22.2 二次函数与一元二次方程 讲义-2024-2025学年人教版九年级数学上册

22.2二次函数与一元二次方程讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2） 二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 典例分析 1．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点B，与x轴交于点A，C（点A在点C的右边）抛物线顶点为M，求△ACM的面积． 【解答】解：（1）当y＝0时，0＝﹣x2+2x+3， 解得：x＝﹣1或x＝3， ∴A（3，0），C（﹣1，0）； ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴M（1，4）， ∴△ACM的面积为：＝8． 2．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C．其中A（3，0），C（0，3）． （1）求二次函数的解析式； （2）若点P在二次函数图象上，且S△AOP＝4S△BOC，求点P的坐标． 【解答】解：（1）把A（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中得：， ∴， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）当y＝0时，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3， ∴B（﹣1，0）， ∵A（3，0），C（0，3）， ∴OA＝3，OB＝1，OC＝3， ∴， ∴S△AOP＝4S△BOC＝6， ∴， ∴|yP|＝4， ∴yP＝±4， 当y＝﹣x2+2x+3＝4时，解得x＝1，即P（1，4）； 当y＝﹣x2+2x+3＝﹣4时，解得或，即或； 综上所述，点P的坐标为（1，4）或或． 3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，求EF的长； （3）当时，x的取值范围是 　或　． 【解答】解：（1）把A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）把点的纵坐标，代入得：， 解得：或， 则EF长； （3）由（2）和图象知：当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点． （1）求此抛物线的解析式； （2）直接写出点C和点D的坐标； （3）若点P在第一象限内的抛物线上，且S△ABP＝4S△COE，求P点坐标． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c， ，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3， ∴点C的坐标为（0，3）； ∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴顶点D的坐标为（1，4）． （3）设点P的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0）， S△COE＝×1×3＝，S△ABP＝×4n＝2n， ∵S△ABP＝4S△COE， ∴2n＝4×， ∴n＝3， ∴﹣m2+2m+3＝3， 解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝2， ∴点P的坐标为（2，3）． 精选好题 一、单选题 1．已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．二次函数的图象过点，则使函数值成立的x的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 3．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 4．如图，是抛物线 的图象，图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，关于x的一元二次方程 根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B．关于x的一元二次方程的根是， C． D． 6．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．点在该函数图象上 B．当且时， C．该函数图象与x轴一定没有交点 D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的右侧 7．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 8．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知点在抛物线上，则 ． 10．已知在平面直角坐标系中有两点，抛物线与线段有且只有一个交点，则k的取值范围是 ． 11．抛物线与轴的两交点间的距离是 ． 12．抛物线顶点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ． 13．根据下列表格中的自变量x与函数值y的部分对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个根x的取值范围是 ． x 0.4 0.5 0.6 0.7 14．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点关于抛物线对称轴的对称点为，连接，．若点在的垂直平分线上，且在第一象限内，当是等腰三角形时，点的坐标为 ．    15．如图是抛物线的一部分，对称轴为直线，若其与x轴的一个交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ． 16．若对称轴为直线的二次函数大致图象如图所示，则下列式子：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，正确的有 ． 三、解答题 17．已知二次函数的图象与x轴交于． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，求自变量x的值． 18．已知抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点． (1)求点、、的坐标； (2)求此抛物线的顶点坐标． 19．已知抛物线，其中，且． (1)直接写出关于x的一元二次方程的一个根； (2)证明：抛物线的顶点A在第三象限． 20．如图，抛物线与y轴交于点A，过点A作与x轴平行的直线，交抛物线相交于点B、C（点B在点C的左面），若，求m的值． 21．下表给出一个二次函数的一些取值情况： x 0 1 2 3 4 y 3 0 0 3    (1)求这个二次函数的解析式； (2)在直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)根据图象说明：当x 取何值时，y的值大于0？ 22．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线． (1)求点A、B、C的坐标； (2)点为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标； (3)点是轴正半轴上一点，若，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A A C D C C 1．C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，根据二次函数的图像在轴的下方，可得抛物线开口向下，与轴无交点，即可判断． 【详解】解：二次函教的图象在轴的下方， 抛物线开口向下，与轴无交点， 即，， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解答关键是由对称轴、抛物线与求出抛物线与x轴的另一个交点坐标．先求出抛物线的对称轴，由抛物线与x轴的交点和对称轴就可以求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，又因为抛物线开口向上，所以在x轴上方部分，，由抛物线与x轴两交点的横坐标，就可以求解． 【详解】解：∵函数 ∴函数图像开口向上，对称轴是直线， ∵图像经过点，， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴在x轴上方部分，， ∴或． 故选A． 3．A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴，根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，对称性得到对称轴为，即可． 【详解】解：∵的两个实数根分别为，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为， ∴对称轴为； 故选A． 4．A 【分析】本题考查抛物线与轴的交点判断一元二次方程根的情况，根据数形结合的方法可得答案． 【详解】解：函数图象开口向下．图象交x轴于点A、B， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象先判定的符号，再结合对称轴求解抛物线与轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可． 【详解】解：由函数图像可知开口向下，与轴交于正半轴， ，， ∵对称轴为， ∴， ∴，故A不符合题意； ∵抛物线与轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的根是，；故B不符合题意； ∵抛物线与轴交于，，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴∵， ∴，故C符合题意； ∴； ∴错误，故D不符合题意； 故选：C． 6．D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是掌握二次函数的性质．把代入该函数解析式即可判断A；当时求出该函数解析式，求出该函数图象的对称轴和顶点，由函数的性质可以判断B；根据可以判断C；求出该函数的对称轴即可判断D． 【详解】解：当时，， 而不一定等于， ∴点不一定在该函数图象上， 故A错误，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，y有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为15， ∴当时，， 故B错误，不符合题意； ， ∵， ∴该函数图象与x轴一定有交点， 故C错误，不符合题意； 对称轴为直线， ∵， ∴， ∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧， 故D正确，符合题意． 故选：D． 7．C 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和 ∴对称轴为直线， ∵， ∴点比点更靠近对称轴， ∴，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象问题，求出交点坐标是解题的关键．先求出一次函数与轴交点排除A和D，再求出一次函数与二次函数的交点坐标排除B，最后得到正确答案． 【详解】解：令解得： 一次函数与轴交点为， 排除A和D， 令，解得， 二次函数与轴交点为和， 一次函数与二次函数的交点为， 排除B， 故选：C． 9．4或 【分析】本题考查抛物线上点的特征，将点代入抛物线的解析式进行求解即可． 【详解】解：点代入，得：， 解得：， 故答案为：4或． 10．或 【分析】本题考查二次函数与线段交点问题，解题关键是掌握二次函数性质与判别式，通过数形结合的方法求解． 分两种情况：当抛物线顶点落在线段上时，当抛物线顶点落在x轴下方时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， 当抛物线顶点落在线段上时，如图， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴， 解得：； 当抛物线顶点落在x轴下方时， 当时，， 当时，， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴ 或， 解得：， 综上，k的取值范围是或． 故答案为：或． 11．4 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为、， 抛物线与轴的两交点间的距离是， 故答案为：4． 12． 【分析】本题主要考查了抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出y的值． 根据顶点式求出顶点坐标，令求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】抛物线顶点坐标是； 令， ∴与轴的交点坐标是． 故答案为：，． 13． 【分析】本题考查了用函数图象法求一元二次方程的近似根，根据函的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，再根据二次函数y的正负即可判断方程一个解的范围． 【详解】解：∵函数的图象与x轴交点的横坐标就是方程的根，x轴上的点的纵坐标为0，由表中数据可知：在与之间， ∴对应的x的值在与之间， 即． 故答案为：． 14．或或 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，等腰三角形的定义，两点间距离公式，勾股定理，依据题意，分别令，，可求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再由点关于抛物线对称轴的对称点为，可得，又由点在的垂直平分线上，在第一象限，进而可设()，然后根据是等腰三角形，进行分类讨论解答即可，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由题意令， ∴， ∴或， ∴，， 又令， ∴， ∴， 又∵抛物线为， ∴对称轴为直线， ∵点关于抛物线对称轴的对称点为， ∴， ∴， 又点在的垂直平分线上，在第一象限， ∴可设（）， ∵是等腰三角形， ∴分以下三种情形， 在的垂直平分线上， ∴， 由两点间距离公式可得，， 整理得，， ∴， ∴； 当时， ∵到对称轴的距离为， ∴， ∴或， ∵，在第一象限， ∴，不合题意， ∴， ∴； 当时， ∵点到对称轴的距离为， ∴， ∴或， ∵在第一象限， ∴不合，舍去， ∴， ∴； 综上，或或， 故答案为：或或． 15．或 【分析】本题考查了抛物线的对称性，数形结合思想，求不等式的解集，先求得抛物线与x轴的两个交点坐标，后计算即可． 【详解】∵抛物线的一部分，对称轴为直线，与x轴的一个交点为，另一个交点坐标为， ∴， 解得， ∵， ∴或， 故答案为：或． 16．②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据当时，，可判断③，根据图象的特点可以判断④，根据抛物线与x轴的交点可判断⑤，根据a，b，c的关系即可判断⑥． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，，故①错误，②正确； 由图可知，当时，， ∴，故③正确 由图可知，当时，函数图象在x轴上方，此时或，故④错误； 由图可知抛物线与x轴有2个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的根， ∴，故⑤正确． ∵，当时，， ∴，即，故⑥错误， ∴正确的有②③⑤， 故答案为：②③⑤． 17．(1)； (2)当时，自变量的值为或6 【分析】此题考查了二次函数与轴的交点、待定系数法求二次函数解析式以及一元二次方程的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）将与坐标代入二次函数解析式求出与的值，即可确定出二次函数解析式； （2）把代入解析式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：将，代入解析式得： ， 解得：，． 则抛物线解析式为； （2）解：当时，即， 解得：，， 当时，自变量的值为或6． 18．(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键． （1）当时，解方程即可得到、的坐标，将代入即可得到点的坐标； （2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标． 【详解】（1）解：当时，， ，， ，， 将代入得：， ； （2）解： ， 顶点坐标是：． 19．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等： （1）根据已知条件可知抛物线经过点，据此可得答案； （2）根据顶点坐标公式得到抛物线的顶点坐标为，再由已知条件得到，，据此即可证明结论． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∵， ∴当时，， ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴关于x的一元二次方程的一个根为； （2）证明：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴顶点在第三象限． 20． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系；根据解析式求得点，令，设，，进而根据根与系数的关系得出，，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，， ∴ 设，， 则， ∴， ∴ 21．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式、画二次函数图象、图解法求一元二次不等式，（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：设这个二次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）解：这个二次函数的图象如图所示：    （3）解：由图可得，当或时，． 22．(1)，， (2)；； (3)Q点的坐标为 【分析】（1）分别令和，即可求点、、的坐标； （2）先求出的面积，可求的面积为1，从而可以求出的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出的坐标； （3）过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明，求出点的坐标，再求出直线的函数解析式，令即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：令，得： ， 解得：，， ，， 令，得： ， ， 点、、的坐标分别为：、、． （2）解：， ， 设点的纵坐标为，则有： ， ， 当时， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：，， ，或，， 点的坐标为：或，或，． （3）如图，点在轴正半轴上，且，    过点作于点，过点作轴于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，， 设， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 则有：， 解得：， ， 由，得， 点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，此题综合性强，属于压轴题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$