第一章 特殊平行四边形 练习课件2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 第1课时 　菱形的性质 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 菱形的四条边都相等 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．(2023·深圳)如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为边CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为________. 24 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD. ∵点E，F分别是CD，AD的中点， ∴DE＝DF. 又∵∠ADE＝∠CDF， ∴△AED≌△CFD(SAS)， ∴AE＝CF. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 菱形的对角线互相垂直平分 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.下列说法中错误的是(　 　) A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．OA＝OC B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上．若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数是______. 64° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC＝6，BD＝8，则OE＝_______. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，DC上．下列条件中，添加之后不能判定△ABE≌△ADF的是(　 　) A．BE＝DF　　　　 B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD　　　　 D．∠AEB＝∠AFD C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E为OB的中点，点F为AD的中点，连接EF， 则EF的长为_______. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．(2023·绍兴)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是____________. 10°或80° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE. (1)求证：BD＝CE. (2)当AD＝5，BD＝6时，求△ACE的周长． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝CD. 又∵BE＝AB， ∴BE∥CD，BE＝CD， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BD＝CE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)由(1)知，AD＝BC＝5，BD＝CE＝6， BD∥CE. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∴AC⊥CE. ∵BE＝AB，∴AE＝2BC＝10， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 13．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E，F在菱形ABCD内部，且△AEF为等边三角形． (1)求证：BE＝CF. (2)若AE＝6，BE＝10，CE＝8，求∠AEC的度数． 解：(1)证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴DC＝DA＝AB＝BC， ∠DAC＝∠CAB. ∵DC＝DA，∠D＝60°， ∴△DAC为等边三角形， ∴AC＝AD，∠DAC＝∠CAB＝60°， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） ∴AC＝AB. ∵△AEF为等边三角形， ∴∠FAE＝60°，FA＝EA， ∴∠FAE－∠EAC＝∠CAB－∠EAC， 即∠FAC＝∠EAB. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)∵BE＝CF，∴CF＝10. ∵CF＝10，EF＝AE＝6，CE＝8， ∴CF2＝EF2＋CE2，∴∠CEF＝90°. ∵△AEF为等边三角形， ∴∠FEA＝60°，∴∠AEC＝90°＋60°＝150°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1．在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝5，则BD的长是(　 　) A． B．5 C．5 D．10 ∴DE＝CD，DF＝AD， 11．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝70°，延长BC到点E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为点F.若DF＝，则对角线BD的长是______(结果保留根号)． 2 ∴AC＝＝＝8， ∴△ACE的周长是6＋8＋10＝24. 在△CFA和△BEA中， ∴△CFA≌△BEA(SAS)， ∴CF＝BE，即BE＝CF. $$第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 第2课时　菱形的判定 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．如图，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是(　 　) A．AB＝AC B．AB＝CD C．AC＝BD D．AB＝AD 1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD.下列条件中能判定四边形ABCD是菱形的是(　 　) A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60° A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，点F在AD上，且AF＝AB，连接BF交AE于点G，连接EF.求证：四边形ABEF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB. ∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB. ∵AF＝AB，∴BE＝AF. 又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AF＝AB，∴平行四边形ABEF是菱形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4．如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O.下列说法正确的是(　 　) A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，且满足AO＝CO.请你添加一个适当的条件_____________________，使四边形ABCD成为菱形． BO＝DO(答案不唯一) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．教材P6例2改编如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3.求证：▱ABCD是菱形． 证明：∵AB＝5，AO＝4，BO＝3， ∴AB2＝AO2＋BO2， ∴△OAB 是直角三角形， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3 四边相等的四边形是菱形 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到由△DBC与△ABC拼成的四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的条件是(　 　) A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．如图，AC＝8，分别以点A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和点D，依次连接点A，B，C，D，连接BD交AC于点O. (1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由． (2)求BD的长． 解：(1)四边形ABCD是菱形． 理由如下： 由题意，得AB＝AD＝CB＝CD＝5， ∴四边形ABCD是菱形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F，则四边形AFCE是菱形； 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形． 关于甲、乙两人的作法，下列判断中正确的是(　 　) A．仅甲正确　 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确　 D．甲、乙均错误 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为点O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______ __________________________________(只需写出一个条件即可)． AB＝ CD或AD∥BC或OA＝OC或OB＝OD等 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 11．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.其中能使四边形BECF是菱形的一个条件是____(填序号)． ③ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 12．如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F. (1)求证：AD＝CF. (2)连接AF，CD.如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论． 解：(1)证明：∵CF∥AB， ∴∠ADF＝∠CFD， ∠DAC＝∠FCA. ∵点E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∴△ADE≌△CFE(AAS)， ∴AD＝CF. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形． 证明如下：由(1)知，AD＝CF. ∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形， ∴点E是AC的中点． ∵点D是AB的中点，∴DE∥BC. ∵AC⊥BC，∴DE⊥AC， ∴四边形ADCF是菱形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD. 在Rt△AOB中，OB＝＝＝3， ∴BD＝2OB＝6. $$第一章　特殊平行四边形 1　菱形的性质与判定 第3课时　菱形的性质与判定的综合运用 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．已知菱形ABCD的对角线AC＝10，BD＝8，则菱形ABCD的面积是(　 　) A．80 B．60 C．40 D．30 1 菱形的面积 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．若菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，且菱形的面积为16 cm2，则菱形的周长为______cm. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF. (1)求证：△AEF是等边三角形． (2)若AB＝4，求四边形AECF的面积． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 菱形的性质与判定的综合运用 6．如图，点O既是AB的中点，又是CD的中点，且AB⊥CD，连接AC，BC，AD，BD.若AC＝2，则四边形ACBD的周长是(　 　) A．6 B．8 C．10 D．无法确定 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；分别以点A，B为圆心，OA长为半径画弧，两弧交于点C；连接AC，BC，AB，OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2，则OC的长是______cm. 4 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，并交AB于点E，DF∥AB，并交AC于点F.若AF＝6，求四边形AEDF的周长． 解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∠EAD＝∠FDA. ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA， ∴FA＝FD， ∴四边形AEDF是菱形． ∵AF＝6，∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC.小华依下列方法作图：①作∠C的平分线交AB于点D；②作CD的垂直平分线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是(　 　) A．四边形CEDF为菱形 B．DE＝DA C．DF⊥CB D．CD＝BD A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 11．如图，点E，F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20.若BD＝24，则四边形ABCD的面积是________. 72 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 13．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，点E是CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F. (1)求证：四边形BDFC是平行四边形． (2)若BF⊥CD，AD＝10 cm，AF＝30 cm. ①求BD的长； ②直接写出四边形ABCF的周长． 解：(1)证明： ∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝180°， ∴BC∥AD， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是(　 　) A．18 B．18 C．36 D．36 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，BC上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的面积是______. 4 8 解：(1)证△ABE≌△ADF， ∠EAF＝60°即可． (2)S四边形AECF＝S菱形ABCD－2S△ABE＝8－4＝4. 9．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(9,0)，点C的坐标为(0,3)，以OA，OC为边作长方形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当移动时间为4 s时，AC·EF的值为(　 　) A. B．9 C．15 D．30 12．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD. (1)求证：AC⊥BD. (2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，若EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长． (2)∵点E，F分别为AD，AO的中点，∴EF是△AOD的中位线， ∴EF＝OD. ∵EF＝，∴OD＝3. ∵四边形ABCD是菱形，∴BD＝2OD＝6. ∵AC⊥BD，在Rt△AOD中，AO＝2，OD＝3， ∴AD＝＝＝， ∴菱形ABCD的周长为4. ∴∠CBE＝∠DFE. ∵点E是CD的中点，∴CE＝DE. 在△BEC与△FED中， ∴△BEC≌△FED(AAS)， ∴BE＝FE，∴四边形BDFC是平行四边形． (2)①∵BF⊥CD，四边形BDFC是平行四边形， ∴四边形BDFC是菱形． ∵AD＝10 cm，AF＝30 cm， ∴DF＝30－10＝20 cm， ∴BD＝BC＝CF＝DF＝20 cm. ②在Rt△BAD中， AB＝＝＝10， ∴四边形ABCF的周长是30＋20×2＋10＝70＋10(cm)． 故四边形ABCF的周长是(70＋10)cm. $$第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定 第1课时 　矩形的性质 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．矩形具有而菱形不具有的性质是(　 　) A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 1 矩形的性质 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠DOC＝120°，AO＝1，则AD的长是(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b.若∠1＝60°，则∠2＝_______. 60° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF.若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF＝_____cm. 2.5 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，延长BC至点E，使CE＝BC，连接DE.求证：DE＝AC. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，∠BCD＝90°. ∵BC＝CE， ∴DC是BE的垂直平分线， ∴BD＝DE，∴DE＝AC. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F.求证：BE＝CF. 证明：先证OB＝OC， 再证△OBE≌△OCF即可． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2 直角三角形斜边上的中线 7．如图，某生态公园的人工湖周边修葺了3条湖畔小径，小径BC，AC恰好互相垂直，小径AB的中点M刚好在湖与小径相交处．若测得BC的长为0.8 km，AC的长为0.6 km，则C，M两点间的距离为(　 　) A．0.5 km B．0.6 km C．0.8 km D．1 km A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．若∠A＝30°，则∠BCD的度数是(　 　) A．35° B．45° C．60° D．55° C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点M，N分别是AC，BD的中点，连接MN.求证：MN⊥BD. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABOM的周长是(　 　) A．14 B．16 C．17 D．18 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 11．如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝____. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 12．如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为点F. (1)求证：DF＝AB. (2)若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD的长． 解：(1)证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF. 又∵DF⊥AE， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DFA＝∠B. 又∵AD＝AE， ∴△ADF≌△EAB(AAS)， ∴DF＝AB. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)∵∠ADF＋∠FDC＝90°， ∠DAF＋∠ADF＝90°， ∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF. ∵DF＝AB，∴AD＝2AB＝8. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)易求∠FBA＝45°，∠ECA＝45°，∠ABC＋ ∠ACB＝45°， ∴∠FBC＋∠ECB＝135°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°， 点M是AC的中点， ∴MB＝AC，MD＝AC， ∴MD＝MB. ∵点N是BD中点， ∴MN⊥BD. 13．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，CE，BF是△ABC的高，点D是BC的中点，连接DF，EF. (1)求∠FBC＋∠ECB的度数． (2)求的值． (2)如图，连接DE，易证DE＝DF＝DB＝DC， ∴∠FBD＝∠BFD，∠ECD＝∠DEC， ∴∠FBD＋∠BFD＋∠ECD＋∠DEC＝270°， ∴∠BDF＋∠CDE＝90°， ∴∠EDF＝90°， ∴△FDE为等腰直角三角形， ∴＝. $$第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定 第2课时　矩形的判定 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．在▱ABCD中，当∠A＝______ 时，四边形ABCD是矩形． 2．如图，DE∥AB，DF∥AC.若∠B＝50°，则当∠C＝____时，四边形AFDE是矩形． 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 90° 40° 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 3．如图，点O是菱形ABCD对角线AC，BD的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E.求证：四边形OCED是矩形． 证明：∵CE∥OD， DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°， ∴四边形OCED是矩形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 2 对角线相等的平行四边形是矩形 4．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(　 　) A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 5．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2.若要使▱ABCD为矩形，则OB的长是(　 　) 　 A．4 B．3 C．2 D．1 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 6．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，DE，BC相交于点O，∠BOD＝2∠A．求证：四边形BECD是矩形． 解：易证BE綊CD， ∴四边形BECD是平行四边形． ∵∠BOD＝2∠A＝2∠BCD， ∴∠ODC＝∠BCD， ∴OD＝OC，∴BC＝DE， ∴四边形BECD是矩形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 3 有三个角是直角的四边形是矩形 7．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形的门框是否为矩形．下列是某学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是(　 　) A．测量对角线是否相互平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 8．在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°.添加下列条件，不能使四边形ABCD成为矩形的是(　 　) A．∠B＝90° B．∠C＝90° C．AB∥CD D．AD＝BC A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 9．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，BE平分∠CBF，CE⊥BE于点E.求证：四边形BDCE是矩形． 解：∵AB＝BC， BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC. 又∵BE平分∠CBF， ∴∠DBE＝90°. 又∵∠E＝90°， ∴四边形BDCE是矩形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，连接CF.若添加一个条件使四边形ADFC为矩形，则这个条件不可能是(　 　) A．AC＝CF B．∠F＝90° C．∠B＝∠BCF D．DE＝EF A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 12．如图，在▱ABCD中，点E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC至点G，使CG＝CE，连接DG，DE，FG. (1)求证：△ABE≌△FCE. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， ∴∠EAB＝∠CFE. 又∵点E为BC的中点， ∴EC＝EB， ∴在△ABE和△FCE中， 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 (2)若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形． (2)∵△ABE≌△FCE，∴AB＝CF. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC， ∴DC＝CF. 又∵CE＝CG，∴四边形DEFG是平行四边形． ∵点E为BC的中点，CE＝CG，∴BC＝EG. 又∵AD＝BC＝EG＝2AB，DF＝CD＋CF＝2CD＝2AB， ∴DF＝EG， ∴平行四边形DEFG是矩形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．下列说法中不一定正确的是(　 　) A．四边形CDFE是矩形 B．DE＝CF＝AB C．S△CDE＝S△AEF D．∠B＝30° ∴△ABE≌△FCE(AAS)． 13．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，连接BD. (1)如图1，若DB＝DC，求证：AD＝BC. (2)如图2，点E是CD的中点，连接AE. ①若∠1＝60°，求证：BC＋AD＝AB. ②若BD＝BC，求证：∠1＝∠2. 证明：(1)如图，过点D作DM⊥BC于点M，易证四边形ABMD为矩形，∴AD＝BM. ∵DB＝DC，∴BM＝CM，∴AD＝BC. (2)如图，①延长AE交BC的延长线于点N， 易证△ADE≌△NCE(ASA)． ∵∠1＝60°，∠ABC＝90°， ∴BC＋AD＝BN＝AB. ②如图，连接BE. ∵BD＝BC，DE＝CE，∴BE⊥CD， ∴∠2＋∠EBC＝90°. 又∵AE＝EN，∠ABC＝90°， ∴AE＝BE，∴∠1＝∠ABE. ∵∠ABE＋∠EBC＝90°， ∴∠ABE＝∠2，∴∠1＝∠2. $$第一章　特殊平行四边形 2　矩形的性质与判定 第3课时 　矩形的性质与判定的综合运用 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．若矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的周长是(　 　) A．28 B．40 C．56 D．48 1 矩形的性质与判定的综合运用 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2.若AC＝3 cm，则BD的长是(　 　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） D 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若OA＝OB，∠OAB＝50°，则∠ODC＝______. 50°　 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使DE＝AD.下列条件：①AB＝BE；②BE⊥DC；③∠ADB＝90°；④DE＝CE.其中能使四边形DBCE成为矩形的是______ (填序号)． ①③ 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6．若四边形ABCD的对角线BD＝AC，且对角线AC与BD互相平分于点O，则四边形ABCD是____形．若∠AOB＝60°，则AB：AC＝__________. 矩 1：2 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 7．教材P16例3改编如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形． (1)求证：四边形ABCD是矩形． (2)若OE⊥BD，并交BC于点E，求证：BE＝2CE. 证明：(1)∵△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB. 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)∵▱ABCD是矩形，△AOB是等边三角形， ∴∠OBE＝30°， ∴BE＝2OE. ∵∠EOC＝∠ECO＝30°， ∴OE＝CE，∴BE＝2CE. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是边AB上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，CD，则线段EF的最小值是(　 　) A．5　 B．4.8　 C．4.6　 D．4.4 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 9．如图，AC，BD是四边形ABCD的两条对角线，且AC⊥BD，已知AC＝10，BD＝8，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则EG＝_____. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 10．如图，四边形ABCD是一个矩形，在AD，BC上各取一点G，H，使得AG＝AH，CG＝CH，再取AH，CG的中点E，F，连接EG，FH.已知∠BAH＝∠GCD＝30°，GH＝8，则四边形EHFG的面积为________. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 11．如图，在▱ABCD中，连接BD，点E为边AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°. (1)求证：四边形ABDF是矩形． (2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，即AB∥CF， ∴∠BAE＝∠FDE. ∵点E为AD的中点， ∴AE＝DE. 又∵∠AEB＝∠DEF，∴△ABE≌△DFE(ASA)， ∴AB＝DF. 又∵AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形． 又∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°. ∵将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上， ∴∠AFE＝∠B＝90°，AF＝CF. ∵∠AFE＋∠CFE＝180°， ∴∠CFE＝180°－∠AFE＝90°. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1,3)，则对角线BD的长是(　 　) A． B．2 C．2 D． 16 (2)由(1)知，四边形ABDF是矩形， ∴AB＝DF＝3，∠AFD＝90°， ∴在Rt△ADF中，AF＝＝＝4. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3， ∴CF＝CD＋DF＝3＋3＝6， ∴S＝·AF＝××4＝18. 12．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的一点，将△ABE沿AE翻折后，点B恰好落在对角线AC的中点F上． (1)求证：△AEF≌△CEF. (2)若AB＝，求折痕AE的长． ∴∠AFE＝∠CFE. 在△AEF和△CEF中， ∴△AEF≌△CEF(SAS)． (2)由(1)知，△AEF≌△CEF， ∴∠EAF＝∠ECF. 由折叠性质，得∠BAE＝∠EAF， ∴∠BAE＝∠EAF＝∠ECF. ∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴∠BAC＋∠BCA＝90°，∴3∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝30°. 设BE＝x，则AE＝2BE＝2x. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得x2＋()2＝(2x)2，解得x＝1(负值舍去)，∴AE＝2x＝2. $$第一章　特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定 第1课时 　正方形的性质 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．如图，四边形OBCD是正方形，若点O，D的坐标分别是(0,0)，(0,6)，则点C的坐标是(　 　) A．(6,3) B．(3,6) C．(0,6) D．(6,6) 1 正方形的四个角都是直角，四条边相等 D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 2．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠AEC的度数是_____. 45° 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，BE，AF相交于点O，且AE＝DF.求证： (1)BE＝AF. (2)BE⊥AF. 证明：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ADF，BA＝AD. 又∵AE＝DF， ∴△BAE≌△ADF(SAS)， ∴BE＝AF. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 (2)∵△BAE≌△ADF， ∴∠ABE＝∠DAF. 又∵∠ABE＋∠AEO＝90°， ∴∠DAF＋∠AEO＝90°， ∴∠AOE＝90°， ∴BE⊥AF. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 2 正方形的对角线相等且互相垂直平分 4．正方形具有而菱形不具有的性质是(　 　) A．对角线互相平行 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线相等 D．对边相等 C C 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 45° 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 7．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AD，AB上的点，若∠EOF＝90°，求证：△DOE≌△AOF. 证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O， ∴DO＝BO，AO＝CO， 且BD＝AC，BD⊥AC， ∴∠AOD＝90°. ∵∠EOF＝90°， ∴∠DOE＝∠AOF＝90°－∠AOE. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 D 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 B 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 10．如图，点E为正方形ABCD的边CD上的一点．若S△ABE＝8，CE＝3，则BE＝______. 5 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 11．(2023·广州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，且BE＝1，点F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF＋EF的最小值为_____. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 12．(2023·绍兴)如图，在正方形ABCD中，点G是对角线BD上的一点(与点B，D不重合)，GE⊥CD，GF⊥BC，垂足分别为点E，F.连接EF，AG，并延长AG交EF于点H. (1)求证：∠DAG＝∠EGH. 证明：(1)在正方形ABCD中，AD⊥CD. ∵GE⊥CD，∴AD∥GE， ∴∠DAG＝∠EGH. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 (2)判断AH与EF是否垂直，请说明理由． (2)AH与EF垂直，理由如下： 如图，连接GC交EF于点O. ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG＝∠CDG＝45°. 又∵DG＝DG，AD＝CD， ∴△ADG≌△CDG(SAS)， ∴∠DAG＝∠DCG. 在正方形ABCD中，∠ECF＝90°. 又∵GE⊥CD，GF⊥BC， 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 ∴四边形FCEG为矩形，∴OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE，∴∠DAG＝∠OEC. 又∵∠DAG＝∠EGH， ∴∠EGH＋∠GEH＝∠OEC＋∠GEH＝∠GEC＝90°， ∴∠GHE＝90°，∴AH⊥EF. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 解：(1)证明：如图，过点B作BH⊥EF于 点H，连接BF. ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠C＝∠BHE＝90°. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC＝∠BEF，即BE平分∠AEF， ∴BH＝BA＝BC， ∴Rt△ABE≌Rt△HBE(HL)，∴AE＝EH. 同理Rt△BFH≌Rt△BFC(HL)， ∴FH＝CF，∴AE＋CF＝EH＋FH＝EF. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 夯实基础 能力提升 思维拓展 5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若OA＝3，则正方形的面积是(　 　) A．3 B．12 C．18 D．36 6．如图，CD∥AB，且CD＝AB，点E是AB的中点．若四边形ADCE是正方形，则∠B＝______. ∵AD＝AB＝CD＝CB，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴∠ADB＝∠BAC. 在△DOE和△AOF中， ∴△DOE≌△AOF(ASA)． 8．如图，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点F在DC的延长线上，且CF＝AE.若AE＝2，DE＝3，则EF的长是(　 　) A． B． C． D． 9．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为3,4.若点H是线段DF的中点，则BH的长是(　 　) A．5 B． C． D． 13．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点，点F是边CD上的一点，∠EBC＝∠BEF. (1)求证：AE＋CF＝EF. (2)若点E是AD的中点，求的值． (2)∵点E是AD的中点，∴设AE＝DE＝1，CF＝x，则AD＝CD＝2，DF＝2－x. 由(1)，得EF＝AE＋CF＝1＋x. 在Rt△DEF中，由勾股定理， 得DE2＋DF2＝EF2， ∴12＋(2－x)2＝(1＋x)2，解得x＝， ∴CF＝，DF＝，∴＝2. $$第一章　特殊平行四边形 3　正方形的性质与判定 第2课时 　正方形的判定 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1 正方形的判定 1．下列命题中错误的是(　 　) A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线垂直的矩形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在边BC上的点F处，折痕为BE.若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(　 　) A．邻边相等的矩形是正方形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．两个全等的直角三角形构成正方形 D．轴对称图形是正方形 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，MD⊥AC于点D，ME⊥BC于点E，连接MC，DE.若不增加任何字母与辅助线，使四边形MECD是正方形，则还需增加的一个条件是_______ _________________. CD＝ CE(答案不唯一) 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2,0)，B(0，－2)，C(2,0)，D(0,2)．求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－2,0)，B(0，－2)，C(2,0)，D(0,2)， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝2， ∴四边形ABCD是矩形． ∵AC⊥BD， ∴矩形ABCD是正方形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 5．如图，等边三角形AEF的顶点E，F分别在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°. ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°. ∵∠CEF＝45°， ∴∠CFE＝∠CEF＝45°， ∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°， ∴△AEB≌△AFD(AAS)， ∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 2 正方形的性质与判定综合运用 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，交AB于点D，过点D分别作AC，BC的平行线DE，DF.下列结论中错误的是(　 　) A．AD＝BD B．FC＝DF C．∠ACD＝∠BCD D．四边形DECF是正方形 A 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 7．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.求证：四边形OCED是正方形． 证明：由正方形的性质可知，OC＝OD，OC⊥OD，再证四边形OCED为平行四边形即可． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AH⊥BC于点H，AH＝CH＝5，则四边形ABCD的面积是(　 　) A．15 B．20 C．25 D．无法确定 C 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 9．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.下列条件：①AC平分∠BCD；②AC⊥BD；③OA＝OC；④OB＝OC；⑤∠BAD＋∠BCD＝180°；⑥AB＝BC.从中任选两个条件，能使▱ABCD为正方形的选法有(　 　) A．3种 B．6种 C．7种 D．8种 B 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 10．如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点．当四边形ABCD的两条对角线：满足条件_________时，四边形EFGH是菱形；满足条件________时，四边形EFGH是矩形；满足条件__________________时，四边形EFGH是正方形． AC＝BD AC⊥BD AC＝BD，AC⊥BD 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，点D是边AB上的一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE. (1)求证：CE＝AD. (2)若点D是AB的中点，则当∠A的度数满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由． 解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝ ∠DFB，∴AC∥DE. ∵MN∥AB，即CE∥AD. ∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD. 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 (2)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 理由如下：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC. ∵点D是AB的中点，∴CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°，易证CE BD. ∵AD＝BD，∠ACB＝90°，∴CD＝BD， ∴四边形BECD是正方形． 即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 证明：(1)如图，过点G作GM⊥BC于点M. 易证△ADE≌△MGH，四边形ABMG为矩形， ∴AD＝MG＝AB， ∴四边形ABCD是正方形． 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 夯实基础 能力提升 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 思维拓展 12．在矩形ABCD中，点E，G，H分别在AB，AD，BC上，且DE⊥GH，DE＝GH. (1)如图1，求证：四边形ABCD是正方形． (2)如图2，平移图1中的线段GH，使点G与点D重合，点P是EH的中点．求证：BE＝PC. (2)∵DH⊥DE，DH＝DE， ∴∠ADE＝∠CDH. 又∵AD＝CD， ∴△EAD≌△HCD(SAS)， ∴∠EAD＝∠DCH＝90°， ∴点B，C，H在同一直线上． 如图，在BC上截取CN＝CH，连接EN. ∵PE＝PH， ∴EN＝2PC. ∵AE＝CH＝CN，AB＝BC， ∴BE＝BN， ∴EN＝BE，∴BE＝2PC， ∴BE＝PC. $$第一章 特殊平行四边形 单元核心考点归纳 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 1 1 菱形的性质与判定 1.在菱形ABCD中,若∠ABC=80 ,BA=BE,则∠DAE的度数是( ) A.20 B.30 C.40 D.50 B 创新作业本 数学九年级上(北师大版) D 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 3.将宽度相等的两张纸条按如图所示的方式放置,两个纸条重叠部分组成的四边形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,则纸条重叠部分的面积为_. 24 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 4.(2023 嘉兴)如图,在Rt ABC中,∠ACB=90 . (1)尺规作图: ①作线段BC的垂直平分线MN,交AB于点D,交BC于点O; ②在直线MN上截取OE,使OE=OD,连接CD,BE,CE.(保留作图痕迹) (2)猜想证明:作图所得的四边形BECD是否为菱形?并说明理由. 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 解:(1)①如图所示,直线MN即为所求. ②如图所示,即为所求. (2)四边形BECD是菱形,理由如下: ∵MN垂直平分BC,∴OB=OC,BD=CD. ∵OD=OE,∴四边形BECD是平行四边形. 又∵BD=CD,∴四边形BECD是菱形. 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 2 矩形的性质与判定 5.下列条件中,能判定 ABCD为矩形的是( ) A.AB=AC B.AC⊥BD C.AB=AD D.AC=BD 6.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,连接AC,BD.下列结论:①AC=5;②∠BAD+∠BCD=180 ;③AC⊥BD;④AC=BD.其中正确的有( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ D B 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 7.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若∠BOC=120 ,AB=5,则BD=_,BC=_. 8.如图,线段BC是等腰三角形ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB,DE相交于点O.若OD=2,则AC=_. 10 4 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 9.(2023 岳阳)如图,点M在 ABCD的AD上,BM=CM,请从以下三个选项:①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4,选择一个合适的选项作为已知条件,使 ABCD为矩形. (1)你添加的条件是_(填序号). (2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形. 证明:(2)添加条件①, ABCD为矩形,理由如下: 在 ABCD中,AB=CD, AB∥CD. 在 ABM和 DCM中, ①或② 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 3 直角三角形斜边上的中线 D 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 11.如图,在四边形ABCD中,AB=6,AD=AC=8,∠BAD=∠BCD=90 .点M,N分别是对角线BD,AC的中点,则MN=_. 3 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 12.如图,在 ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC上的点,连接BE,DE,∠ADE=∠AED,点F,G,H分别是BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH. 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 13.下列四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90 ;③AC=BD;④AC⊥BD.从中选两个作为补充条件,使 ABCD为正方形(如图所示).现有下列四种选法,其中错误的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 4 正方形的性质与判定 B 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 14.如图,把含30 角的直角三角尺PMN放置在正方形ABCD中,∠PMN=30 ,直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上,点M,N分别在边AB和CD上,MN与BD交于点O,且点O是MN的中点,则∠AMP的度数是( ) A.60 B.65 C.75 D.80 C 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 15.(2023 菏泽)如图,点E是正方形ABCD内的一点,将 ABE绕点B按顺时针方向旋转90 得到 CBF.若∠ABE=55 ,则∠EGC=_. 80 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 16.如图,在Rt ABC中,∠ABC=90 ,先把 ABC绕点B按顺时针方向旋转90 后得 DBE,再把 ABC沿射线AB平移至 FEG,DE,FG相交于点H. (1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由. (2)连接CG,求证:四边形CBEG是正方形. 解:(1)DE⊥FG.理由如下: 由题意,得∠A=∠BDE=∠GFE, ∠ABC=∠DBE=90 , ∴∠BDE+∠BED=90 , ∴∠GFE+∠BED=90 , ∴∠FHE=90 ,即DE⊥FG. 创新作业本 数学九年级上(北师大版) (2)证明:∵ ABC沿射线AB平移至 FEG, ∴CB∥GE,CB=GE, ∴四边形CBEG是平行四边形. ∵∠GEF=∠ABC=90 , ∴四边形CBEG是矩形. ∵BC=BE, ∴矩形CBEG是正方形. 创新作业本 数学九年级上(北师大版) 2.(2023 丽水)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60 ,则AC的长为( ) A. B.1 C. D. 5 ∴ ABM≌ DCM(SAS),∴∠A=∠D. 又∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180 , ∴∠A=∠D=90 ,∴ABCD为矩形. 添加条件②,ABCD为矩形,理由如下: 在ABCD中,AB=CD,AB∥CD. 在 ABM和 DCM中, ∴ ABM≌ DCM(SSS),∴∠A=∠D. 又∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180 , ∴∠A=∠D=90 ,∴ABCD为矩形. 10.如图,在Rt ABC中,点D为斜边AC的中点,点E为BD上的一点,点F为CE的中点.若AE=AD,DF=2,则BD的长为( ) A.2 B.3 C.2 D.4 证明:∵∠ADE=∠AED, ∴AD=AE. ∵AB=AC, ∴AB-AD=AC-AE, 即BD=CE. ∵点F,G,H分别是BE,DE,BC的中点, ∴FG是 EDB的中位线,FH是 BCE的中位线, ∴FG=BD,FH=CE,∴FG=FH. $$第一章　特殊平行四边形 实践操作一　尺规作图 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 1．如图，已知△ABC. (1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)． ①作线段AC的垂直平分线，交AC于点O； ②连接OB，在BO的延长线上取一点D，使OD＝OB，连接AD，CD. (2)在(1)的条件下，若AC＝2OB，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 解：(1)如图所示，点O，D即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)四边形ABCD为矩形，理由如下： ∵OB是线段AC的垂直平分线， ∴AO＝OC. ∵AC＝2BO，OD＝OB， ∴AO＝CO＝BO＝DO， ∴四边形ABCD为矩形． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．(1)如图，请用尺规在△ABC的边BC，AC，AB上分别取点D，E，F，使得四边形BDEF为菱形(保留作图痕迹，不写作法)． (2)在(1)的菱形BDEF中，若∠FBD＝60°，BE＝6，求菱形BDEF的面积． 解：(1)如图所示，点D，E，F即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE. (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AE的垂线，分别与AB，AE交于点F，G(不写作法和证明，保留作图痕迹)． (2)在(1)所作的图形中，求证：AE＝DF. 解：(1)如图所示，DF即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 解：(1)如图所示，点C即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 创新作业本·数学九年级上（北师大版） (2)∵四边形BDEF是菱形， ∴∠EBD＝∠FBD＝30°，DF⊥BE. ∵BE＝6，∴DF＝2××3＝2， ∴S菱形BDEF＝BE·DF＝×6×2＝6. (2)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD. ∵∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAE＝90°. ∵DF⊥AE，∴∠AGD＝90°， ∴∠ADF＋∠DAE＝90°， ∴∠ADF＝∠BAE. 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF(ASA)，∴AE＝DF. 4．如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB. (1)作点A关于BD的对称点C(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． (2)在(1)所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O. ①求证：四边形ABCD是菱形； ②点E为BC的中点，连接OE.若OE＝，BD＝10，求点E到AD的距离． (2)①∵∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD. ∵点C是点A关于BD的对称点， ∴CB＝AB，CD＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； ②过点B作BF⊥AD于点F. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝BD＝5. ∵点E是BC的中点，∴BC＝2OE＝13， ∴OC＝＝12，∴OA＝12. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC＝13， ∴BF＝＝. ∵平行线间的距离相等，∴点E到AD的距离是. $$第一章　特殊平行四边形 实践操作二　无刻度直尺作图 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 1 模型一　利用平行四边形作等线段 条件：E为▱ABCD的边AB上一点． 作法：(1)连接AC，BD交于点O；(2)连接EO， 并延长交CD于点F. 结论：DF＝BE，AE＝CF. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 请仅用无刻度直尺完成下列作图： 1．如图，点E为▱ABCD的边AB的中点，点G为BC上一点． (1)作CD的中点F. (2)在AD上作点H，使AH＝CG. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 2．如图，在正方形ABCD中，点E为边AB上一点，在边CD上作点F，使BF＝DE. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 模型二　利用轴对称作等线段、对称点 条件：点E为菱形ABCD的边AB上一点． 作法：(1)连接AC，ED交于点O；(2)连接BO， 并延长交AD于点F. 结论：①DF＝BE，AE＝AF；②点E，F关于AC对称. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 3.如图，在正方形ABCD中，点E为边AB上一点，在AD上作点M，使AM＝AE. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 4．如图，点E为菱形AOCB的边OA上一点，在OC上作点M，使OM＝OE. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 5．如图，四边形ABCD为菱形，点E，P分别为CD，BC上一点，连接BD. (1)作线段AE关于BD的对称线段CF. (2)作点P关于BD的对称点Q. 解：(1)如图所示，线段CF即为所求． (2)如图所示，点Q即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 模型三　利用轴对称作等角 条件：线段AB和直线MN. 作法：作点A关于MN的对称点A1，连接A1B交MN于点O. 结论：∠AOM＝∠BON，OA＋OB最短. 创新作业本·数学九年级上（北师大版） 6.如图，点E，F分别是菱形ABCD的边CD，AB上一点． (1)在BD上作点P，使∠BPC＝∠DPE. (2)在BD上作点Q，使∠BQF＝∠AQD. 解：(1)如图所示，点P即为所求． (2)如图所示，点Q即为所求． 创新作业本·数学九年级上（北师大版） $$