3.1.2 椭圆的简单几何性质（1）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

新授课 3.1.2 椭圆的简单几何性质(1) 第三章 圆锥曲线的方程 温故知新 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_______(大于|F1F2|)的点的轨迹． 2．焦点：两个定点F1，F2. 3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|. 4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝_______(常数)且2a_____|F1F2|. 常数 2a > F1 F2 M • • x y O (x,y) 定义 焦点位置 图形 方程 特点 共同点 不同点 F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 焦点在x轴上 焦点在y轴上 x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上 . 新知探究 通过对曲线的范围、对称点及特殊点的谈论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.所以本章对几种圆锥曲线都是从范围、对称性、顶点及其他特性等方面研究他们的几何性质. 与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，研究的基本思路与方法是先“形”后“数”， 1、范围 -a ≤ x ≤ a； -b ≤ y ≤ b 问题1：容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内．为确定其具体的边界，我们利用方程（代数方法）进行研究： 2、对称性 问题2：椭圆具有怎样的对称性呢？ y x O P(x, y) P2 (-x, y) P3(-x, -y) P1 (x, -y) 问题3:已知椭圆方程为 ，F1，F2是两个焦点，下列各点的坐标 (1)F1 ; F2 . (2)A1 ; A2 . (3)B1 ; B2 . 3、顶点 线段A1A2， 线段B1B2， 长轴 短轴 |A1A2|=2a |B1B2|=2b a 椭圆的长半轴长 b 椭圆的短半轴长 长轴长: 短轴长: 追问：现在你能说说a,b,c的几何意义吗？ c 椭圆的半焦距长 ①焦点必在长轴上. ②椭圆上点到焦点的最短距离是a-c,最长距离是a+c 3、顶点 问题4.根据前面所学有关知识画出下列图形 4、离心率 （1） （2） 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x 1 2 3 4 5 -1 -5 -2 -3 -4 x A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 不同形状的椭圆的扁平程度不同 相同形状的椭圆的扁平程度相同 思考：观察图形，不同椭圆的扁平程度如何?又和什么相关？ 我们也能发现椭圆的扁平程度与焦距和长轴之比，即与有关． 也与椭圆的扁平程度与短轴和长轴之比，即与有关． 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的离心率，用 e 表示，即 (1) 离心率的取值范围： ① e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁； ② e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆； ③离心率越小，椭圆越圆，离心率越大，椭圆越扁. ④ 特例：e = 0，则 a = b，则 c = 0，两个焦点重合，椭圆变成圆. 说明： (2) 离心率对椭圆形状的影响： 因为a > c > 0，所以0 < e < 1. 4、离心率 追问：你能运用三角函数的知识解释为什么e越大，椭圆越扁平? e越小，椭圆越接近于圆吗? 如图，在中，，越大， 越小，椭圆越扁， 越大，椭圆越圆. 归纳总结 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 2b 2a x轴、y轴 原点 (0,1) 例题讲解 例1、已知椭圆方程为16x2+25y2=400，则 它的长轴长是： ；短轴长是： ； 焦距是： ；离心率等于： ； 焦点坐标是： ；顶点坐标是： ； 外切矩形的面积等于： ； 例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a=6, e= , 焦点在x轴上. (2) 离心率 e=0.8, 焦距为8. (3) 长轴是短轴的2倍, 且过点P(2,-6). (4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6. 例3、求适合下列条件的椭圆的离心率 (1) a=6, b=2. (3) 椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，△ABF为等腰三角形. (2)椭圆其中一个顶点坐标为（-2，0）， 变式1：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率是 　 ． 变式2：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 　 ． 1．设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的 长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 巩固练习 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程． （1）椭圆过（3，0），离心率e． （2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8． 3、如图，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，则椭圆的离心率为( 　　) A. B． C． D． 4、过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 4、已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若，则该椭圆的离心率的取值范围是 　 ． 5．(1)设A、B、C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆离心率为 　 　； (2)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足的点M，总在椭圆内部，则椭圆的离心率的取值范围是 　 　； (3)若椭圆和圆（其中c为椭圆的半焦距）有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围是 　 　． 总结 求椭圆的离心率通常有两种方法 ①若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2、b2，求出a、c 的值，利用公式直接求解； ②若椭圆的方程未知，则根据条件建立 a、b、c、e 满足的关系式，化为关于 a、c 的齐次方程，再将方程两边同除以 a 的最高次幂，得到 e 的方程，解方程求得 e． EVCapture4.1.7软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 _____________________ _____________________ 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 _____________________ _____________________ _____________________ _____________________ 轴长 短轴长＝_______，长轴长＝_______ 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：_____________　对称中心：_______ 离心率 e＝∈_____________ $$