精品解析：安徽省合肥市第四中学2025届高三上学期教学诊断检测（一）数学试题

合肥四中2022级高三同步诊断（一） 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合，再根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由解得，所以， 所以， 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对数函数的单调性解不等式然后进行判断. 【详解】的解集是，反之不成立. 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 3. 已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令， ，根据复合函数的单调性及条件即可求出结果. 【详解】令，则， 因为在定义域上单调递增，又函数在区间上递增， 所以，得到， 故选：B. 4. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 5. 已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ） ①函数的图象关于直线对称 ②函数的图象关于点中心对称 ③函数的周期为4 ④ A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中抽象函数满足的条件，分别求出周期性、对称轴、对称中心等性质，进行运算和逐一判断，从而得出结论. 【详解】因为为偶函数，所以，所以，， 所以函数关于直线对称，不能确定是否关于直线对称，①错误； 因为为奇函数，所以，所以，所以， 所以函数关于点中心对称，故②正确， 由①可知，，由②可知，，故有，令，则有， 所以，解得， 所以函数周期为4，故③正确； ，故④正确． 故选：C． 6. 已知定义在上的函数的导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，由函数的单调性即可得到结果. 【详解】根据题意，令，， ，则函数在上单调递增， 又，所以不等式，即， 即为，即变形为，即得， ，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 7. 设函数，若，则最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 8. 设，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先通过构造函数得到当时，，再通过构造函数进一步得到，，由此即可比较，通过构造函数即可比较，由此即可得解. 【详解】设，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 令，则， 所以在上单调递增， 从而，即，， 所以，， 从而当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上所述：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：在比较的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，而在比较大小关系时，关键是通过构造适当的函数，通过导数研究函数单调性，从而来比较大小. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 与表示同一个函数 C. 关于的不等式的解集为，若，则 D. 若，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的求法判断A的真假；根据两个函数额值域判断B的真假；分情况讨论，根据集合间的关系求参数的取值范围，判断C的真假；根据不等式的性质证明不等式，判断D的真假. 【详解】对A：因为函数的定义域为，所以，由，所以函数的定义域为，故A正确； 对B：因为函数的值域为，函数的值域为，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对C：当时，或，所以或； 当时，无解，所以∅； 当时，，所以. 又，所以，只有∅时满足题意，此时，故C正确； 对D：因为， 所以，， 所以，即，故D正确. 故选：ACD 10. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是8 C. 的最小值是 D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】用均值不等式判断选项A、C、，对选项B进行“1的代换”，利用二次函数的性质判断选项D. 【详解】A：由，得， 所以(当且仅当时取等号)，故A正确； B：， 当且仅当时取等号，故B错误； C：，即 当且仅当时取等号，故C正确； D：由，则 当时取得最小值，最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，分别是函数和的零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数与方程思想，得到两根满足的方程关系，然后根据结构构造函数，求导，研究单调性，得到及，结合指对互化即可判断选项A、B、C，最后再通过对勾函数单调性求解范围即可判断选项D. 【详解】令，得，即，， 令，得，即，即，， 记函数，，则， 所以函数在上单调递增， 因为，，所以，故A错误； 又，所以，， 所以，故B正确； 所以，故C正确； 又，所以，结合，得， 因为，所以，且， 因为在区间上单调递减，所以， 即，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数的零点转化为方程的根，通过结构构造函数，利用函数单调性及指对互化找到根的关系得出结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于点成中心对称图形，，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的图象关于点成中心对称，所以，求出函数的解析式，构造函数，所以的图象关于点对称，所以是定义域上的奇函数，且在上单调递减，然后利用奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，即，所以， 所以，在定义域上单调递减， 令，因为函数的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于点对称，所以是定义域上的奇函数，且在上单调递减， 因为，所以， 即，所以， 所以，解得或， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】对求导后，代入可求得，根据导数几何意义可求得切线，则可将问题转化为与平行且与曲线相切的切点到直线的距离的求解，设切点，由切线斜率为可构造方程求得切点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果. 【详解】， ，解得：， ，则， 切线的方程为：，即； 若最小，则为与平行且与曲线相切的切点，所求最小距离为到直线的距离， 设所求切点，由，可得， 所以，即，又单调递增，而时， 所以，即， . 故答案为：. 14. 已知函数，关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，解方程，根据m的范围，结合图象讨论方程和的解的个数可得. 【详解】令， 则， 解，得， 当时，，由图可知，有两个实数解，有一个实数解， 此时方程有3个不同的实数解，不满足题意； 当时，，由图可知，有3个实数解，有一个实数解，满足题意； 当时，，有两个实数解，有一个实数解，不满足题意； 当时，，由图可知，有1个实数解，有1个或2个实数解，不满足题意； 当时，，由图可知，有1个实数解，有3个实数解，满足题意； 当时，，由图可知，有1个实数解，有2个实数解，不满足题意. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题属于函数零点的综合性问题，根据函数零点个数求参数的问题，常用数形结合法.本题先要从整体结构分析，通过换元法解方程，再将方程的根的个数问题转化为图象交点个数问题，利用数形结合分类讨论可得. 四、解答题：本题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的极小值为，其导函数的图象经过，两点. （1）求的解析式； （2）若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象经过，列方程，并判断极小值点，结合极小值为列方程，联立求解可得； （2）设切点坐标，求切线方程，根据题意可得方程有三个不同实数解，然后构造函数，利用导数讨论其单调性和极值，即可列出关于m的不等式组，求解可得. 【小问1详解】 ， 因为，且的图象经过，两点. 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，所以， 又因为，，所以，， 解方程组得，，， 所以. 【小问2详解】 设切点为，则， 因为，所以， 所以切线方程为， 将代入上式，得. 因为曲线恰有三条过点的切线，所以方程有三个不同实数解. 记，则导函数， 令，得或1. 列表： 0 1 + 0 - 0 + ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以的极大值为，的极小值为， 所以，解得.故的取值范围是. 16. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元. 【解析】 【分析】（1）每台售价200万，销售收入是，减去对应的成本，以及固定成本300万，即为利润； （2）观察利润的函数解析式，发现对应的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润. 【小问1详解】 当时，； 当时，， . 【小问2详解】 若，，当时，万元； 若，， 当且仅当时，即时，万元． 则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元. 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间与极值； （2）已知函数与函数的图象关于直线对称.证明：当时，不等式恒成立. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，函数的极大值为，无极小值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导函数的符号确定函数的递增递减区间，继而得到极大值； （2）令，求导利用单调性即得结论. 【小问1详解】 由可得：,故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以函数单调递增区间为，函数的单调递减区间为， 且当时，函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 因为函数与函数的图象关于直线对称，所以则. 令，则 则当时，，故函数单调递增， 于是，当时，，故当时，不等式恒成立. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）已知函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求得，分、两种情况讨论，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的减区间和增区间； （2）由可得，令，可得，令，分析可知，直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：函数的定义域为，. 当时，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为； 当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为. 【小问2详解】 解：函数的定义域为， 因为函数在上有两个零点，即有两个不同的正实数根， 即有两个不同的正实数解， 即有两个不同的正实数解， 令，则，可得， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的值域为，所以，， 令，其中，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 且当时，；当时，， 因为函数有两个不同的零点，则直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合肥四中2022级高三同步诊断（一） 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数在区间上递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ） ①函数的图象关于直线对称 ②函数的图象关于点中心对称 ③函数的周期为4 ④ A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 6. 已知定义在上函数的导函数为，若，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数，若，则最小值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 设，，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B 与表示同一个函数 C. 关于的不等式的解集为，若，则 D. 若，则的取值范围为 10. 已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是8 C. 的最小值是 D. 的最小值是 11. 已知，分别是函数和的零点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于点成中心对称图形，，则实数的取值范围是______. 13. 已知函数，点为曲线在点处的切线上的一点，点在曲线上，则的最小值为____________． 14. 已知函数，关于的方程有4个不同的实数解，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的极小值为，其导函数的图象经过，两点. （1）求的解析式； （2）若曲线恰有三条过点的切线，求实数的取值范围. 16. 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间与极值； （2）已知函数与函数图象关于直线对称.证明：当时，不等式恒成立. 18. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）已知函数有两个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$