1.4.2.3用空间向量研究综合问题课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2.3 用空间向量研究综合问题 复习回顾 1.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 x y z O 课堂练习 LOGO 3 1.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值. A C B A1 C1 B1 x y z O 课堂练习 LOGO 4 2. 如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB= BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°. 求: (1) 直线AD与直线BC所成角的大小; (2) 直线AD与平面BCD所成角的大小; (3) 平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. D B C A x y z O 课堂练习 LOGO 5 例9 某种礼物降落伞的示意图如图示，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°. 已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同. 求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0. 01 N). 如图，设水平面的单位法向量为 ，其中每一根绳子的拉力均为 . 因为 =30°，所以 在 上的投影向量为 . 所以8根绳子拉力的合力为 又因为降落伞匀速下落，所以 ∴ 每根绳子拉力的大小为1.41 N. 解： 典例分析 LOGO 6 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; B C D A P E F x y z (1) 证明: 连接AC, 交BD于点G, 连接EG. 依题意得 如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,设DC= 2. 解: G 因为底面ABCD是正方形, 所以点G是它的中心， 故点G的坐标为(1,1,0), 且 A(2,0,0), P(0,0,2), E(0,1,1). 即PA//EG. 而EG 平面EDB，且PA 平面EDB, 因此PA//平面EDB. 典例分析 LOGO 7 1.基底法 证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一个基底表示. 2.判定定理法 证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证. 3.法向量法 先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． 利用空间向量证明线面平行的三种方法 LOGO 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1) 求证: PA//平面EDB; (2) 求证: PB⊥平面EFD; (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. B C D A P E F x y z G 典例分析 依题意得 B(2,2,0). ∴PB⊥DE. 由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E， ∴PB⊥平面EFD. (2) 证明: LOGO 9 1.基底法：用基向量表示直线所在的向量，证直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零； 2.判定定理法：证直线方向向量与平面内两个不共线向量的数量积均为零； 3.法向量法：建系，求直线方向向量及平面法向量的坐标，证直线方向向量与平面法向量共线. 利用空间向量证明线面垂直的三种方法 LOGO 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 典例分析 B C D A P E F x y z G (3) : LOGO 11 例10 如图示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (3) 求平面CPB与平面PBD的夹角的大小. 典例分析 B C D A P E F x y z G LOGO 12 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. α l β A B C D 课堂练习 LOGO 13 1. 如图, 二面角α-l-β的棱上有两个点A, B, 线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内, 并且都垂直于棱l. 若AB=4, AC=6, BD=8, CD= , 求平面α与平面β的夹角. 课堂练习 α l β A B C D E LOGO 14 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何结论. （化为向量问题） （进行向量运算） （回到图形） 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”: 解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、向量法、坐标法． $$