精品解析：北师大版2023-2024学年七年级数学下册期末达标测试卷(二)

期末达标测试卷（二） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，1—6小题，每小题2分；7—16小题，每小题3分，共42分） 1 计算＝（　　） A. B. C. D. 2. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　） A l1 B. l2 C. l3 D. l4 3. 下列事件为不可能事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放广告 B. 明天太阳从东方升起 C. 投掷飞镖一次，命中靶心 D. 任意画一个三角形，其内角和是 4. 如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ） A. 平行线间的距离相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 5. 如果 ，那么m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，如果∠1＝∠3，∠2＝60°，那么∠4的度数为( ) A. 60° B. 100° C. 120° D. 130° 9. 如图，x值可能为（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 10. 若，，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 11. 如图，点 C 在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，是（    ） A. 以点 C 为圆心， 为半径的弧 B. 以点 C 为圆心，为半径的弧 C. 以点 E 为圆心， 为半径的弧 D. 以点 E 为圆心， 为半径的弧 12. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　） A. 北偏东30° B. 北偏东80° C. 北偏西30° D. 北偏西50° 13. 如图，三个大小相同的正方形拼成如右下图的多边形ABCDEF，一动点P从点A出发沿着A⇒B⇒C⇒D⇒E方向匀速运动，最后到达点E．运动过程中△PEF的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（　　） A. B. C. D. 14. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 15. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（　　） A. 25° B. 45° C. 50° D. 70° 16. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共3个小题，17，18小题，每小题3分；19小题4分，共10分） 17. 在2021年1月份抗击疫情时，中国青年志愿者和中国心理卫生协会向全国心理卫生服务工作者发出倡议，号召大家以志愿服务的方式，积极参与疫情防控工作．第三批心理志愿者招募50人，某市在所有报名的志愿者中随机抽查了部分志愿者的年龄情况，绘制了如下统计表： 报名志愿者年龄 24岁 26岁 30岁 35岁 人数 4 6 6 4 若想从抽查的报名志愿者中随机抽取1人来谈对这份工作的认知，则抽到志愿者年龄为26岁的概率为_____． 18. 某大学计划为新生配备如图1所示的折叠椅．图2是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿和的长相等，O是它们的中点．撑开后的折叠椅两支架着地部分的长度为，则折叠椅面的宽的长度为____． 19. 观察下列图形，若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为，第3个图形中阴影部分的面积为，第4个图形中阴影部分的面积为，…则第n个图形中阴影部分的面积为_____.（用字母n表示） 三、解答题（本大题共7个小题，共68分） 20. （1）计算： （2）计算： （3）先化简，再求值：，其中 21. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的 网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形在直线l的左侧，其四个顶点 A，B，C，D 分别在网格的格点上． （1）请你在所给的网格中画出四边形 ，使四边形 和四边形关于直线l对称，其中点 ，，，分别是点A，B，C，D 的对称点； （2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出线段的长度． 22. 某马拉松赛事共有三项：．“半程马拉松”、．“10公里”、．“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组． （1）求小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率； （2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 0.420 0.450 0.395 0.400 0.401 ①请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为_____________；（精确到0.1） ②若本次参赛选手大约有30000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少． 23. 如图，点E，F在AB上，. 求证：. 24. 在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）①若，求的度数为 ； ②若，的周长为，求的周长． 25. 一水果贩子在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1）农民自带零钱是多少？ （2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？ （3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，问他一共批发了多少千克的西瓜？ （4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱？ 26. 如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末达标测试卷（二） 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，1—6小题，每小题2分；7—16小题，每小题3分，共42分） 1. 计算＝（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握求n个相同因数积的运算，叫做乘方是解题的关键． 根据幂的意义和乘法是相同加数的和的简便运算即可得出答案． 【详解】解：原式， 故选：B 2. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（　　） A. l1 B. l2 C. l3 D. l4 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得到对称轴. 【详解】解:观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴； 沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴； 沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴， 所以该图形的对称轴是直线l3， 故选C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 3. 下列事件为不可能事件的是（ ） A. 打开电视，正在播放广告 B. 明天太阳从东方升起 C. 投掷飞镖一次，命中靶心 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小，可分为必然事件，随机事件，不可能事件，进而判断作答即可． 【详解】解：、打开电视，正在播放广告，是随机事件； 、明天太阳从东方升起，是必然事件； 、投掷飞镖一次，命中靶心，是随机事件； 、任意画一个三角形，其内角和是，是不可能事件； 故选． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. 4. 如图，体育课上测量跳远成绩的依据是（ ） A. 平行线间的距离相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂线段最短即可得． 【详解】体育课上测量跳远成绩是：落地时脚跟所在点到起跳线的距离，依据的是垂线段最短 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线段最短的应用，掌握体育常识和垂线段公理是解题关键． 5. 如果 ，那么m 的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了零指数幂，直接利用零指数幂：，即可得出答案． 【详解】解：由任何非零数的零次幂为1，得 ，即 ． 故选：D． 6. 按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐项代入，寻找正确答案即可. 【详解】解：A选项满足m≤n，则y=2m+1=3； B选项不满足m≤n，则y=2n-1=-1； C选项满足m≤n，则y=2m+1=3； D选项不满足m≤n，则y=2n-1=1； 故答案为D； 【点睛】本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值. 7. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方和公式计算即可判断错误；根据同类项定义：所含字母相同，相同字母指数也相同，再由合并同类项法则计算即可判断错误；根据单项式除以单项式法则计算，即可判断错误；根据幂的乘方计算即可判断正确． 【详解】解：、，故原选项错误，不符合题意； 、，故原选项错误，不符合题意； 、，故原选项错误，不符合题意； 、，故正确，D符合题意； 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的乘除法混合运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则． 8. 如图，如果∠1＝∠3，∠2＝60°，那么∠4的度数为( ) A. 60° B. 100° C. 120° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质求出∠5＝∠2，再根据互补的定理即可解答 【详解】∵∠1＝∠3， ∴a∥b， ∴∠5＝∠2＝60°， ∴∠4＝180°﹣60°＝120°， 故选C. 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，解题关键在于利用平行线的性质进行解答 9. 如图，x的值可能为（ ） A. 10 B. 9 C. 7 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系结合图形的特征即可得到关于x的不等式组，再解出即可. 【详解】由图可得，解得 故选B. 【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边. 10. 若，，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】注意到题中有平方和出现，考虑用完全平方公式进行解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 得， 故选：B． 【点睛】此题主要考查完全平方公式的转化．通常题中出现平方和，可以优先考虑使用完全平方公式，但要熟记并会运用完全平方公式，完全平方公式为：． 11. 如图，点 C 在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，是（    ） A. 以点 C 为圆心， 为半径的弧 B. 以点 C 为圆心，为半径的弧 C. 以点 E 为圆心， 为半径的弧 D. 以点 E 为圆心， 为半径的弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．根据作一个角等于已知角的步骤即可得． 【详解】解：作图痕迹中，是以点 E 为圆心， 为半径的弧． 故选：D． 12. 如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（　　） A. 北偏东30° B. 北偏东80° C. 北偏西30° D. 北偏西50° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：如图， AP∥BC， ∴∠2=∠1=50°， ∵∠EBF=80°=∠2+∠3， ∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°， ∴此时的航行方向为北偏东30°， 故选A． 【点睛】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出∠2是解题关键． 13. 如图，三个大小相同的正方形拼成如右下图的多边形ABCDEF，一动点P从点A出发沿着A⇒B⇒C⇒D⇒E方向匀速运动，最后到达点E．运动过程中△PEF的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查函数图像与实际问题．面积在P在AB上运动过程中不变化；由B到C过程中减少；由C到D中不变；由D到E过程中减少．故正确选项为B． 14. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 15. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（　　） A. 25° B. 45° C. 50° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=25°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=25°，然后可算出∠ACF的度数． 【详解】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=25°， ∵∠A=60°， ∴∠ACB=180°﹣60°﹣25°×2=70°， ∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF=CF， ∴∠FCB=25°， ∴∠ACF=70°﹣25°=45°， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 16. 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点M，与OB交于点N，由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是P1P2的长，此时△PMN的周长最小． ∵OP=5，△PMN周长的最小值是5cm， ∴OP2=OP1=OP=5． 又∵P1P2=5， ∴OP1=OP2=P1P2， ∴△OP1P2是等边三角形， ∴∠P2OP1=60°， ∴2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°，即∠AOB=30°， 故选：B． 二、填空题（本大题共3个小题，17，18小题，每小题3分；19小题4分，共10分） 17. 在2021年1月份抗击疫情时，中国青年志愿者和中国心理卫生协会向全国心理卫生服务工作者发出倡议，号召大家以志愿服务的方式，积极参与疫情防控工作．第三批心理志愿者招募50人，某市在所有报名的志愿者中随机抽查了部分志愿者的年龄情况，绘制了如下统计表： 报名志愿者年龄 24岁 26岁 30岁 35岁 人数 4 6 6 4 若想从抽查的报名志愿者中随机抽取1人来谈对这份工作的认知，则抽到志愿者年龄为26岁的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用；根据概率公式可得答案． 【详解】解：因为， 即共抽查了20名志愿者的年龄情况，其中年龄为26岁的有6人， 所以抽到志愿者年龄为26岁的概率是． 故答案为：． 18. 某大学计划为新生配备如图1所示的折叠椅．图2是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿和的长相等，O是它们的中点．撑开后的折叠椅两支架着地部分的长度为，则折叠椅面的宽的长度为____． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明即可求得答案． 【详解】解：由题意得，， 在和中， ， ∴ ∴（全等三角形对应边相等）． 故答案为：27． 19. 观察下列图形，若第1个图形中阴影部分的面积为1，第2个图形中阴影部分的面积为，第3个图形中阴影部分的面积为，第4个图形中阴影部分的面积为，…则第n个图形中阴影部分的面积为_____.（用字母n表示） 【答案】n﹣1（n为整数） 【解析】 【详解】试题分析：观察图形可得，第1个图形中阴影部分的面积=（）0=1；第2个图形中阴影部分的面积=（）1=；第3个图形中阴影部分的面积=（）2=；第4个图形中阴影部分的面积=（）3=；…根据此规律可得第n个图形中阴影部分的面积=（）n-1（n为整数）• 考点：图形规律探究题． 三、解答题（本大题共7个小题，共68分） 20. （1）计算： （2）计算： （3）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先计算乘方和零次幂，再根据单项式的乘法法则计算即可； （2）先计算多项式乘多项式，多项式除以单项式，再合并同类项即可； （3）先利用乘法公式去括号，再合并同类项，然后代入数据计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ， 当时，原式． 21. 如图所示，在边长为1的小正方形组成的 网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形在直线l的左侧，其四个顶点 A，B，C，D 分别在网格的格点上． （1）请你在所给的网格中画出四边形 ，使四边形 和四边形关于直线l对称，其中点 ，，，分别是点A，B，C，D 的对称点； （2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出线段的长度． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换的知识，要求同学们掌握轴对称的性质，能用格点三角形求线段的长度． （1）根据轴对称的性质，找到各点的对称点，顺次连接即可； （2）结合图形即可得出线段的长度． 【小问1详解】 解：四边形即为所求． 【小问2详解】 由图可知点A和点到直线l的距离都是3网格，即为3， 则． 22. 某马拉松赛事共有三项：．“半程马拉松”、．“10公里”、．“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组． （1）求小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率； （2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 200 500 1000 参加“迷你马拉松”人数 21 45 79 200 401 参加“迷你马拉松”频率 0.420 0.450 0.395 0.400 0.401 ①请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为_____________；（精确到0.1） ②若本次参赛选手大约有30000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少． 【答案】（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为；（2）①0.4；②估计参加“迷你马拉松”的人数是12000人． 【解析】 【分析】（1）利用概率公式直接得出答案； （2）①利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率； ②利用①中所求，进而得出参加“迷你马拉松”的人数． 【详解】解：（1）∵小明参加了该现赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组， ∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为． （2）①0.4． ②30000×0.4=12000（人）， ∴估计参加“迷你马拉松”的人数是12000人． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，正确理解频率与概率之间的关系是解题关键． 23. 如图，点E，F在AB上，. 求证：. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】先将AE=BF转化为AF＝BE，再利用SAS证明两个三角形全等． 【详解】证明：因为AE＝BF， 所以，AE＋EF＝BF＋EF， 即AF＝BE， 在△ADF和△BCE中， 所以，． 【点睛】用SAS证明两三角形全等． 24. 在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E． （1）求证：是等腰三角形； （2）①若，求的度数为 ； ②若，的周长为，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）①由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，利用等边对等角求得的度数，则可求得的度数； ②将的周长转化为的长即可求得． 【小问1详解】 解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：①在中， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴； 故答案为：； ②∵的垂直平分线交于点D，， ∴， ∵周长为， ∴， ∴的周长． 【点睛】此题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 25. 一水果贩子在批发市场按每千克1.8元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题： （1）农民自带的零钱是多少？ （2）降价前他每千克西瓜出售的价格是多少？ （3）随后他按每千克下降0.5元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，问他一共批发了多少千克的西瓜？ （4）请问这个水果贩子一共赚了多少钱？ 【答案】（1）农民自带的零钱为50元；（2）降价前他每千克西瓜出售的价格是3.5元；（3）他一共批发了120千克的西瓜；（4）这个水果贩子一共赚了184元钱． 【解析】 【分析】（1）图象与y轴的交点就是农民自带的零钱； （2）用降价前销售金额除以销售量即可求解； （3）计算出降价后卖出的西瓜+未降价卖出的质量=总共的西瓜； （4）赚的钱=总收入-批发西瓜用的钱． 【详解】解：（1）由图可得农民自带的零钱为50元， 答：农民自带的零钱为50元； （2）（330﹣50）÷80 ＝280÷80 ＝3.5元， 答：降价前他每千克西瓜出售的价格是3.5元； （3）（450﹣330）÷（3.5﹣0.5）＝120÷3＝40（千克）， 80+40＝120千克， 答：他一共批发了120千克的西瓜； （4）450﹣120×1.8﹣50＝184元， 答：这个水果贩子一共赚了184元钱． 【点睛】此题考查了函数的图象问题，结合图象，获取正确信息是解题的关键． 26. 如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难） 【答案】（1）∠APC=∠PAB+∠PCD； （2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°； （3）∠APC=∠PAB-∠PCD； （4）∠APC=∠PCD-∠PAB 证明见解析 【解析】 【分析】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可． 【详解】如图： （1）∠APC=∠PAB+∠PCD； 证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF， ∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）． （2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°； （3）∠APC=∠PAB-∠PCD； （4）∠APC=∠PCD-∠PAB 证明第（4）个结论： ∵AB∥CD， ∴∠POB=∠PCD， ∵∠POB是△AOP的外角， ∴∠APC+∠PAB=∠POB， ∴∠APC=∠POB-∠PAB， ∴∠APC=∠PCD-∠PAB． 【点睛】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$