第一章 空间向量与立体几何 章末测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章《空间向量与立体几何》章末测试 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（ ） A. 点关于坐标原点对称点的坐标为 B. 点关于平面对称点的坐标为 C. 点在平面上的射影点的坐标为 D. 点在轴上的射影点的坐标为 2. 已知向量，，若，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 3. 已知，分别是平面的法向量，则平面的位置关系为（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 6. 如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 可以构成空间的一组基底 C. 若不构成空间的一组基底，那么空间四点共面； D. 设是空间的一个基底，若，则可以作为空间的一组基底 10. 如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 11. 在正方体中，动点满足，其中，，且，则（     ） A. 对于任意的，且，都有平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，不存在点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间，，，则＝_____． 13. 在长方体中，，，若E为的中点，则点E到面的距离是______. 14. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定： （i）为同时与，垂直的向量； （ii），，三个向量构成右手系（如图1）； （iii）. 如图2，在长方体中，，.给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④.其中，正确结论的序号是______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 16. 在五面体中，平面，平面. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 如图，在边长为的正方体中，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足. （1）证明：平面； （2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积. 19. 如图， 已知矩形 中，，，为的中点， 将 沿折起， 使得平面平面． （1）求证：平面平面； （2）若点是线段上的一动点，且，当二面角 的余弦值为时， 求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章《空间向量与立体几何》章末测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B A B B A A AC ABD ABD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（ ） A. 点关于坐标原点对称点的坐标为 B. 点关于平面对称点的坐标为 C. 点在平面上的射影点的坐标为 D. 点在轴上的射影点的坐标为 【详解】对于选项A：点关于坐标原点对称点的坐标为，故A正确； 对于选项B：点关于平面对称点的坐标为，故B正确； 对于选项C：点在平面上的射影点的坐标为，故C正确； 对于选项D：点在轴上的射影点的坐标为，故D错误； 2. 已知向量，，若，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【详解】设向量与的夹角为， 因为，所以， ， 因为， 所以. 因为，即与的方向相反， 所以与的夹角为. 3. 已知，分别是平面的法向量，则平面的位置关系为（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 重合 【详解】因为，， 所以，故， 所以. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【详解】，， ， ，，，. 5. 如图，在平行六面体中，，，，则（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【详解】 6. 如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（ ） A. B. C. D. 【详解】连接， 以为空间一组基底， 则， ， 所以， ， 设直线与直线所成角为， 则, 由于异面直线夹角的取值范围是，所以. 7. 已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意得，所以， 又直线的方向向量为，则， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则，则， 所以点到直线的距离为． 8. 棱长为1的正方体中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面上运动，满足平面，则线段PQ的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 所以，， 因为平面， 所以，故， ，故， 其中， 故， 故当时，，此时满足要求， 所以线段PQ的最小值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 可以构成空间的一组基底 C. 若不构成空间的一组基底，那么空间四点共面； D. 设是空间的一个基底，若，则可以作为空间的一组基底 【详解】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以A正确； 对于B中，设，则解得故存在实数，使得， 因此共面．则、、不能构成空间的一个基底，所以B错误； 对于C中，若不构成空间的一组基底，则3个向量在同一平面内， 所以共面，所以C正确； 对于D中，，共面，故不能作为空间的一组基底，所以D错误． 10. 如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 【详解】故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，， ，选项A正确； ， 所以 根据三角函数两角正余弦关系解得： ，选项B正确； ， 选项C错误； 点到直线的距离为：， 而 所以选项D正确； 11. 在正方体中，动点满足，其中，，且，则（     ） A. 对于任意的，且，都有平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，不存在点，使得平面 【详解】对于A选项，设正方体的棱长为， 以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， ，取，可得1)， ， 因为， 设平面ACP的法向量为 则，取，可得， 因为，所以， 所以，对于任意的且，都有平面ACP⊥平面，故A对； 对于B选项，当时，点， 设平面的法向量为， ，， 则，取，可得，且 所以，点P到平面的距离为， 又因为的面积为定值，故三棱的体积为定值，故B对； 对于C选项，当时， 则， ， 所以，当时，不存在点，使得，故C错； 对于D选项，当时，， 假设存在点P，使得AP⊥平面PCD，因为DC平面PCD，则AP⊥DC， 则，可得，与题设条件不符， 假设不成立，故当时，不存在点P，使得AP⊥平面PCD，故D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间，，，则＝_____． 【详解】由，且，，则，解得， 故. 13. 在长方体中，，，若E为的中点，则点E到面的距离是______. 【详解】以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， ∴点E到面的距离为. 14. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：.规定： （i）为同时与，垂直的向量； （ii），，三个向量构成右手系（如图1）； （iii）. 如图2，在长方体中，，.给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④.其中，正确结论的序号是______________. 【详解】，且分别与垂直，，故①正确； 由题意，，，故②错误； ，，且与共线同向， ，与共线同向，，与共线同向， ，且与共线同向，故③正确； ，故④成立． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值. 【详解】（1）∵，， ∴，， ∴； （2）设与的夹角为，则， ，，，， ∴， ∴向量与夹角的余弦值为. 16. 在五面体中，平面，平面. （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）由平面，平面，得，而平面，平面， 则平面，又平面，平面平面， 所以. （2）令，则，有， 于是，由已知得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 如图，在边长为的正方体中，为线段的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，因此，平面. （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，点到平面的距离为. （3）因为， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足. （1）证明：平面； （2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积. 【详解】（1）由三棱台知，平面， 因为平面，且平面平面， 所以， 因为，所以，又，平面， 所以平面； （2）取中点，连接，以为原点，为轴，为轴， 过点做轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为， 则 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得平面的一个法向量， 易得平面的一个法向量， 设与平面夹角为， ， 所以 由，得， 由（1）知，所以， 解得，所以三棱台的体积. 19. 如图， 已知矩形 中，，，为的中点， 将 沿折起， 使得平面平面． （1）求证：平面平面； （2）若点是线段上的一动点，且，当二面角 的余弦值为时， 求的值． 【详解】（1）证明：因为在矩形中，，，为的中点， 所以， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以，平面平面. （2）取中点，连接， ，为的中点，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 过点在平面内作的垂线，交于点， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系， 则、、、， 易知平面的一个法向量为， 因为且，所以， ，． 设平面的一个法向量为，则， 即，取，得． 所以，因为，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$