23.1图形的旋转【7大题型】-2024-2025学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

23.1图形的旋转 【考点归纳】 · 考点一：生活中的旋转现象 · 考点二：旋转的三要素 · 考点三：旋转的性质 · 考点四：旋转中的线段问题 · 考点五：旋转中的坐标问题 · 考点六：旋转中的规律问题 · 考点七：旋转（几何变换）综合 【知识梳理】 知识点一．旋转的概念： 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__旋转中心，转动的角叫做_旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的_对应点_． 旋转有三要素：（1）_旋转中心__；（2）_旋转方向_；（3）_旋转角度_． 知识点二．旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 知识点三．旋转作图的基本步骤 （1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角． （2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置． （3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形． 【题型探究】 题型一：生活中的旋转现象 1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）下列现象中属于旋转的有（      ）个． ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千． A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　） A． B． C． D． 题型二：旋转的三要素 4．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为(    ) A． B． C． D． 6．（21-22九年级上·江西赣州·期末）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点（    ）    A．O B．P C．Q D．M 题型三：旋转的性质 7．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在四边形中，，边绕点D顺时针旋转，点C的对应点E落在线段上，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图所示，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·陕西安康·期中）如图，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型四：旋转中的线段问题 10．（23-24九年级上·广东广州·期中）如右图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点的长度为（    ）    A．4 B．2 C． D． 11．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上，则两点间的距离为（    ）． A． B． C．6 D． 题型五：旋转中的坐标问题 13．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）如图，将绕原点O逆时针旋转得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 14．（2024·山西长治·三模）如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 15．（2023·山东青岛·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，将向右平移个单位长度后得到，再将绕点旋转后得到，那么点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 题型六：旋转中的规律问题 16．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 17．（2024·河南周口·模拟预测）如图，菱形中，．将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第65次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A．（，） B． C．（，） D． 18．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 题型七：旋转（几何变换）综合题 19．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在四边形中，，连接AC，将绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到，若， (1)求证：是等边三角形； (2)求线段的长度． 20．（20-21八年级上·山西晋城·期末）综合与探究，在中，，的角度记为． (1)操作与证明；如图①，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．求证：； (2)探究与发现：如图②，若，点变为延长线上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．可以发现：线段和的数量关系是___________； (3)判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由． 21．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【高分演练】 22．（24-25九年级上）下面四个图案（忽略旁边一圈的文字）：是旋转对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2024·四川攀枝花·模拟预测）如图，一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到的位置，使得、、三点在同一条直线上，则三角板旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·辽宁本溪·二模）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 25．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 26．（2024·海南海口·模拟预测）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．当A，D，E三点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（   ）    A． B．是等边三角形 C． D． 27．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，，交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 29．（2024·河北邯郸·三模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，使点D落在边上．设，，则正确的是（    ）． A． B． C． D．无法比较与的大小 30．（2024·河南·三模）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 31．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是 ． 32．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是 度． 33．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为 ． 34．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，则 ． 35．（2024·云南楚雄·三模）如图，点是正方形内部一点，连接，将绕点旋转一定角度得到，当三点共线时，的度数为 ． 三、解答题 36．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 37．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）中，，，将绕点A逆时针旋转后至． (1)求的度数； (2)若，线段与，分别交于、，求的长． 38．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 39．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 40．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)顺次连接，，，，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.1图形的旋转 【考点归纳】 · 考点一：生活中的旋转现象 · 考点二：旋转的三要素 · 考点三：旋转的性质 · 考点四：旋转中的线段问题 · 考点五：旋转中的坐标问题 · 考点六：旋转中的规律问题 · 考点七：旋转（几何变换）综合 【知识梳理】 知识点一．旋转的概念： 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做__旋转中心，转动的角叫做_旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做旋转的_对应点_． 旋转有三要素：（1）_旋转中心__；（2）_旋转方向_；（3）_旋转角度_． 知识点二．旋转的性质： 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 知识点三．旋转作图的基本步骤 （1）明确旋转中心，旋转方向和旋转角． （2）找出原图形中的各顶点在新图形中的对应点的位置． （3）按原图形中各顶点的排列规律，将这些对应点连成一个新的图形． 【题型探究】 题型一：生活中的旋转现象 1．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）下列现象中属于旋转的有（      ）个． ①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移．根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：属于旋转的有③④⑤⑥，共4个． 故选：C 2．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．由如图图形旋转，分别判断、解答即可． 【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； B．由图形对称而得出，故本选项符合题意； C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）下列图案中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质和轴对称的定义：（1）旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．（2）轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．能否构成旋转，关键是看有没有旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【详解】解：选项A，B，D都是可以由一个基本图形旋转得到．选项C是轴对称图形，不能旋转得到． 故选：C 题型二：旋转的三要素 4．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心． 【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图： 故选∶A． 5．（23-24九年级上·广西南宁·期中）如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了旋转的性质，根据题意得出是旋转角，即可求解． 【详解】是由绕点旋转得到的， 是旋转角， ，， 旋转角的度数为． 故选：A． 6．（21-22九年级上·江西赣州·期末）如图，在正方形网格中，绕某点旋转一定的角度得到，则旋转中心是点（    ）    A．O B．P C．Q D．M 【答案】B 【分析】根据旋转中心的定义即可求解． 【详解】解：连接，，，，，如图所示：   ，，，且， 点P是旋转中心， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转中心的定义，熟练掌握旋转中心的定义是解题的关键． 题型三：旋转的性质 7．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，在四边形中，，边绕点D顺时针旋转，点C的对应点E落在线段上，则下列判断正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理判断．根据旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， ， ， ，， ，故选项D正确； 不一定平行， 不一定相等，不一定相等， 不一定相等，故选项A，C错误； 不一定相等， 不一定相等， ， 不一定相等，故选项B错误； 故选：D． 8．（23-24九年级上·天津滨海新·期中）如图所示，在中，，将绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得，，再利用等腰三角形的性质得，然后计算即可． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转至处，使点B落在的延长线上的D点处， ∴，， ∵， ∴， ∴＝＝． 故选：C． 9．（23-24九年级上·陕西安康·期中）如图，在同一平面内，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 由旋转的性质可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型四：旋转中的线段问题 10．（23-24九年级上·广东广州·期中）如右图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点的长度为（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质和旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，等边三角形的判定与性质，找到边长之间的关系是解答本题的关键． 11．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由旋转可得：得是等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：绕点A顺时针旋转得到， ， 是等边三角形， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 12．（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，，，将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上，则两点间的距离为（    ）． A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】在中，由勾股定理可得，再根据旋转性质可得，，，易得，然后在中由勾股定理求解即可获得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 又∵将 绕点逆时针旋转得到，点落在线段上， 由旋转性质可得，，，， ∴， ∴在中，． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理等知识，理解并掌握旋转的性质是解题关键． 题型五：旋转中的坐标问题 13．（23-24九年级上·湖北恩施·期末）如图，将绕原点O逆时针旋转得到，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转前后对应线段的长度不变解答即可． 【详解】由图易知，，，， ∵将绕原点O逆时针旋转得到， ∴，，， ∵点D在第二象限， ∴点D的坐标是． 故选：A． 14．（2024·山西长治·三模）如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转变换和平移变换，先根据旋转性质和平移性质画出图形，再根据图形中点的位置即可求解． 【详解】解：将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到如图所示，则点A的对应点的坐标为， 故选：C． 15．（2023·山东青岛·一模）在如图所示的平面直角坐标系中，将向右平移个单位长度后得到，再将绕点旋转后得到，那么点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移和旋转，坐标与图形，根据题意，画出图形，即可得出答案，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，可画出如下图形：    ∴点的坐标， 故选：． 题型六：旋转中的规律问题 16．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】此题考查了点的坐标变化规律．每旋转4次则回到原位置，根据点C的坐标为，可得图形旋转次，即可求解． 【详解】解：如图， 由题可知，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∵点C的坐标为， ∴旋转后点C在第二象限内， ∴图形旋转次点C的坐标为， ∵，，，， ∴最后点C的坐标为，则旋转次数可以是2025． 故选：C 17．（2024·河南周口·模拟预测）如图，菱形中，．将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第65次旋转结束时，点A的坐标为（    ） A．（，） B． C．（，） D． 【答案】B 【分析】此题考查菱形的性质，点坐标的规律，根据菱形的性质得到，，求出，，推出旋转8次中每次的点A的坐标，由此得到答案，熟练掌握菱形的性质是解题的关键 【详解】解：过点A作轴于点D， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵将菱形绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转后，点A的坐标为， 第二次旋转后，点A的坐标为， 第三次旋转后，点A的坐标为 第四次旋转后，点A的坐标为， 第五次旋转后，点A的坐标为 第六次旋转后，点A的坐标为， 第七次旋转后，点A的坐标为 八次旋转后，点A的坐标为， ， 可以发现，每8次为一个循环， ∵， ∴第65次旋转结束时，点A的坐标为， 故选B 18．（2024·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，……，若点的坐标为，则点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、旋转的性质、勾股定理等知识点．找出点的坐标规律以及旋转过程中线段长度的关系是解题的关键． 通过求出点的坐标，、、的长度，再根据旋转的特点逐步推导出后续点的位置和坐标，然后结合图形求解即可． 【详解】轴，点的坐标为， ，则点的纵坐标为3，代入， 得：，则点的坐标为． ，， ， 由旋转可知，，，， ，， ， ． 设点的坐标为， 则， 解得或（舍去），则， 点的坐标为． 故选C． 题型七：旋转（几何变换）综合题 19．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在四边形中，，连接AC，将绕点B逆时针旋转60°，点C与点D重合，得到，若， (1)求证：是等边三角形； (2)求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)线段AC的长度是 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和勾股定理等知识，解题的关键是利用旋转的性质证明． （1）由旋转的性质得，，，根据等边三角形的判定定理即可求证． （2）由等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）是由旋转得到的， ， ，，， 是等边三角形 （2）是等边三角形， ， ， ， 在中，， 20．（20-21八年级上·山西晋城·期末）综合与探究 在中，，的角度记为． (1)操作与证明；如图①，点为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．求证：； (2)探究与发现：如图②，若，点变为延长线上一动点，连接将线段绕点逆时针旋转角度至位置，连接，．可以发现：线段和的数量关系是___________； (3)判断与思考；判断（2）中线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理解见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，，从而证明，即可得到结论； （2）同第（1）小题的方法，证明，即可得到结论； （3）由（2）可得，从而得，进而即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵线段绕点逆时针旋转角度至位置，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， 由旋转可知：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． （3），理由如下： ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．掌握三角形全等的证明是解题的关键． 21．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．当绕B点旋转到时，如图1，易证．（不用证明） (1)当绕B点旋转到时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明； (2)当绕B点旋转到时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请给予证明． 【答案】(1)图2成立，，证明见解析 (2)图3不成立，、、的关系是，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证是关键． （1）将顺时针旋转，可得，证，即可求解； （2）将顺时针旋转，可得，证，即可求解． 【详解】（1）解：将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：不成立，新结论为， 将顺时针旋转，如图，    ∵，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【高分演练】 22．（24-25九年级上·全国）下面四个图案（忽略旁边一圈的文字）：是旋转对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查旋转对称图形的定义，根据：“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，”进行判断即可． 【详解】解：前三个图形是旋转对称图形；第四个图形不是旋转对称图形． 故选：C． 23．（2024·四川攀枝花·模拟预测）如图，一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到的位置，使得、、三点在同一条直线上，则三角板旋转的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算、旋转的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角板可知，，，由旋转的性质可知，，进而得到，即可求出三角板旋转的角度． 【详解】解：由三角板可知，，， 由旋转的性质可知，， ， 即三角板旋转的角度是， 故选：D． 24．（2024·辽宁本溪·二模）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别过点和点作轴和轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：连接，，分别过点和点作轴和轴的垂线，垂足分别为和，    由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，， 又点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：D． 25．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 26．（2024·海南海口·模拟预测）如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．当A，D，E三点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（   ）    A． B．是等边三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质．根据旋转的性质得：，，从而得到是等边三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：，，故A选项正确，不符合题意； ∴， ∴是等边三角形，故B选项正确，不符合题意； ∴， ∴， ∴， ∴，故D选项正确，不符合题意； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 根据条件无法判断与的大小， ∴不一定等于，故C选项错误，符合题意； 故选：C 27．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 28．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，，交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的旋转．由绕点逆时针旋转得到，得，得，即可得． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ， ， ． 故选：D． 29．（2024·河北邯郸·三模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，使点D落在边上．设，，则正确的是（    ）． A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先由旋转的性质得，再由三角形外角性质即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， ∴， ∵， ∵， ∴，即． 故选：A． 30．（2024·河南·三模）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键． 根据题意得到点与点重合，在菱形中算出点坐标，即可解答． 【详解】 解：作于，则， 四边形是菱形，， 点的坐标为， 若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，则菱形绕点连续旋转次，旋转次为一周，旋转次为（周）， 绕点连续旋转次得到菱形与菱形重合， 点与重合， 点的坐标为， 故选：D． 二、填空题 31．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图的正方形网格中，其中一个三角形①绕某点旋转一定的角度，得到三角形②，则图中四个点中是其旋转中心的点是 ． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，主要利用了旋转中心的确定，是基础题，比较简单．根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 B为旋转中心． 故答案为：B． 32．（23-24九年级上·广东湛江·期末）如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小是 度． 【答案】80 【分析】本题主要考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质得到为等腰三角形是解题的关键． 由旋转的性质可知，，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得，从而可求得． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ，， ， ， ， 故答案为：80． 33．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的知识得出，的长，再根据勾股定理求解．本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转得：，，， ，， ， ， 故答案为：． 34．（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转后得到，此时点恰好落在边上．若，则 ． 【答案】/41度 【分析】本题考查旋转，三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，则，，再根据三角形的内角和，等边对等角，即可． 【详解】∵旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 35．（2024·云南楚雄·三模）如图，点是正方形内部一点，连接，将绕点旋转一定角度得到，当三点共线时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转性质，根据正方形的性质得，结合旋转性质得出，，则为等腰直角三角形，因为点共线，即可列式进行计算作答． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵由旋转得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点共线， ∴， ． 故答案为： 三、解答题 36．（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等判定和性质是解题的关键． （1）利用边角边原理证明即可 ． （2）利用三角形全等的性质计算即可 ． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． （2）∵，， ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． 37．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）中，，，将绕点A逆时针旋转后至． (1)求的度数； (2)若，线段与，分别交于、，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握特殊角度的直角三角形的三边关系是解题的关键． （1）利用旋转的性质和三角形内角和直接求解即可； （2）过点作于点，作于点，利用等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质得出，，，结合，求出，得，再利用和分别是等腰直角三角形和含角的直角三角形，利用特殊三边关系即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转知：， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点， 由旋转知，，， ∴，， ∴，，， ∴， 得：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 38．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知，，． (1)将先向右平移5个单位再向下平移2个单位得到，画出，写出点的坐标为___________； (2)画出绕点逆时针旋转后的图形，写出点的坐标为___________． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题考查作图旋转变换，作图平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质找到对应的，，，连线即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1所示，△即为所求． 由图可得，点， 故答案为：； （2）解：如图2所示，即为所求． 由图可得，点， 故答案为：． 39．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质，得出，，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出答案； （2）根据（1），得出是等腰三角形，再根据三角形的内角和定理，求出度数即可． 【详解】（1）证明：将绕点按逆时针方向旋转得到， ，，， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， 是等腰三角形， ∴， ， 即的度数为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 40．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)顺次连接，，，，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)能，． 【分析】（1）根据正方形的性质及选转的不变性证明和即可； （2）由旋转得：，故当互相平分时，四边形为矩形，设，则，，，在中，由勾股定理得：，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接 ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴； （2）解：能， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得：， 故当互相平分时，四边形为矩形， ∵互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 设，则，， 由（1）知， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 2 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