《小数乘法》专题：简便运算（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

《小数乘法》专题：简便运算 运算定律：整数乘法的交换律、结合律和分配律在小数运算中同样适用。 做题时，要善于观察，仔细审题，发现数字与数字之间的关系，根据题意来选择适当的公式或方法，进行简便运算。 运算定律 说明 字母表示 变形 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 a×b=b×a 乘法结合律 三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 (a×b)×c=a×(b×c) a×b×c=a×(b×c) 【▲提示】乘法结合律的应用通常基于一些相乘后积为整十、整百、整千的数。 务必熟练掌握“好朋友”数： 2×5=10；25×4=100；125×8=1000。 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，可以先把两个数与这个数分别相乘，再相加。 a×(b+c)=ab+ac (a-b)×c=ac-bc 【▲提示】简便计算中乘法分配律及其逆运算是运用最广泛的一个，一定要熟练掌握。 十一种小数乘法简便运算题型： 第一种类型：乘法交换律 第二种类型：乘法结合律 第三种类型：拆分因数—乘法交换律和结合律 第四种类型：乘法分配律 第五种类型：乘法分配律的逆运算 第六种类型：拆和/差分配（构造乘法分配律） ( 【 整体思路 】： 凑出相同因数，构造符合乘法分配律的算式 结构。 )第七种类型：拆积分配（构造乘法分配律） 第八种类型：添加“×1”（构造乘法分配律） 第九种类型：小数点位移动（构造乘法分配律） 第十种类型：扩缩分配（构造乘法分配律） 第十一种类型：换元法（整体代换法） 第一种类型：乘法交换律 乘法交换律：a×b×c=a×c×b 【题目特点】：在连乘的算式里，有两个因数相乘可得整十、整百、整千或整数。 【基本方法】：先交换因数的位置，再计算。交换两个因数的位置，让相乘得整十、整百、整千或整数的两个因数先计算。 【解题关键】：凑整，熟练掌握好朋友数。 例题 分析 (1) 0.25×8.5×4 =0.25×4×8.5 =1×8.5 =8.5 好朋友数“25和4”，0.25×4=1； 交换8.5和4的位置，不需要加括号写成（0.25×4），因是同级运算，已经从左往右依次计算。 (2) 12.5×0.96×0.8 =12.5×0.8×0.96 =10×0.96 =9.6 好朋友数“125和8”，12.5×0.8=10； 交换0.96和0.8的位置，不需要加括号写成（12.5×0.8），因是同级运算，已经从左往右依次计算。 (3) 0.5×0.34×0.6 =0.5×0.6×0.34 =0.3×0.34 =0.102 观察算式，0.5×0.6的积是整数，所以交换0.34和0.6的位置，先计算0.5×0.6。 第二种类型：乘法结合律 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 【题目特点】：在连乘的算式里，有两个因数相乘可得整十、整百、整千或整数。 【基本方法】：添小括号改变运算顺序，让相乘得整十、整百、整千或整数的两个因数先计算。 例题 分析 (1) 8.5×0.25×4 =8.5×（0.25×4） =8.5×1 =8.5 好朋友数“25和4”，0.25×4=1； 添小括号改变运算顺序，先计算0.25×4。 另外，此题也可利用乘法交换律，交换8.5和4的位置，即： 4×0.25×8.5。 (2) 18×20×0.5 =18×（20×0.5） =18×10 =180 好朋友数“2和5”，20×0.5=10； 添小括号改变运算顺序，先计算20×0.5； 也可利用乘法交换律，交换18和0.5的位置，即： 0.5×20×18。 第三种类型：拆分因数—乘法交换律和结合律 【基本方法】：把一个因数拆分成两个数相乘，再利用乘法交换律和结合律进行简便计算。 【注意事项】：把一个小数拆分成两个小数相乘，拆分后两数相乘的积应与原数相等，特别要注意小数的位数，切忌改变原数大小。 例如：3.2=0.8×4=8×0.4； 0.32=0.04×8=0.08×4 5.6=0.8×7=8×0.7； 0.56=0.07×8=0.08×7 例题 分析 (1) 0.25×0.28 =0.25×4×0.07 =1×0.07 =0.07 看到0.25想到好朋友数“4”，算式中没直接给，通过拆分0.28可得，0.28=4×0.07。 0.25×4×0.07，同级运算，从左往右依次计算即可。 (2) 3.2×2.5×0.125 =8×0.4×2.5×0.125 =（0.4×2.5）×（0.125×8） =1×1 =1 看到2.5和0.125想到好朋友数“4”和“8”，算式中没直接给，通过拆分3.2可得，3.2=8×0.4。 再利用乘法交换律和结合律简便计算。 第四种类型：乘法分配律 乘法分配律：a×(b±c)=ab±ac 【基本方法】：将括号中相加或相减的两项分别与括号外的数相乘，再把积相加或相减，符号保持不变。 例题 分析 (1)（1.25+2.5）×0.32 =1.25×0.32+2.5×0.32 =1.25×0.8×0.4+2.5×0.4×0.8 =1×0.4+1×0.8 =0.4+0.8 ( 【 易错 提示 】 到这步就开始错了！ 应该把（0.4 × 0.8）看作一个整体 ， 分别 与括号内的1.25和2.5相乘。 )=1.2 注意此题和前面乘法交换律和结合律的联系与区别。 ①乘法交换律、结合律通常综合运用于同级运算（连乘），因数经过交换、结合，达到简便计算的目的； ②乘法分配律是两级运算，乘加或乘减。 常见错误： （1.25+2.5）×0.32 =（1.25+2.5）×0.4×0.8 =1.25×0.8+2.5×0.4 (2)（34.5+26.4）×2×5 =34.5×2×5+26.4×2×5 =345+264 =609 把（2×5）看作一个整体，分别与括号内34.5和26.4相乘。 (3) 0.8×（12.5-1.25） =0.8×12.5-0.8×1.25 =10-1 =9 利用乘法分配律，0.8分别与括号内的12.5和1.25相乘。 第五种类型：乘法分配律的逆运算 乘法分配律逆定律：ab±ac=a×(b±c) 【基本方法】：先提取乘式中的相同因数，剩余的因数用加减相连，同时添加括号。 例题 分析 (1)3.72×3.5+6.28×3.5 =3.5×（3.72+6.28） =3.5×10 =35 (2)9.85×1.2-9.85×0.2 =9.85×（1.2-0.2） =9.85×1 =9.85 (1) 提取公因数3.5，利用乘法分配律逆运算简便计算； (2) 提取公因数9.85，利用乘法分配律逆运算简便计算。 (3)45×0.66+45×0.43-45×0.09 =45×（0.66+0.43-0.09） =45×1 =45 提取公因数45，剩余因数用小括号括起来，括号内的符号与原式保持一致。 (4)7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816 =7.816×（1.45+1.69）+3.14×2.184 =7.816×3.14+3.14×2.184 =3.14×（7.816+2.184） =3.14×10 =31.4 观察算式，三个乘式中有两个有公因数7.816，利用乘法分配律的逆运算，提取7.816，原式转化为：7.816×3.14+3.14×2.184，再次提取公因数3.14。 第六种类型：拆和/差分配（构造乘法分配律） 【题目特点】： ①算式结构相对简单，算式中有一个因数接近整数、整十、整百数等； ②两两之积相加减，乘式中有因数可凑整，但表面上看没有公因数，不能直接利用乘法分配律。 【基本方法】： ①把接近整数的因数拆成两个数相加或相减，再利用乘法分配律进行简便计算； ②观察算式中数字的特点，把因数拆成两个数相加或相减，凑出相同因数，再利用乘法分配律逆运算 进行简便计算。 例如：拆和：102=100+2，把102看作100+2；10.4=10+0.4、8.8=8+0.8； 拆差：99=100-1，把99看作100-1；79=80-1、2.9=3-0.1。 例题 分析 (1) 4.5×10.1 =4.5×（10+0.1） =4.5×10+4.5×0.1 =45+0.45 =45.45 (2) 4.2×25 =（4+0.2）×25 =4×25+0.2×25 =100+5 =105 (1) 把10.1改写成10+0.1，再利用乘法分配律简便计算; (2) 把4.2改写成4+0.2，再利用乘法分配律简便计算。 (3)2.4×99 =2.4×（100-1） =240-2.4 =237.6 (4)0.45×98 =0.45×（100-2） =0.45×100-0.45×2 =45-0.9 =44.1 (3) 把99改写成100-1，再利用乘法分配律简便计算： (4) 把98改写成100-2，再利用乘法分配律简便计算。 例题 分析 (5)511×0.71+11×9.29+525×0.29 =（500+11）×0.71+11×9.29+（500+25）×0.29 =500×0.71+11×0.71+11×9.29+500×0.29+25×0.29 =500×（0.71+0.29）+11×（0.71+9.29）+25×0.29 =500×1+11×10+25×0.29 =500+110+7.25 =617.25 观察算式，0.71与9.29、0.71与0.29可以凑整，但缺少相同因数。 为凑相同因数，把511改写成500+11，525改写成500+25； 500×0.71+500×0.29中，提取公因数500； 11×0.71+11×9.29中，提取公因数11。 (6)4.37×5.1-0.49×3.6+4.73×4.9 =4.37×5.1-0.49×3.6+（4.37+0.36）×4.9 =4.37×5.1-0.49×3.6+4.37×4.9+0.36×4.9 =4.37×（5.1+4.9）-0.49×3.6+0.36×4.9 =4.37×10+0 =43.7 观察算式，5.1与4.9可以凑整，但缺少相同因数。 为凑相同因数，把4.73改写成4.37+0.36； 提取公因数4.37。 第七种类型：拆积分配（构造乘法分配律） 乘法分配律逆定律：ab±ac=a×(b±c) 【题目特点】：“±”左右两边不对称，且从表面上看没有相同因数； 【基本方法】：通过将其中一个因数拆成两个数相乘，从而凑出相同因数，原式转化为两两之积相加减，具备完整的乘法分配律的形式，提取公因数，用乘法分配律逆运算进行简便计算。 例题 分析 (1)3.5×28+7 =3.5×28+3.5×2 =3.5×（28+2） =3.5×30 =105 (2)12.5×78+25 =12.5×78+12.5×2 =12.5×（78+2） =12.5×80 =1000 (1) 把7改写成3.5×2，原式转化为： 3.5×28+3.5×2，提取公因数3.5； (2) 把25改写成12.5×2，原式转化为： 12.5×78+12.5×2，提取公因数12.5。 (3)1.5×26+6 =1.5×26+1.5×4 =1.5×（26+4） =1.5×30 =45 (4)2.4×97+7.2 =2.4×97+2.4×3 =2.4×（97+3） =2.4×100 =240 (3) 把6改写成1.5×4，原式转化为： 1.5×26+1.5×4，提取公因数1.5； (4) 把7.2改写成2.4×3，原式转化为： 2.4×97+2.4×3，提取公因数2.4。 第八种类型：添加“×1”（构造乘法分配律） 乘法分配律逆定律：ab±ac=a×(b±c) 【题目特点】：“±”左右两边不对称，且有一个因数重复出现； 【基本方法】：将其中一个因数n改写成n×1，原式转化为两两之积相加减，具备完整的乘法分配律的形式，提取公因数，利用乘法分配律逆运算进行简便计算。 例题 分析 (1)1.01+1.01×99 =1.01×1+1.01×99 =1.01×（1+99） =1.01×100 =101 (2)35.7×101-35.7 =35.7×101-35.7×1 =35.7×（101-1） =35.7×100 =3570 (1) “+”左右两边不对称，有相同因数1.01，将1.01改写成1.01×1，构造出符合乘法分配律的算式结构； (2) 同理，“－”左右两边不对称，有相同因数35.7，将35.7改写成35.7×1，构造出符合乘法分配律的算式结构。 (3)11×1.1×1.1-1.1×1.1-1.1 =11×1.1×1.1-1.1×1.1×1-1.1 =1.1×1.1×（11-1）-1.1 ( 二次提取 ，两次使用乘法分配律。 )=1.1×1.1×10-1.1 =1.1×11-1.1×1 =1.1×（11-1） =1.1×10=11 观察算式，前两个乘式中有公因式“1.1×1.1”，先添加“×1”，构造出乘法分配律的算式结构，提取公因式1.1×1.1； 原式转化为：1.1×1.1×（11-1）-1.1 算出1.1×（11-1），原式转化为：1.1×11-1.1×1 提取公因数1.1，再按乘法分配律简便计算。 第九种类型：小数点位移动（构造乘法分配律） 乘法分配律逆定律：ab±ac=a×(b±c) 【题目特点】：“±”左右两边有相同的数字，但小数点位置不同。 【基本方法】：根据积不变的规律（一个因数向左移动几位小数点，另一个因数就向右移动几位小数点），凑出相同因数，再利用乘法分配律逆运算进行简便计算。 【注意事项】：①这类题目要注意观察“±”左右两边哪个数字相同，但小数点位置不同； ②通过小数点位移凑出相同因数，确保移动前后积相等，核对无误后再进行下一步计算。 例题 分析 (1)4.8×7.8+78×0.52 =4.8×7.8+7.8×5.2 =7.8×（4.8+5.2） =7.8×10 =78 观察算式，“+”左右有相同数字78，一个是7.8，一个是78， 统一为7.8。 78×0.52：78→7.8，小数点向左移动1位，要使积不变，0.52的小数点向右移动1位，0.52→5.2，即：78×0.52=7.8×5.2； 原式转化为：4.8×7.8+7.8×5.2，构造出符合乘法分配律的算式结构，提取公因数7.8。 (2)23.5×10.1-235×0.01 =23.5×10.1-23.5×0.1 =23.5×（10.1-0.1） =23.5×10 =235 观察算式，“－”左右有相同数字235，一个是23.5，一个是235，统一为23.5。 235×0.01：235→23.5，小数点向左移动1位，要使积不变，0.01的小数点向右移动1位，0.01→0.1，即：235×0.01=23.5×0.1。 原式转化为：23.5×10.1-23.5×0.1，构造出符合乘法分配律的算式结构，提取公因数23.5。 (3)9.81×0.1+0.5×98.1+0.049×981 =9.81×0.1+9.81×5+9.81×4.9 =9.81×（0.1+5+4.9） =9.81×10 =98.1 观察算式，“+”左右有相同数字981，分别是9.81、98.1、981，统一为9.81。 0.5×98.1：98.1→9.81，小数点向左移动1位，要使积不变，0.5的小数点向右移动1位，0.5→5，即：9.81×5； 0.049×981：981→9.81，小数点向左移动2位，0.049的小数点向右移动2位，0.049→4.9，即：9.81×4.9； 构造出符合乘法分配律的算式结构，提取公因数9.81。 (4)18.3×0.25+5.3×2.5+71.3×0.75 =18.3×0.25+53×0.25+71.3×0.75 =0.25×（18.3+53）+71.3×0.75 =0.25×71.3+71.3×0.75 =71.3×（0.25+0.75） =71.3×1 =71.3 观察算式，前两个乘式中有相同数字25，一个是0.25，一个是2.5，统一为0.25； 乘式5.3×2.5：2.5→0.25，小数点向左移动1位，要使积不变，5.3的小数点向右移动1位，即：5.3→53。 18.3×0.25+53×0.25，提取公因数0.25； 0.25×71.3+71.3×0.75，再次提取公因数71.3。 (5)41.2×8.1+11×1.25+537×0.19 =41.2×8.1+11×1.25+（412+125）×0.19 =41.2×8.1+11×1.25+412×0.19+125×0.19 =41.2×8.1+11×1.25+41.2×1.9+1.25×19 =41.2×（8.1+1.9）+1.25×（11+19） =41.2×10+1.25×30 =412+37.5 =449.5 观察算式，8.1与1.25、8.1与0.19可以凑整，但缺少相同因数； 为凑相同因数，把537改写成412+125； 41.2×8.1+412×0.19，有相同数字412，统一为41.2，根据积不变的规律，可得：41.2×8.1+41.2×1.9； 11×1.25+125×0.19，有相同数字125，统一为1.25，根据积不变的规律，可得：11×1.25+1.25×19。 分别提取公因数41.2和1.25。 第十种类型：扩缩分配（构造乘法分配律） 乘法分配律逆定律：ab±ac=a×(b±c) 【题目特点】：“±”左右没有相同的因数，但左右乘式中有因数是倍数关系； 【基本方法】：根据积不变的规律，对算式进行适当变形，凑出相同因数； 【注意事项】：与小数点位移动构造乘法分配律本质相同，确保变形前后积相等。 例题 分析 (1)99.9×778+33.3×666 =99.9×778+33.3×3×222 =99.9×778+99.9×222 =99.9×（778+222） =99.9×1000 =99900 观察算式，99.9是33.3的3倍，33.3×3→99.9 要使33.3×666的积不变，666÷3→222； 把666改写成3×222，即：33.3×666=33.3×3×222； 原式转化为：99.9×778+99.9×222，构造出符合乘法分配律的算式结构，提取公因数99.9。 (2)36×1.09+67.3×1.2 =30×1.09×1.2+67.3×1.2 =32.7×1.2+67.3×1.2 =1.2×（32.7+67.3） =1.2×100 =120 观察算式，36是1.2的30倍，36÷30→1.2 要使36×1.09的积不变，1.09×30→32.7； 把36改写成1.2×30，即：36×1.09=30×1.09×1.2； 原式转化为：32.7×1.2+67.3×1.2，构造出符合乘法分配律的算式结构，提取公因数1.2。 (3)0.6666×1.6-0.1111×3.6 =0.1111×6×1.6-0.1111×3.6 =0.1111×9.6-0.1111×3.6 =0.1111×（9.6-3.6） =0.1111×6 =0.6666 观察算式，0.6666是0.1111的6倍，0.6666÷6→0.1111 要使0.6666×1.6的积不变，1.6×6→9.6； 把0.6666改写成0.1111×6，即：0.6666×1.6=0.1111×6×1.6； 原式转化为：0.1111×9.6-0.1111×3.6，构造出符合乘法分配律的算式结构，提取公因数0.1111。 (4)999.9×0.28-0.6666×370 =9999×0.028-6666×0.037 =3333×3×0.028-3333×2×0.037 =3333×0.084-3333×0.074 =3333×（0.084-0.074） =3333×0.01 =33.33 观察算式，9999和6666都是3333的倍数，根据积不变的规律，原式转化为：9999×0.028-6666×0.037； 9999改写成3333×3、6666改写成3333×2； 构造出符合乘法分配律的算式结构，提取公因数3333。 第十一种类型：换元法（整体代换法） 【题目特点】：算式很长、复杂且有相同的部分； 【基本方法】：把相同的部分看作一个整体，用字母代替，通过字母运算得到结果。 例题 (1) （1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.65）-（1+0.23+0.34+0.65）×（0.23+0.34） 令a=0.23+0.34=0.57；b=1+0.23+0.34=1.57，b-a=1则原式表示为： b×（a+0.65）-（b+0.65）×a ( 观察算式， 算式很长且有相同部分 ，分别把0.23+0.34与 1+0.23+0.34 看作整体，用字母a、b表示； 利用乘法分配律及其逆运算进行简便计算。 )=ab+0.65b-ab-0.65a =0.65b-0.65a =0.65×（b-a） =0.65×1 =0.65 (2) (1+0.43+0.29）×（0.43+0.29+0.87）-（1+0.43+0.29+0.87）×（0.43+0.29） 令a=0.43+0.29=0.72；b=1+0.43+0.29=1.72，则原式表示为： b×（a+0.87）-（b+0.87）×a ( 观察算式，分别把 0.43+0.29 与 1+0.43+0.29看作整体，用字母a、b表示； 利用乘法分配律及其逆运算进行简便计算。 )=ab+0.87b-ab-0.87a =0.87b-0.87a =0.87×（b-a） =0.87×1 =0.87 ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$