2.2.2 直线的两点式方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.2.2直线的两点式方程 1 问题 利用点斜式解答如下问题: (1)已知直线l 经过两点P1(1,2)，P2 (3,5)，求直线l 的方程. 探究新知 在上节课中，我们通过已知直线上一点和直线的方向，探究了直线的点斜式和斜截式方程；那么这节课我们继续来研究直线的另一种代数表示：直线的两点式方程. 2 探究新知 x y l P2(x2, y2) P1(x1, y1) O (2)已知两点P1 (x1, y1)，P2 (x2, y2)，求通过这两点的直线方程. 探究新知 4 追问1：两点式方程的结构有什么特点? 1.运算：两边均是分式形式； 2.数量：左边均是纵坐标，右边均是横坐标； 3.下标：上下左右下标序号一致. 探究新知 5 注: 1.两点式适用于斜率存在和斜率不等于0的直线，即与两坐标轴 不垂直的直线. 2.直线的两点式方程使用的前提条件： 3.方程 可以表示直角坐标平面上过任意两点的直线，但形式不完美，一般不用. 探究新知 追问2：两点式适用于怎样的直线? 6 O x y y1 O x y x1 探究新知 小试牛刀 1.求经过下列两点的直线的两点式方程: (1) P1(2,1), P2(0,－3); (2) A(0,5), B(5,0). A B O y 探究新知 探究新知 x y l A(a,0) B(0,b) 注: 截距式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线. 追问：截距式适用于怎样的直线? 思考：截距式与两点式有什么联系和区别？ 两点式：已知直线上两点的坐标，写出的直线方程. 截距式：已知直线在两个坐标轴上的截距， 写出的直线方程。 截距式方程是两点式方程 的特殊情况。 要求条件：斜率存在且斜率不为0的直线 要求条件：斜率存在且斜率不为0，还得不过原点的直线. 探究新知 区别 联系 直线的方程 直线过 ， 直线的方程 直线的两点式方程 直线过 两点 直线过 ， 直线过 ， 直线的截距式方程 直线过 ， 因此我们来梳理一下过两点的直线的表示方法，首先，如果我们已知横纵坐标均不相等的两点，可以将两点代入两点式方程表示直线；如果这两点是坐标轴上的两个点，直线的两点式即可表示为直线的截距式方程；而对于一些特殊的情况，比如已知直线上两点的横坐标相同，则可以利用直线上任意点的几何特征，将直线方程表示为x=x1；如果这两点的纵坐标相同，直线可表示为y=y1；因此我们在表示已知两点的直线方程时，要注意这两点的位置关系 12 例2 求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程. 典例分析 小试牛刀 总结：1.若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程: x+y=a 或y=kx 2.若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程: x-y=a 或y=kx 3.若直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等，则直线l的方程: x+y=a 或y=kx 或x-y=a 1.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条? 2.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 两条 三条 直线方程为x+y-3=0或y=2x 直线方程为： x+y-3=0、x-y+1=0或y=2x 总结： 探究新知 LOGO 15 例3 已知三角形的三个顶点A(－5, 0), B(3, －3), C(0, 2)，求: (1)三角形三边所在直线的方程； y A B O C x 解: 典例分析 解: y A B O C x M 例3 已知三角形的三个顶点A(－5, 0), B(3, －3), C(0, 2)，求: (2)BC边上中线AM所在直线的方程； 典例分析 解: 典例分析 例3 已知三角形的三个顶点A(－5, 0), B(3, －3), C(0, 2)，求: (3)BC边垂直平分线l所在直线的方程. y A B O C x M l 1.至此，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？ 四种：点斜式、斜截式、两点式、截距式 2.它们之间的关系如何？ 斜截式是点斜式的特殊情形. 两点式是由点斜式推导出来的, 而截距式是两点式的特殊情形, 所以点斜式方程是四种直线方程的 核心 课堂小结 这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画. 涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率． 名 称 几 何 条 件 方程 适 用 范 围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 点P(x0,y0)和斜率k 斜率k, y轴上的纵截距b 在x轴上的截距a在y轴上的截距b P1(x1,y1),P2(x2,y2) 斜率存在 斜率存在 斜率存在，且不为0 斜率存在,且不为0,不经过原点 课堂小结 1.如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可. 2.选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. 零截距：如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，采用截距式求直线方程，一定要注意考虑“零截距”的情况． $$