3.2.2 奇偶性 同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

函数的奇偶性 ，在它们的公共定义域上有下面的结论: 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 【题型归纳】 题型一：函数奇偶函数的判断 1．下列命题正确的是（    ） A．奇函数的图象关于原点对称，且 B．偶函数的图象关于y轴对称，且 C．存在既是奇函数又是偶函数的函数 D．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称 2．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（    ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 3．判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：已知函数的奇偶性求函数值 4．已知函数f(x)为奇函数，当时，，则___． 5．已知函数是偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 6．设函数，若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 题型三：已知函数的奇偶性求参数值 7．已知是偶函数，则实数a的值为___________. 8．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 题型四：利用奇偶性求函数的解析式 9．若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 10．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求时，函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 题型五：抽象函数的奇偶性问题 11．定义在上的函数是单调函数，对于任意的、，恒有 ，则函数为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．无法判断奇偶性 12．若定义在上的函数满足：对于任意的、，恒有，则函数为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．无法判断奇偶性 题型六：奇偶性函数的应用 13．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（       ） A． B． C． D． 14．设为实数，定义在上的偶函数满足：①在上为增函数；②，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：函数的奇偶性与单调性解综合问题 15．已知是奇函数，且. (1)求实数的值． (2)判断函数在上的单调性，并加以证明． (3)求的最大值． 16．已知函数. (1)若，判断的奇偶性并加以证明. (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案详解】 1．C 【分析】根据奇偶性的定义判断． 【详解】奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x=0时有意义，比如，A错误； 偶函数的图象关于y轴对称，但不一定等于0，如，B错误； 函数y=0既是奇函数又是偶函数，C正确； 奇､偶数的定义域均是关于原点对称的区间，D错误. 故选：C. 2．C 【分析】由奇函数和偶函数的定义依次判断即可. 【详解】A选项：设，，则为偶函数，A错误； B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误； C选项：设，则，则为奇函数，C正确； D选项：设，则，则为偶函数，D错误． 故选：C. 3．(1)奇函数 (2)既不是奇函数也不是偶函数 (3)既是奇函数又是偶函数 (4)偶函数 【分析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案. （1） 的定义域是，关于原点对称， 又，所以是奇函数． （2） 因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数． （3） 因为的定义域为，所以， 则既是奇函数又是偶函数． （4） 方法一（定义法）  因为函数的定义域为R，所以函数的定义域关于原点对称． ①当x＞1时，，所以； ②当时，； ③当时，，所以． 综上，可知函数为偶函数． 方法二（图象法）  作出函数的图象，如图所示，易知函数为偶函数． 4．. 【解析】为奇函数，当时，， . 故答案为：. 5．D 【解析】为偶函数， ， ， 故选：D 6．B 【解析】由已知可得. 故选：B. 7． 【解析】由题意恒成立，即，恒成立， 所以． 故答案为： 8．C 【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得.又偶函数不含奇次项，所以，即，所以，所以. 故选：C 9．D 【分析】根据奇函数及得出，把转化为，根据所给解析式可求结果. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 因为，所以， 当时，； 因为当时，，所以 所以. 故选：D. 10．(1)； (2). 【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解； （2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解. （1） 设，则，所以 又为奇函数，所以， 所以当时，. （2） 作函数的图像如图所示， 要使在上单调递增，结合的图象知，所以， 所以的取值范围是. 11．A 12．A 【分析】分析可得，令可求得，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论. 【详解】因为，， 所以，，则， 函数的定义域为，令，可得，所以，， 令，则，所以，， 故函数为奇函数. 故选：A. 13．D 【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论． 【详解】因为对任意的，有， 所以当时，， 所以在上是减函数， 又是偶函数，所以，， 因为，所以， 即． 故选：D． 14．B 【分析】利用函数的奇偶性及单调性可得，进而即得. 【详解】因为为定义在上的偶函数，在上为增函数， 由可得， ∴， 解得. 故选：B. 15．(1)，； (2)在上为减函数，证明见解析； (3)． 【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可求解； （2）利用单调性的定义即可证明； （3）根据奇偶性与单调性即可求解. （1） 是奇函数，． ，，， 又， 解得：. 所以. （2） 在上为减函数， 证明如下：由（1）知， 令，则的单调性和的单调性相反， 设， 则， ，，， ，即， 在上为增函数， 则在上为减函数； （3） 由（1）（2）结合计算可知： 在上递减，在上递增， 在上递增，在上递减． 又当时，，且， ． 16．(1)为奇函数，证明过程见解析； (2) 【分析】（1）分与两种情况，先求定义域，再利用函数奇偶性的定义判断； （2）参变分离，整理为恒成立问题，求出的最大值，从而求出实数的取值范围. （1） ， 当时，，定义域为R，此时， 所以为奇函数， 当时，定义域为，且， 所以为奇函数， 综上：为奇函数. （2） , 即，在上恒成立， 整理为在上恒成立， 令， 当时，， 所以， 故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$