24.2.2直线和圆的位置关系 (第二课时）课件2024-2025学年人教版 数学九年级上册

第2课时 切线的判定与性质 24.2.2直线和圆的位置关系 第24章 圆 人教版数学 九年级上册 直线与圆的 位置关系 相离 相切 相交 图形 公共点个数 0个 1个 2个 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 圆心到直线距离 d>r d=r d<r 复习引入 转动雨伞时飞出的雨滴 用砂轮磨刀时擦出的火花 都是沿切线方向飞出的. 直观感受 问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ O l A 自主探究 观察： （1）圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）直线l与OA位置有什么关系？ 为什么？ 相等 垂直 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 几何语言： 要点归纳 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ 概念辨析 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切. 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 要点归纳 例1：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明AB⊥OC即可. 证明：连接OC. 在△OAB中，OA＝OB，CA＝CB ∴ OC⊥AB. ∵ OC是⊙O的半径, ∴AB是⊙O的切线. 例题精析 例2：已知：如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. O B A C 分析：由于AB与⊙O有没有公共点还不确定，所以 过点O作OC⊥AB ，只要证明OC是半径，则AB就是切线. ∵⊙O的直径为6 ∴OC是⊙O的半径 ∵OC⊥AB ∴直线AB是⊙O的切线 证明：过点O作OC⊥AB ，垂足为C. ∴ 在△OAB中，OA＝OB，OC⊥AB ∴ 在Rt△ACO中， OA=5，AC＝4 ∴ 如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 如图，OA＝OB=5，AB＝8, ⊙O的直径为6. 求证：直线AB是⊙O的切线. C B A O 对比思考 ？ 作垂直 证半径 连接半径 证垂直 方法归纳 l为⊙O的切线 ◆经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. O l A ◎第一步： ◎第二步： 有公共点 连半径 作垂直 ◎第三步： 证垂直 证半径 无公共点 方法归纳 例3 如图，线段AB是☉O的直径，直线AC与AB交于点A， ∠ABC=45°，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AC即可. 例4 如图，在Rt△ABC 中，∠ABC =90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． E 问题：如果直线l是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？ 自主探究 反证法 这与“圆O到直线l的距离等于半径”矛盾. 证明：假设l与OA不垂直, 作OM⊥ l于M 因“垂线段最短”, 故OM＜OA, 即圆心到直线的距离小于半径. O M A 故直线l与圆O一定垂直. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 几何语言： 要点归纳 ⊙O与BC相切于点D ∴OA⊥BC 连半径，得垂直 例1 如图24.2-11，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D， 求证：AC是⊙O的切线 证明：连接OD，AO,过点O作AC的垂线，交AC于点F ∵点D为切点 ∴OD⊥AB 又∵AB=AC OB=OC ∴AO平分∠ABC， ∴OD=OF ∴AC是⊙O的切线 证明切线，未知切点作垂线 例2：AB是⊙O的直径,AE平分∠BAC交⊙O于点E,过点E作⊙O的切线交AC于点D,试判断△AED的形状,并说明理由. 证明：连接OE，则OE⊥DE, ∵ AE平分∠BAC ∴∠OAE=∠DAE又∵OA=OE ∴∠OAE=∠OEA ∴∠OEA=∠DEA ∴OE∥AD ∴AD⊥ED ∴△ADE是直角三角形 1.如图，A是☉O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是___________. 相切 随堂练习 解：直线CD与⊙O相切， 理由：连接OC. ∵C为 的中点， ∴ . ∴∠DAC＝∠BAC. ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA. ∴∠DAC＝∠OCA. 2.如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为 的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC，BC.试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由. ∴OC∥AD. ∵AD⊥CD， ∴∠OCF＝∠ADC=900 ∴OC⊥CD. ∵OC为⊙O半径 ∴CD是⊙O的切线． E A B E D C O F 课堂小结 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 连半径，得垂直 1.如图，点D在⊙O 的直径AB的延长线上，点C在⊙O 上， AC=CD,∠D=30。 求证：CD 是⊙O 的切线 O A B C D 证明：连接OC. ∵AC=CD， ∴∠CAB=∠D=300. ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠CAB=300. ∴∠COD=∠OCA+∠CAB=300+300=600. ∴在△OCD中， ∴∠OCD=1800-∠COD-∠D=1800-600-300=900. ∴OC⊥CD. ∵OC为⊙O半径 ∴CD为⊙O的切线. 当堂检测 2.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P, PE⊥AC于E. 求证：PE是⊙O的切线. 证明：连接OP. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OP， ∴∠B=∠OPB. ∴∠OPB=∠C. ∴OP∥AC. ∴∠OPE=∠PEC. ∵PE⊥AC， ∴∠OPE=∠PEC=900. ∴PE⊥OP. ∵OP为⊙O半径 ∴PE为⊙O的切线. $$