专题02空间向量综合应用（4基础题型+3提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（天津专用）

专题02 空间向量综合应用 求直线与平面所成角的函数值 1．（23-24高二上·天津河东·期中）如图，在四棱线中，底面为矩形，平面，点是棱的中点．    (1)求证：平面； (2)设的中点为，点在棱上（异于点），且，求直线与平面所成角的正弦值． 2.（23-24高二上·天津·期中）如图，已知四棱锥，，平面平面，且，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 求空间二面角的函数值 1．（23-24高二上·天津河东·期中）在如图所示的几何体中，平面是的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 2．（23-24高二上·天津武清·期中）如图，在三棱锥 中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，    (1)求证: (2)求直线EF与AB所成角的余弦值； (3)求平面PAC与平面PBC夹角的大小. 异面直线所成角的问题 1．（23-24高二上·天津·期中）已知棱长为的正方体中，是的中点，为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 2.（23-24高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 求点到平面的距离 1．（23-24高二上·天津滨海新·期中）如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，为中点，为靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和所成角的余弦值： (3)求点到平面的距离. 空间角的综合问题 1．（23-24高二上·天津·期中）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角. 2．（23-24高二上·天津·期中）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，，，点P为棱DF的中点. (1)求证：平面APC； (2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值； (3)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值. 3．（23-24高二上·天津·期中）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱PD的中点，且，． （I）求证：；   （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）若是上一点，且直线与平面成角的正弦值为，求的值． 4．（23-24高二上·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，为棱BC上的点，且． (1)求证：平面PAC； (2)求点到平面PCD的距离； (3)设为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值． 5．（23-24高二上·天津·期中2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 6．（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 7．（23-24高二上·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 8．（23-24高二上·天津·期中2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 9．（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，是的中点，平面，且，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的大小. 10．（23-24高二上·天津·期中）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的正弦值; （3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长． 11．（20-21高二上·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 12．（23-24高二上·天津·期中）如图，在三棱锥中，底面，，点D，E，N分别为棱，，的中点，M是线段的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 空间角与距离的综合问题 13．（23-24高二上·天津·期中）如图，是边长为4的正方形，平面，，且.    (1)求证: 平面; (2)求平面与平面 夹角的余弦值； (3)求点D到平面的距离. 14．（23-24高二上·天津·期中）如图，平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 15．（23-24高二上·天津武清·期中）如图，且，，且，且，平面，，M是AB的中点. (1)若 求证：平面DMF； (2)求直线EB与平面DMF所成角的正弦值； (3)若在DG上存在点P，使得点P到平面DMF的距离为，求DP的长． 16．（23-24高二上·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点. (1)求直线与平面BDE所成角的正弦值； (2)求平面与平面BDE的夹角的余弦值； (3)求点F到平面BDE的距离. 17．（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，在棱上取点，使得平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 18．（23-24高二上·天津·期中）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求直线FC到平面的距离． 19．（23-24高二上·天津·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 20．（23-24高二上·天津·期中）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 与空间角、距离相关的探索问题 21．（23-24高二上·天津·期中）如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，. (1)求证：BF∥平面CDE； (2)求二面角的余弦值； (3)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 22．（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离. (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量综合应用 求直线与平面所成角的函数值 1．（23-24高二上·天津河东·期中）如图，在四棱线中，底面为矩形，平面，点是棱的中点．    (1)求证：平面； (2)设的中点为，点在棱上（异于点），且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【知识点】线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】 （1）连接，设和交点为，连接，由中位线定理可得证； （2）以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，设，，由求得点，进而求得，结合线面角正弦值公式进而得解. 【详解】（1）连接，设和交点为，连接，因为底面为矩形， 所以为中点，又点是棱的中点，所以为中位线，， 又因为平面，平面，所以平面；    （2）由题可知，平面，所以，又底面为矩形， 所以，故互相垂直，以方向为轴，方向为轴， 方向为轴建立空间直角坐标系，设， ，易得，故， 又 ，故， 化简得，即，故， 所以， ，所以， ，设平面的法向量为， 由得，令得， 设直线与平面所成角的正弦值为，与夹角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为．    2.（23-24高二上·天津·期中）如图，已知四棱锥，，平面平面，且，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【知识点】线面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）分别取，的中点，，连结，，，要证平面，需证明，，其中可通过证明平面来证明，通过证明平面来证明； （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量以及直线的方向向量，求出两向量的夹角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连结，，. 因，为的中点， 故. 同理，，. 故平面. 故. 因平面平面，平面平面， 平面，， 故平面. 则. 又，是平面中的相交直线， 故平面. （2）由（1）知，面，又∥， 面. 如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，， ，， 则，，. 设是面的一个法向量， 则，即， 取，则. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 求空间二面角 1．（23-24高二上·天津河东·期中）在如图所示的几何体中，平面是的中点，，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】面面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，等腰三角形性质及线面垂直的性质判定推理即得. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面夹角余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，由是的中点，得，而，则． 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有，由平面， 平面，得，而平面，因此平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    于是,,,,，，， 设是平面的一个法向量，则，令，得， 显然平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 2．（23-24高二上·天津武清·期中）如图，在三棱锥 中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，    (1)求证: (2)求直线EF与AB所成角的余弦值； (3)求平面PAC与平面PBC夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明异面直线垂直、异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（１）建立空间直角坐标系，利用向量法证明，从而求解； （２）利用空间向量可求出两直线和所成的余弦值； （３）利用空间向量可求出平面和平面的夹角大小. 【详解】（1）证明：以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图：    则：，，，， ， ， 所以：，即：， 所以：. （2）由（1）可得：， 所以： 所以：直线与所成角的余弦值为：. （3）由（1）可得：，，，， 设平面的一个法向量为：， 则得：，令，得，所以：， 设平面的一个法向量为：， 则得：，令，得：，所以：， 所以：， 所以：平面与平面夹角为：. 异面直线所成角的问题 1．（23-24高二上·天津·期中）已知棱长为的正方体中，是的中点，为的中点. （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）详见解析（2） 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【详解】（1）证明：以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，所以，，所以，所以． （2），则，又， ，所以异面直线与所成角的余弦值是． 2.（23-24高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体中，． (1)证明：； (2)求的长； (3)求直线与AC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、证明异面直线垂直、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）以，， 为基底表示出，，再利用向量的数量积即可证明； （2）以，， 为基底表示出，再利用向量的模即可求解； （3）利用向量的数量积即可求解. 【详解】（1）如图所示：以，， 为基底， 则由题意得：， 又， ， ，， ， 即 故 ； （2）由(1)知， 即 ， 故的长为； （3）， ， ； ； ； 即， 由题意可知直线与AC所成角为锐角， 故直线与AC所成角的余弦值为. 求点到平面的距离 1．（23-24高二上·天津滨海新·期中）如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，为中点，为靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求异面直线和所成角的余弦值： (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解线线垂直，进而由线面垂直的判断求解； （2）利用第一小问建立的空间直角坐标系计算即可； （3）利用向量的投影计算即可. 【详解】（1）因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ,， , 因为， 所以，即 因为， 所以，即 又因为，平面，平面 因此平面 （2），， 则， 异面直线和所成角的余弦值为. （3）点到平面的距离为在平面的一个法向量上的投影的绝对值，其中，所以点到平面的距离. 空间角的综合问题 1．（23-24高二上·天津·期中）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由直线的方向向量与平面的法向量垂直及线面平行的条件得证； （2）由空间向量法求线面角； （3）由空间向量法求二面角． 【详解】（1）如图，以A为坐标原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则解得， 令，得. 因为，所以. 又平面， 所以平面. （2）设，则. 因为，所以. 即，解得， 所以. 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设平面的一个法向量为， 则解得 令，得. 因为，所以. 所以平面与平面夹角为. 2．（23-24高二上·天津·期中）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD，，，，点P为棱DF的中点. (1)求证：平面APC； (2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值； (3)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）连接BD，交AC于点O，由中位线定理和线面平行判定定理即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，写出坐标，求得平面的法向量，根据线面角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）由（2）可知平面的法向量，再求得平面的法向量，利用空间向量法即可求出结果. 【详解】（1）证明：连接BD，交AC于点O，又P，O分别为DF和DB的中点， 所以， 因为平面APC，平面APC，所以平面APC； （2）解：直线平面ABCD，平面ABCD，所以， 由（1）得，， 所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， 所以，， 设平面BCF的法向量， ，，解得， 又. 设直线DE与平面BCF所成角的正弦值， 所以， 所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值； （3）解：由（2），，， 设平面APC的法向量为， 则，即，令，则，， 所以平面APC的法向量， 所以， 所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为. 3．（23-24高二上·天津·期中）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，是棱PD的中点，且，． （I）求证：；   （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）若是上一点，且直线与平面成角的正弦值为，求的值． 【答案】（I）见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）1． 【知识点】面面角的向量求法、已知线面角求其他量 【详解】试题分析：(I)，，所以平面PAC；(II)建立空间直角坐标系，求出两个法向量，平面MAB的法向量，是平面ABC的一个法向量，求出二面角；(III)设，平面MAB的法向量，解得答案． 试题解析： 证明：(I)连结AC．因为为在中， ，， 所以，所以． 因为AB//CD，所以． 又因为地面ABCD，所以．因为， 所以平面PAC． (II)如图建立空间直角坐标系，则． 因为M是棱PD的中点，所以． 所以，． 设为平面MAB的法向量， 所以，即，令，则， 所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD， 所以是平面ABC的一个法向量． 所以．因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为． (III)因为N是棱AB上一点，所以设，． 设直线CN与平面MAB所成角为， 因为平面MAB的法向量， 所以． 解得，即，，所以． 4．（23-24高二上·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中∥，，，，为棱BC上的点，且． (1)求证：平面PAC； (2)求点到平面PCD的距离； (3)设为棱CP上的点（不与C，P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、已知线线角求其他量、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系.利用向量法可得，，即可证明结论； （2）由（1）可得与平面PCD的法向量，即可得答案； （3）设，后由直线QE与平面PAC所成角的正弦值为结合空间向量知识可得关于的方程，即可得答案. 【详解】（1）因为平面，平面，平面 所以，.因为则以A为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系． 由已知可得，，，，，． 所以，，． 因为，所以.，所以． 又，平面，平面．所以平面； （2）由（1）可知， 设平面的法向量因为，． 所以，即不妨设，得 点到平面的距离． 所以点到平面的距离为． ． （3）设，即． 则，即. 则.由（1）可取为平面PAC法向量. 因与平面夹角正弦值为， 则 即解得，即. 5．（23-24高二上·天津·期中2022·天津·高考真题）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， . (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、，则， 易知平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. （2）解：，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，. 因此，直线与平面夹角的正弦值为. （3）解：，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，则， 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 6．（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【知识点】面面角的向量求法、线面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：、分别为、的中点，则， 平面，平面，故平面. （2）解：因为四边形为正方形，则， 又因为，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，得，取，可得， ，则， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. （3）解：易知平面的一个法向量为，. 因此，平面与平面的夹角的余弦值为. 7．（23-24高二上·天津北辰·期中）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、已知线面角求其他量、面面角的向量求法 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理推得，再利用余弦定理与勾股定理推得，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解； （3）设，利用线面角的正弦值得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】（1）因为平面，平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，因此； 因为，，所以四边形是矩形， 则，又，则， 所以，故； 因平面，所以平面. （2）以为原点所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，，则， 故 设平面的法向量为， 所以，令，则， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 则，故， 所以平面与平面夹角的正弦值为. （3）易知平面的法向量是， 设，则， 故 设直线与平面所成角为， ，解得， 所以，则，则， 所以的长为. 8．（23-24高二上·天津·期中2021·天津·高考真题）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． （III）求二面角的正弦值． 【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）. 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证； （II）求出，由运算即可得解； （III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解. 【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则,,,,,,， 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，， 所以,,, 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为平面，所以平面； （II）由（1）得，， 设直线与平面所成角为， 则； （III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为， 则， 所以二面角的正弦值为. 9．（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，是的中点，平面，且，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量、线面角的向量求法、面面角的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出的坐标，计算，即可证明结论； （2）求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，可得答案； （3）求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，可得答案； 【详解】（1）证明：由题意平面， 以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， ， 则， 所以，所以 （2）， 设平面的法向量， 则，即，令，则， , 设直线与平面所成的角为，， 则, 所以与平面所成角的正弦值为. （3）, 设平面的法向量，则，即， 令，则，则. 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则为锐角， ， 所以平面与平面夹角为. 10．（23-24高二上·天津·期中）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且． （1）求证：平面; （2）求二面角的正弦值; （3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】（1）详见解析；（2）；（3）． 【知识点】面面角的向量求法、已知线线角求其他量、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）由面面垂直的性质可得直线平面，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，求出平面的一个法向量，直线的方向向量，由即可得证； （2）求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用，再利用同角三角函数的平方关系即可得解； （3）设，由题意即，解出后即可得解. 【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，平面，， 直线平面， 由题意，以点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，， 依题意易得是平面的一个法向量， 又，， 又直线平面，平面； （2），，， 设为平面的一个法向量， 则，即，令可得， 设为平面的一个法向量， 则，即，令 可得， ，二面角的正弦值为； （3）设，则，又， ，即， ，解得或（舍去）． 故所求线段的长为． 11．（20-21高二上·天津滨海新·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【知识点】面面角的向量求法、已知线面角求其他量、证明线面垂直 【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证； （2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案； （3）设，表示点Q，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案. 【详解】（1）因为平面，平面，平面，所以，，又因为， 则以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，，，， 所以，，. 因为，.所以， 又，平面，平面. 所以平面. （2）设平面的法向量，由（1）可知， 设平面的法向量 因为，. 所以，即， 不妨设，得. ， 又由图示知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （3）设，即.所以，即. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 即，解得，即. 12．（23-24高二上·天津·期中）如图，在三棱锥中，底面，，点D，E，N分别为棱，，的中点，M是线段的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】线面角的向量求法、已知线线角求其他量、证明线面平行 【分析】（1）取中点，连接，根据条件证明出平面平面，由此可证明平面； （2）建立合适空间直角坐标系，求解出平面的法向量，然后根据直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值求解出结果； （3）设出点的坐标，分别表示出直线的方向向量，根据方向向量夹角的余弦值求解出的长度. 【详解】（1）取中点，连接，如下图所示： 因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）建立如下图所示的空间直角坐标系， 又， 所以， 设平面一个法向量为， 所以，所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，且， 所以， 所以， 化简得，解得或（舍）， 所以. 空间的角与距离的综合问题 13．（23-24高二上·天津·期中）如图，是边长为4的正方形，平面，，且.    (1)求证: 平面; (2)求平面与平面 夹角的余弦值； (3)求点D到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3). 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面位置关系，计算面面角及点面距离即可. 【详解】（1）   根据题意可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 所以， 易知平面的一个法向量为， 显然，又平面， 所以 平面； （2）由上坐标系可知，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则有，， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则； （3）由（2）得平面的一个法向量为， 又，所以点D到平面的距离. 14．（23-24高二上·天津·期中）如图，平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）因为平面，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，即，， 又，平面，所以平面. （2）因为，，设平面的法向量为， 则，取，又平面的法向量可以为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）点到平面的距离. 15．（23-24高二上·天津武清·期中）如图，且，，且，且，平面，，M是AB的中点. (1)若 求证：平面DMF； (2)求直线EB与平面DMF所成角的正弦值； (3)若在DG上存在点P，使得点P到平面DMF的距离为，求DP的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）根据线面平行判断定理结合空间向量法证明； （2）空间向量法求线面角即可； （3）根据点到平面空间向量法求参. 【详解】（1）因为，，平面， 而平面，所以，， 因此以为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 因为且，且，， 所以， ，，， ，，，， 因为，所以 所以 设为平面的法向量，，， 则，不妨令，可得； 所以，得， 又直线平面，平面． （2）由（1）知平面的法向量为 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设点坐标为，则， 由（1）知平面的法向量为 点到平面的距离 解得， 所以的长为. 16．（23-24高二上·天津·期中）如图，在正四棱柱中，，，E，F分别为，的中点. (1)求直线与平面BDE所成角的正弦值； (2)求平面与平面BDE的夹角的余弦值； (3)求点F到平面BDE的距离. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求得向量和向量的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）求得平面的法向量，结合（1）中平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； （3）由（1）知，平面BDE的一个法向量为和向量，结合距离公式，即可求解. 【详解】（1）解：以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，， 可得，，， 设平面BDE的法向量为，则，即， 取，可得，所以， 设直线与平面BDE所成的角为. 则， 即直线与平面BDE所成角的正弦值为. （2）解：因为，， 设平面的法向量为， 则，即，取，可得，所以， 设平面与平面BDE的夹角为， 则， 即平面与平面BDE的夹角的余弦值为. （3）解：由（1）知，平面BDE的一个法向量为， 又由，所以点F到平面BDE的距离， 即点F到平面BDE的距离为. 17．（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，在棱上取点，使得平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证得结论成立. （2）判断出点的位置，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值. （3）利用向量法求得直线到平面的距离. 【详解】（1）由于平面平面，且交线为， 平面，， 所以平面. （2）设，连接， 由于平面，平面，平面平面， 所以，由于是的中点，所以是的中点. 由于平面，所以， 故两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示， ， 设平面的法向量为， 所以，故可设， 平面的法向量为， 平面与平面夹角为， 则. （3）由于平面，则到平面的距离，即到平面的距离. , 到平面的距离为. 即直线到平面的距离为. 18．（23-24高二上·天津·期中）在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求直线FC到平面的距离． 【答案】(1)； (2). 【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间坐标系，用向量法求出线面角的正弦值作答. （2）由（1）的坐标系，利用向量法求线面距离作答. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间坐标系， 则，，，，，，， 于是，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 令直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值是.    （2）由（1）知，，， 显然， 即，而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 而点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 19．（23-24高二上·天津·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面平行、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）根据正方体和中位线的性质得到四边形为平行四边形，即，然后根据线面平行的判定定理证明即可； （2）利用空间向量的方法求线面角即可； （3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可. 【详解】（1）    连接交于点，连接，， 因为为正方体， 所以，点为中点， 因为分别为中点， 所以，， 所以，，四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以∥平面. （2）如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3），， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 20．（23-24高二上·天津·期中）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明、证明线面平行 【分析】（1）（2）（3）根据题意，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【详解】（1）证明：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，，， ， 易知平面的一个法向量为，故， 则， 又平面，故平面． （2）易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 且，， 则，令，则，，， 设平面与平面夹角为，易知为锐角， 所以，即平面与平面夹角的余弦值为． （3）设平面的法向量为，且， 则，令，则，，故， 设点到平面距离为，． 与空间角、距离相关的探索问题 21．（23-24高二上·天津·期中）如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，. (1)求证：BF∥平面CDE； (2)求二面角的余弦值； (3)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)详见解析 (2) (3)存在点； 【知识点】证明线面平行、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量、面面角的向量求法 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行； （2）证得，，两两垂直，从而建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值； （3）设，求得平面的法向量为，若平面平面，则，从而解得的值，找到Q点的位置. 【详解】（1）取的中点，连结，， 因为，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且, 又因为,且，所以,, 所以四边形是平行四边形，所以, 因为平面,平面， 所以平面； （2）因为平面平面，平面平面，， 所以平面，平面，则，故，，两两垂直，所以以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，为平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 由，，得， 令，得. 所以. 如图可得二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （3）结论：线段上存在点，使得平面平面. 证明如下： 设， 所以. 设平面的法向量为，又因为， 所以，，即， 若平面平面，则，即， 解得.所以线段上存在点，使得平面平面， 且此时. 22．（23-24高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点． (1)求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)求点到平面的距离. (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在点，且 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算，求二面夹角的余弦值； （2）利用空间向量的坐标运算，求点到平面的距离； （3）利用空间向量的坐标运算，表示出线面角的正弦值，即可求解, 【详解】（1）取中点为，连接， 因为，且，，，所以, 又因为平面，平面， 所以, 所以以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则 设平面的一个法向量为， , 所以令则，所以， 设平面的一个法向量为， , 所以令则，所以， 设平面与平面所成锐二面角为， 则. （2）, 所以点到平面的距离为. （3）假设存在点，设, 因为, 所以，, 由（1）知，平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得，，解得，（舍）， 所以存在点，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$