最大值－2，则f′(2)等于(　　) A．－1 B．－ C. D．1 2.（2023新课标2卷 6）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ）．A. B. C. D. 3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________． 4.设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)在的最大值. 第三节 导数的综合应用 课标要求　 能够从函数观点认识方程和不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性。 课时安排：四课时 第一课时 函数的零点 教学目标：会利用导数研究函数的性质，判断函数零点存在情况以及零点个数问题。 教学重点：会利用导数解决函数的零点问题 教学难点：函数的零点与其他知识综合问题 教学过程： 1． 基础检测： 问题1：判断函数的零点个数 变式练习：1.判断函数的零点个数？ 2若函数有两个零点，求a的取值范围。 二．题型方法梳理： 1.利用导数研究函数的零点考查的主要形式： (1)求函数的零点、图像交点的个数；(2)根据函数的零点个数求参数的取值或范围. 2.导数研究函数的零点常用方法： (1)研究函数的单调性、极值，利用单调性、极值、函数零点存在定理等，通过数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等. (2)通过等价变形，可将“函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点”与“方程f(x)＝g(x)的解”问题相互转化.从而同解变形为两个函数图像的交点，运用函数的图像性质求解。 三．考点强化 1(2014-11）.函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为（ ） .（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1） 2.（20173-11）已知函数有唯一零点，则（） A． B． C． D．1 3.(20192-20)已知函数.讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点。 4． 课后巩固 1.(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)． (1)当a＝2时，求f(x)的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围 2.设函数f(x)＝－kln x，k>0. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点． 3.（2022乙卷文20）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若恰有一个零点，求a的取值范围． 第二课时 利用导数证明不等式 教学目标：会将不等式证明问题进行转化，构造函数，利用导数研究函数的性质，从而解决不等式证明问题 教学重点：通过导数研究函数的性质，解决不等式证明问题 教学难点：灵活应用函数解决不等式问题 教学过程： 1． 基础检测：证明不等式 二．方法梳理：证明f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0.先通过化简、变形，再移项构造不等式就减少运算量，使得问题顺利解决. 三.方法强化：证明不等式：（1）； （2） 四.方法拓展：（放缩法证明不等式） 例1.（2023新高考I卷19） 已知函数 （1）讨论f(x)的单调性； （2）证明：当a>0时，. 解析：（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 练习：(2013-21)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)＞0. 五，课后巩固： 1.已知函数f(x)＝(x∈R)． (1)求 f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求证：当x∈[0，π]时，f(x)≤x. 解(1)　由题知，f(0)＝0，f′(x)＝， 所以切点坐标为(0,0)，斜率为f′(0)＝＝1， 所以所求切线方程为x－y＝0. (2)证明　f(x)≤x(x∈[0，π])， 即≤x(x∈[0，π])⇔xex－sin x≥0(x∈[0，π])， 令g(x)＝xex－sin x，x∈[0，π]， 则g′(x)＝ex＋xex－cos x， 令h(x)＝ex＋xex－cos x，x∈[0，π]， 则h′(x)＝2ex＋xex＋sin x>0在[0，π]上恒成立， 所以h(x)在[0，π]上单调递增，则h(x)≥h(0)＝0， 所以g′(x)≥0在[0，π]上恒成立， 即g(x)在[0，π]上单调递增，所以g(x)≥g(0)＝0， 即xex－sin x≥0(x∈[0，π])， 综上，当x∈[0，π]时，f(x)≤x. 2.已知函数f(x)＝ex＋x2－x－1. (1)求f(x)的最小值； (2)证明：ex＋xln x＋x2－2x>0. 解(1)　由题意可得 f′(x)＝ex＋2x－1， 则函数f′(x)在R上单调递增，且f′(0)＝0. 由f′(x)>0，得x>0；由f′(x)<0，得x<0. 则f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 故f(x)min＝f(0)＝0. (2)证明　要证ex＋xln x＋x2－2x>0， 即证ex＋x2－x－1>－xln x＋x－1. 由(1)可知当x>0时，f(x)>0恒成立． 设g(x)＝－xln x＋x－1，x>0， 则g′(x)＝－ln x. 由g′(x)>0，得0<x<1； 由 g′(x)<0，得x>1. 则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而g(x)≤g(1)＝0，当且仅当x＝1时，等号成立． 故f(x)>g(x)，即ex＋xln x＋x2－2x>0. 第三课时 不等式恒（能）成立问题 教学目标：会将不等式恒（能）成立问题进行转化，构造函数，利用导数研究函数的性质，从而解决不等式问题 教学重点：通过导数研究函数的性质，解决不等式恒（能）成立问题 教学难点：灵活应用函数解决不等式问题 教学过程： 一，基础检测：当，求a的取值范围。 （两种解法） 二.题型方法总结 求解不等式恒成立问题的方法 (1)构造函数分类讨论：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x) 或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论． （2）分离参数法：利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围. 三．考点强化： 例1.设函数f(x)＝ex－ax2－x＋1，a∈R. (1)当a＝0时，求f(x)的最小值； (2)若f(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． 解　(1)当a＝0时，f(x)＝ex－x＋1，x∈R， 则f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝2. (2)由题意知，当x>0时，f(x)≥0恒成立等价于 ex－ax2－x＋1≥0对任意x>0恒成立，即a≤对任意x>0恒成立， 令h(x)＝，x>0，则h′(x)＝， 所以当0<x<2时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减； 当x>2时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增， 所以当x＝2时，函数h(x)有最小值h(2)＝， 所以a的取值范围为a≤. 例2. 已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)当a＝1时，求f(x)的单调区间与极值； (2)若f(x)≤x2在(0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1， 当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x＝0时，函数f(x)有极小值f(0)＝0，无极大值． 即f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)，极小值为0，无极大值． (2)因为f(x)≤x2在(0，＋∞)上有解， 所以ex－x2－ax－1≤0在(0，＋∞)上有解， 当x>0时，不等式等价于a≥－在(0，＋∞)上有解， 令g(x)＝－，则g′(x)＝－＝， 由(1)知当a＝1，x>0时，f(x)>f(0)＝0， 即ex－(x＋1)>0， 所以当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0， 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x＝1时，g(x)min＝e－2，所以a≥e－2， 综上可知，实数a的取值范围是[e－2，＋∞) 规律方法：　 1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法 a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min； a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max. 2.含全称、存在量词不等式能成立问题 (1)存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max； (2)任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min. 四，课后巩固： 1.已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R，a≠0)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意的x∈[1，＋∞)，都有f(x)≥成立，求a的取值范围． 2.设函数。 （1）若，求的单调区间； （2）若当时，求的取值范围 3.已知函数在与时都取得极值 (Ⅰ)求的值与函数的单调区间 (Ⅱ)若对，不等式恒成立，求的取值范围。 4.已知函数，至少存在一个 使成立，求实数a的范围 5.f(x)＝x3-3x,对任意x1，x2∈[-3,2]，不等式|f (x1)－f (x2)|<t恒成立．求t的范围。 ，若对于任意的 求的取值范围 第4课时 函数中的构造问题 教学目标：了解根据已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 教学重点：依据等式或不等式的结构特征，构造新函数解决问题。 教学难点：新函数的构造 教学过程： 一.基础检测：已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式>0的解集是(　　) A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2,0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(0,2) 二.方法梳理： (1)对于f′(x)＋g′(x)＞0(或＜0) ，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)． (2)对于f′(x)－g′(x)＞0(或＜0) ，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)． 特别地，对于f′(x)＞k(或＜k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx. (3)对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)． (4)对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)． (5)对于nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)． （6）出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. （7）出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)． （8）.出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 三．考点强化 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<f′(x)－2，则(　　) A．f(2 023)－ef(2 022)<2(e－1) B．f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1) C．f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1) D．f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1) 2.设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0, 当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪(0,1)　　　 B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞) 3.设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)＞x2，则下列不等式在R上恒成立的是(　　) A．f(x)＞0 B．f(x)＜0 C．f(x)＞x D．f(x)＜x 4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________． 四.课后巩固： 1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(0,1) 2.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 024为奇函数，则不等式f(x)＋2 024ex<0的解集是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，ln 2 024) C．(0，＋∞) D．(2 024，＋∞) 3.(多选）定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－1>0，则下列结论正确的是(　　) A．f(2)－ln 2>f(1) 　　 B．f(4)－f(2)>ln 2 C．f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　　 D．f(e2)－f(e)>1 4.（多选）已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则(　　) A．3f(2)>2f(3) B．f(1)<f(2)<f(e)C．f(x)在x＝1处取得极小值 D．f(x)无极大值 5.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为________ 学科网（北京）股份有限公司 $$