第五单元平行四边形和梯形（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学人教版

第五单元平行四边形和梯形（单元讲义） 四年级上册数学人教版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 知识点一:平行与垂直 1、在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。a与b互相平行，记作 a//b，读作a平行于b。 2、两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。a与b互相垂直，记作aLb，读作a垂直于b。 知识点二:平行与垂直的画法 过直线上(外)一点画己知直线的垂线的方法: 1.把三角尺的一条直角边与己知直线重合; 2.沿直线移动三角尺，使三角尺的顶点(或边)与己知直线重合; 3过已知点沿三角尺的另一条直角边画一条直线; 4.在垂足处标出垂直符号。 5.点到直线的距离与平行线间的距离 (1)点到直线的距离 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 (2)平行线间的距离 两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。 6.运用平行和垂直画长方形 先画出一条线段，然后过这条线段的两个端点画与这条线段垂直的线段,最后连接这两条垂直 线段的另外的端点。 知识点三:平行四边形与梯形 1.平行四边形的认识 (1)两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 (2)从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边 形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 (3)平行四边形的两组对边分别平行并且相。两组对角分别相等。 (4)平行四边形有无数条高;对边之间的高长度相等;:对边之间的高互相平行。 (5)平行四边形有不稳定性，容易变形。 2.梯形的认识 (1)只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 (2)两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 (3)有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 (4)梯形只有一类高，为无数条。 (5)正方形是特殊的长方形;长方形和正方形是特殊的平行四边形。 (6)等腰梯形和直角梯形是特殊的梯形。 精讲例题 【例题一】．28．量一量，填一填，画一画。 （1）图①中有（    ）个钝角，（    ）个锐角。 （2）在图②和图③中分别过点A画出图形的高。 【答案】（1）3；2 （2）图见详解过程 【分析】（1）锐角是指大于0°且小于90°的角；钝角是指大于90°且小于180°的角；依此分类计数解答即可； （2）从梯形的点A向它的对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是梯形的高； 从平行四边形的点A向它的对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是平行四边形的高，据此画图。 【详解】（1）图①中有3个钝角，2个锐角。 （2）在图②和图③中分别过点A画出图形的高。如下图所示： 【点睛】本题主要考查了角的分类及平行四边形、梯形高的画法，注意作高用虚线，并标出垂足。 【例题二】画出下面3个图形底边上的高． 【答案】． 【详解】试题分析：三角形底边上的高只能画一条，由三角形的顶角向底边做垂线即可．平行四边形底边上的高可以画两条，从平行四边形的左上角向底边做垂线．也可以把底边向右延长，从平行四边形的右上角，向延长的底边上做垂线（垂线做在外面）．梯形的高可以做两条，分别从两个顶角向底边作垂线即可． 解：答案如图， 点评：此题的知识点在于掌握作垂线的方法，有的做一条，有的把底边延长可以做几条，垂线可以作在图形的里面，也可以作在图形的外面． 【例题三】画出下面平行四边形一条底边上的高，把平行四边形分成两个梯形，这两个梯形都是（    ）梯形。 【答案】．直角，图见详解 【分析】一腰垂直于底的梯形叫直角梯形。从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，平行四边形的每一条边都可以看做是底，所以平行四边形有4条底，有无数条高。据此画出一条非过平行四边形顶点的高；即可把平行四边形分成2个直角梯形。 【详解】根据分析画图如下： 所以，画出下面平行四边形一条底边上的高，把平行四边形分成两个梯形，这两个梯形都是直角梯形。 【点睛】熟练正确平行四边形高的画法及直角梯形的特征，是解答此题的关键。 专项练习 1．张大爷家有一块菜地，菜地的一面靠墙。张大爷想在菜地的周围围上篱笆，他至少要准备多长的篱笆？ 2．按要求填空并画图。 （1）量一量，如图中∠1＝（    ）°。 （2）在图中确定另外三点A、C、D，使四边形ABCD是平行四边形，把这个平行四边形画出来，并画出它的一条高。 3．（1）量一量，下图梯形中最大的角是（　　）°，这是一个（　　）角。 （2）在下框中画一个和梯形中最小角同样大的角。 （3）过点A画出梯形的高。 4．你会用三角尺画出平行四边形、三角形和梯形的高吗？试一试． 5．画一个底是3厘米，高是2厘米的平行四边形，并计算它的面积。 6．一个平行四边形的周长是38厘米，其中一条边是9厘米，另外三条边长分别是多少厘米？ 7．在梯形里画一条线段，把它分割成一个三角形和一个平行四边形，有几种画法？ 8．一个平行四边形的花坛，相邻两边的长度和是24米。这个平行四边形花坛的周长是多少米？ 9．小鱼向右平移5格，平移后哪些线段是互相平行的？用不同颜色的线表示出来 10．各画出两组互相平行，互相垂直的线段． 11．问题：下图是一个正方形的两条边，请把这个正方形画完整。 你是怎么画的？ 12．作出如图底边上的高． 13．选择合适的地方，把四边形、梯形、平行四边形、长方形、正方形等名称填在图中。 14．如图，在下边的平行四边形中，量一量四个角的度数，你能发现什么？ 15．按要求在下面图形中的高（梯形标明上底和下底）： 16．在下图中你能看出哪些线段互相垂直？哪些线段互相平行？ 17．公园里有一个花坛的形状是平行四边形，它的周长是38米，其中一条边长是8米，其余三条边的长分别是多少米？ 18．如图。 （1）如果线段AD和线段CE相等，那么直线a和直线b之间是什么关系？ （2）线段BF和直线b之间是什么关系？ 19．（1）画一个边长2厘米的正方形        （2）过F点作下面直线的平行线和垂线． 20．在下面梯形纸上剪一刀，使剪下的图形中有一个是平行四边形。 （1）另一个图形可能是（    ）。 （2）在图上画出你的剪法（画出一种即可）。 21．如图∠1=45゜，A为角内一点，过A点分别作OP、OQ的平行线，然后用量角器量出所得平行四边形各个角的度数，标在图中． 22．填一填、画一画。 丽丽画了一个平行四边形，不小心擦掉了两条边，只剩下一个角（如下图）： ①这个角是（    ）角。 ②请把这个平行四边形补充完整。 ③画一条线段，把这个平行四边形分割成一个三角形和一个直角梯形。 23．已知一块平行四边形菜地的周长是38米，其中一条边是10米，另外三条边分别是多少米？ 24．画一画． （1）过点4画已知直线的平行线． （2）画一个长4cm、宽3cm的长方形． 25．画一画． （1）画出三角形的高． （2）以BC为底边，过三角形的A点画一条与BC平行的线段． （2）画出一个钝角三角形，使钝角三角形与三角形ABC的面积相等． 26．小羊要到小河边喝水，请你为它设计一条到河边最近的路线，在图上画出来。设计的理由是：____________。 27．画图 （1）过A点画出已知直线的垂线．（2）过A点画出已知直线的平行线 参考答案： 1．609米 【分析】由图可知梯形菜地有一边靠墙，所以需要篱笆的长度等于除墙外的三边长度之和，据此即可解答。 【详解】196＋165＋248＝609（米） 答：至少要准备609米长的篱笆。 【点睛】本题考查学生对图形周长知识的掌握，以及图形周长知识的灵活运用。 2．（1）135 （2）见详解 【分析】（1）量角器的使用方法，两合一看，两合是指中心点与角的顶点重合；0刻度线与角的一边重合。一看就是要看角的另一边所对的量角器的刻度。看角的度数时要注意是看外刻度还是内刻度。角的开口向左看外刻度线，角的开口向右看内刻度线。 （2）两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形。过点C作线段AB的平行线段CD，使CD＝AB，连接DA即可得到平行四边形ABCD； 从点D作AB的垂线段即可得到AB边上的一条高。 【详解】（1）量一量，如图中∠1＝135°。 （2）作图如下： （高的画法不唯一） 3．（1）140；钝 （2）（3）图见详解过程 【分析】（1）量角时首先找到角的顶点，使量角器的中心和角的顶点重合，然后将角的一边和零刻度线重合，当完成两个重合之后，找到角的另外一边，看角的另外一边落在量角器的哪个刻度上，此时这个角度数就是多少。由此先用量角器测量可得：∠ACD＝40°、∠CAB＝140°、∠ABD＝110°、∠CDB＝70°，140°＞110°＞70°＞40°，再根据角的分类判定即可。 （2）根据（1）可知梯形中最小角是∠ACD，测量可得：∠ACD＝40°，再根据量角器画角的方法：先画一条射线，用量角器的圆点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合；在量角器40°的刻度上点上点；过射线的端点和刚作的点，画射线即可。 （3）过梯形的A点向对边CD作垂线，这点到垂足之间的线段就是梯形的高。 【详解】（1）测量可得：∠ACD＝40°、∠CAB＝140°、∠ABD＝110°、∠CDB＝70°， 140°＞110°＞70°＞40°， 梯形中最大的角是140°，这是一个钝角。 （2）如图所示： （3）如图所示： 【点睛】本题主要考查角的度量和角的画法，角的分类以及作梯形的高，注意作高用虚线，并标出垂足。 4． 【详解】试题分析：经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，用三角板的直角可以画出三角形的高；在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四形的高． 梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高． 解：根据分析作平行四边形、三角形和梯形的高如下： 故答案为 点评：本题是考查作三角形的高、平行四边形、梯形的高．注意作高用虚线，并标出垂足． 5．画图见详解；6平方厘米 【分析】先按题目要求画出这个平行四边形，再依据“平行四边形的面积＝底×高”即可求出其面积。 【详解】如图所示，即为所要求画的平行四边形； 平行四边形的面积：3×2＝6（平方厘米）； 答：平行四边形的面积是6平方厘米。 【点睛】此题主要考查平行四边形的面积计算。 6．9厘米；10厘米；10厘米 【分析】已知平行四边形的周长，则根据平行四边形的性质可知对边平行相等。因此可得出每一条边的长度。 【详解】（38－9×2）÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 答：平行四边形另外三条边分别是9厘米、10厘米、10厘米。 7．两种 【详解】试题分析：将三角板的一条直角边和直尺的上边缘都与梯形的一个腰重合，然后平移直尺，当直尺的上边缘正好与梯形上底的另一个端点重合时，过这个端点沿直尺上边缘画线段，与梯形的下底交于一点，此线段即为平行于梯形腰的线段，从而可以得到符合要求的平行四边形和三角形． 解：根据题干分析可得： 共有两种画法． 【点评】本题主要考查了学生根据平行四边形、三角形、梯形的定义来对图形进行分割的能力． 8．48米 【分析】封闭图形一周的长度是这个图形的周长，平行四边形的对边相等，因此平行四边形的周长＝相邻两边的长度和×2，依此计算。 【详解】24×2＝48（米） 答：这个平行四边形花坛的周长是48米。 【点睛】熟练掌握平行四边形的周长的计算是解答此题的关键。 9． 【详解】根据平移的方法，平移前和平移后对应线段平行． 10． 【详解】试题分析：依据同一平面内，两条直线的位置关系，即垂直和平行的意义，即可进行画图． 解：据分析画图如下： ． 点评：此题主要考查垂直与平行的意义． 11．见详解 【分析】过正方形已知的两条边的不相交的两个端点，分别作对边的平行线，相交于一点，然后把多余的部分擦掉即可画出正方形的另外两条边。 【详解】画图如下： 答：过正方形已知的两条边的不相交的两个端点，分别作对边的平行线，相交于一点，即可把这个正方形画完整。 【点睛】此题主要考查指定边长的正方形的画法.关键是学会作平行线。 12． 【详解】试题分析：（1）从平行四边形的一个顶点向对边引垂线，点到垂足之间的线段是平行四边形的高． （3）从梯形的底的一个顶点向对边引垂线，点到垂足之间的线段是梯形的高．由此即可画出它们的高． 解：作高如下： 点评：本题考查了梯形、平行四边形的高的画法． 13．见详解 【分析】平行四边形、梯形、长方形和正方形的含义：两组对边都平行的四边形是平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形；有一个角是直角的平行四边形是长方形，一组邻边相等的长方形是正方形。 由以上的含义可知：正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形；梯形和平行四边形都是四边形；据此解答即可。 【详解】 14．∠A＝150°；∠B＝30°；∠C＝150°；∠D＝30°；发现见详解 【分析】先用量角器测量出各个角的度数，再根据测量出的度数分析角之间的关系。 【详解】测量得∠A＝150°，∠B＝30°，∠C＝150°，∠D＝30°； 发现：∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＋∠B＝∠B＋∠C＝∠C＋∠D＝∠D＋∠B ＝180°，∠A＋∠B＝∠C＋∠D＝360°。 【点睛】本题主要考查学生对用量角器量角方法的掌握和综合分析能力。 15． 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形有无数条高，习惯上过梯形上底的一个顶点向下底作垂线，顶点和垂足之间的线段就是梯形形的一条高；梯形中平等的两边叫做梯形的底，习惯上把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。 【详解】作平行四边形、梯形的高如下： 【点睛】本题是考查作平行四边形的高、梯形的高．注意作高用虚线，标出垂足。 16．根据平行线与垂线的定义结合正方形的特征可知： AC与GE两条线段互相平行． AG与CE两条线段互相平行． BD与HF两条线段互相平行． HB与FD两条线段互相平行． AC与CE两条线段互相垂直． CE与EG两条线段互相垂直． EG与AG两条线段互相垂直． AG与AC两条线段互相垂直． BD与DF两条线段互相垂直． DF与FH两条线段互相垂直． FH与HB两条线段互相垂直． HB与BD两条线段互相垂直． 【详解】正方形中相对的边互相平行，相邻的边互相垂直；由此根据正方形的特征判断平行线和垂线即可. 17．11米；11米；8米 【分析】平行四边形的周长是相邻两条边的长度和的2倍，则这个花坛的相邻两条边的长度和是（38÷2）米。一条边长是8米，与之相邻的边的长是（38÷2－8）米。平行四边形的两组对边平行，据此求出另外两条边的长度。 【详解】38÷2－8 ＝19－8 ＝11（米） 答：其余三条边的长分别是11米、11米、8米。 【点睛】本题考查平行四边形的特征以及周长，关键是熟记周长公式，求出另一组对边的长度。 18．（1）平行关系 （2）相交关系 【分析】根据与两条平行线互相垂直的线段的长度都相等；进而解答即可。 【详解】由图可得： （1）线段AD垂直直线b，线段CE垂直直线b，又因为线段AD和线段CE相等， 所以：直线a平行直线b。 即直线a和直线b是平行关系。 （2）线段BF和直线b是相交关系。 【点睛】本题解题关键是同一平面内理解两条直线的位置：平行或相交。 19．（1） （2） 【详解】试题分析：（1）先画长2厘米的线段，然后在线段的两端向同一方向作垂线，垂线长为2厘米，然后再连接垂线两端即可； （2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和F点重合，过F点沿三角板的直角边画直线即可． 解：根据分析作图如下： （1） （2） 点评：本题考查了正方形的画法、垂线和平行线的作法，培养学生的作图能力． 20．（1）三角形； （2）见详解； 【分析】（1）依题意得，如果这一刀沿着梯形的较短一条底边的非端点处剪，那么剩下的图形就是一个梯形；如果这一刀沿着梯形的较短一条底边的端点剪，那么剩下的图形就是一个三角形。 （2）根据（1）中的剪法，任意选择一种即可。 【详解】（1）另一个图形可能是（三角形）。 （2）画图如下： 【点睛】本题考查平行四边形的剪切知识，掌握平行四边形的特征和三角形的认识是解题的关键。 21． 【详解】试题分析：把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可；再利用量角器测量各个角的度数即可． 解：根据题干分析画图如下： 点评：本题考查了学生画平行线的能力和测量角的方法． 22．①钝②见详解③见详解 【分析】①这个角比直角大，又比平角小，这是一个钝角； ②在这两条线的右边，分别画出两条线段的平行线，即可得到一个对边互相平行的四边形，即为所求平行四边形； ③过这个平行四边形右上角的顶点向底边作垂线段，这条垂线段右边的图形是三角形，左边的图形是直角梯形。 【详解】①这个角是钝角。 ②。 ③。 【点睛】只有一组对边互相平行的四边形是梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形。 23．10米、9米、9米 【分析】根据平行四边形的特征，对边平行且相等，已知一条边是10米，则对边也为10米，已知两条边和周长，求另外两条边的长度就等于周长减去已知两条边，在除以2就为两条边分别的长度。 【详解】根据分析：对边平行且相等，已知一条边是10米，则对边也为10米，那么剩余两条边也相等。 （38－10×2）÷2 ＝（38－20）÷2 ＝18÷2 ＝9（米） 答：另外三条边分别是10米、9米、9米。 【点睛】此题考查了平行四边形的周长和边的计算，明确平行四边形的特征是解答此题的关键。 24．（1） （2） 【详解】试题分析：（1）用三角板的一条直角边的已知直线重合，另一条直角边与直尺重合，沿直尺平移三角板，使三角板的与已知直线重合那条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可． （2）根据长方形的特点利用作垂线和平行线的方法作出长4cm、宽3cm的长方形即可． 解：画图如下： （1） （2） 点评：本题考查了学生作平行线的能力以及画长方形的能力． 25． 三角形BCD即是与三角形ABC面积相等的钝角三角形． 【详解】试题分析：（1）过A点向对边BC画垂线，A点到垂足之间的距离就是这个三角形的高； （2）根据过直线外一点（A）画已知直线（BC）的平行线的方法作图即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等，画一个与三角形ABC等底等高的钝角三角形即可． 解：作图如下： 三角形BCD即是与三角形ABC面积相等的钝角三角形． 点评：此题主要考查三角形的高的意义以及高的画法，和过已知直线外的一点画已知直线的平行线的方法，明确等底等高的三角形的面积相等． 26．路线见详解；点到直线的距离，垂线段最短。 【分析】把河岸看成―条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质，即可解决问题。 【详解】 理由：点到直线的距离，垂线段最短。 【点睛】本题主要考查学生对过直线外一点画已知直线垂线的掌握。解答此题的关键是熟练掌握垂线的画法。 27． 【详解】试题分析：（1）用三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A沿直角边向已知直线画直线即可． （2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可． 解：由分析画图如下： 点评：本题考查了学生画垂线和平行线的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $$