专题01空间向量及其运算（6基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（天津专用）

专题01 空间向量及其运算 空间向量的线性运算 1．（23-24高二上·天津·期中）空间四边形中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期中）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期中）如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津·期中）在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（    ） A． B． C． D． 7.（23-24高二上·天津·期中）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则 ． 空间向量的数量积及其应用 1．（23-24高二上·天津河东·期中）如图，若正四面体的棱长为1，且，则（    ）    A． B． C． D．1 2．（23-24高二上·天津滨海新·期中）在平行六面体中，其中，则（    ） A．12 B． C．6 D． 空间向量基本定理及其应用 1．（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）如图，在平行六面体中，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期中）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期中）已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（    ）． A． B．1 C． D．2 4．（23-24高二上·天津·期中）如图，在平行六面体中，，分别在棱和上，且，．若，则（    ） A． B．0 C． D． 5．（23-24高二上·天津河东·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 7.（23-24高二上·天津·期中）如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·天津滨海新·期中）如图，在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记，则等于 .（用表示）.    空间直角坐标系 1．（23-24高二上·天津·期中）点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期中）若空间一点在轴上，则（    ） A．1 B．0 C． D． 3．（23-24高二上·天津·期中）在空间直角坐标系中，已知点，给出下列4条叙述： ①点关于轴的对称点的坐标是； ②点关于平面的对称点的坐标是； ③点关于轴的对称点的坐标是； ④点关于原点的对称点的坐标是． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（23-24高二上·天津·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期中）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为 ． 空间向量的坐标运算 1．（23-24高二上·天津·期中）若向量，，，则（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 2．（23-24高二上·天津·期中）向量，，，则（    ） A．9 B．3 C．1 D． 3．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 5．（23-24高二上·天津北辰·期中）在正方体中，为中点，，，，，使得，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24高二上·天津·期中）已知，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·天津武清·期中）已知向量空间，若,,共面，则实数x等于（    ） A．2 B． C．2或 D．2或0 8．（22-23高二上·天津·期末）已知向量，，则向量 ． 9．（23-24高二上·天津河东·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是 ． 空间向量的平行、垂直问题 1．（23-24高二上·天津·期中）向量，，若，则（    ） A．， B．， C．， D． 2．（23-24高二上·天津武清·期中）已知空间向量 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津·期中）已知向量，，且，则的值为（    ） A．4 B．-4 C．5 D．-5 4．（23-24高二上·天津·期中）若，且为共线向量，则的值为（     ） A．7 B． C．6 D．8 5．（23-24高二上·天津·期中）如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与a值有关 6．（23-24高二上·天津·期中）已知向量共面，则 ． 7．（23-24高二上·天津武清·期中）已知空间向量且 与相互垂直，则实数λ的值为 . 8．（23-24高二上·天津·期中）已知平面内有三点，若，则实数的值为 ． 9．（23-24高二上·天津·期中）设，向量，，，且，，则 . 异面直线所成角的问题 1．（23-24高二上·天津·期中）如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 2．（23-24高二上·天津·期中）如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·天津河西·期中）已知直线和平面相交，设直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面的夹角 ，（用含的代数式表示） .（用含的三角函数式表示） 4．（23-24高二上·天津·期中）若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 . 5．（23-24高二上·天津·期中）已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 6．（23-24高二上·天津武清·期中）已知点，，O为坐标原点，向量 (1)求向量的单位向量 (2)求 (3)求 7．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 空间的距离 8．（23-24高二上·天津·期中）已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（    ） A．3 B． C． D． 9．（23-24高二上·天津·期中）已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 10．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知点，直线过原点，且直线的方向向量是向量，则点到直线的距离是 . 11．（23-24高二上·天津河北·期中）如图，在棱长为1的正方体，中，E为线段的中点， 则直线与平面所成角的正弦值为 ；点到直线的距离为 .    12．（23-24高二上·天津·期中）如图所示，四边形为正方形，为矩形，且它们所在的平面互相垂直，，为对角线上的一个定点，且，则到直线的距离为 .    13．（23-24高二上·天津·期中）在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为 ． 14．（23-24高二上·天津·期中）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 ． 15．（23-24高二上·天津·期中）如图，在长方体中，，，点M在棱上，且，则当的面积取得最小值时其棱 .    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及其运算 空间向量的线性运算 1．（23-24高二上·天津·期中）空间四边形中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据向量的三角形法则，即可求解. 【详解】如图所示，根据向量的运算，可得. 故选：B. 2．（23-24高二上·天津·期中）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：A. 3．（23-24高二上·天津·期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、用空间基底表示向量 【分析】利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出． 【详解】， 故选：B． 4．（23-24高二上·天津·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量基本定理表示出，得到答案． 【详解】. 故选：B． 5．（23-24高二上·天津·期中）如图所示，已知三棱锥，点M，N分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】结合图形，易得 又因为点M，N分别为，的中点， 故，，， 所以. 故选：A. 6．（23-24高二上·天津·期中）在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】连接由中位线性质可知；利用空间向量的加减法和数乘运算可表示出结果. 【详解】连接,，分别是,的中点 ，， 故选：B 7.（23-24高二上·天津·期中）在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】 . 故选：C. 8．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则 ． 【答案】/ 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】 根据已知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可求解. 【详解】 四面体，是的中点，如图，    则，所以. 故答案为： 空间向量的数量积及其应用 1．（23-24高二上·天津河东·期中）如图，若正四面体的棱长为1，且，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的加减运算 【分析】选为基底，然后表示，利用向量的数量积的公式计算即可. 【详解】正四面体的棱长为1，且， 所以 ． 故选：C 2．（23-24高二上·天津滨海新·期中）在平行六面体中，其中，则（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】建基底，把用基底表示，然后平方，即可求出. 【详解】根据条件，以，，作为一组基底， 因为， 所以， 即， 所以, 因为， 所以， 所以. 故选：D. 空间向量基本定理及其应用 1．（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）如图，在平行六面体中，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的线性运算得到，然后求即可. 【详解】解：，又因，， ∴， ∴，，， 故选：A. 2．（23-24高二上·天津·期中）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 3．（23-24高二上·天津·期中）已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（    ）． A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的加减运算 【分析】根据已知条件用，，表示，，再由空间共面向量定理设，再列方程组，解方程组即可求解. 【详解】因为，， 所以 ，， 由空间共面向量定理可知，存在实数满足， 即， 所以，解得，所以的值为， 故选：B. 4．（23-24高二上·天津·期中）如图，在平行六面体中，，分别在棱和上，且，．若，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据题意，结合向量加法与数乘运算，即可求解. 【详解】因为 ． 所以，，，故． 故选：D. 5．（23-24高二上·天津河东·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】空间向量基本定理及其应用、空间向量的加减运算 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算，结合空间向量基本定理计算即得. 【详解】在四棱锥中，由，得， 所以 ，又，且不共面， 因此，所以. 故选：A 6．（23-24高二上·天津南开·期中）在正四面体中，过点A作平面的垂线，垂足为H点，点M满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】在正四面体中， 因为平面，所以是的中心，连接， 则， 所以 . 故选：B. 7.（23-24高二上·天津·期中）如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量基本定理及其应用 【分析】根据空间向量线性运算进行计算，用表示出． 【详解】因为是中点，所以， 是的重心，则， 所以， 因为 所以， 若，则． 故选：D． 8．（23-24高二上·天津滨海新·期中）如图，在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记，则等于 .（用表示）.    【答案】 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】，，， ， ， . 故答案为：. 空间直角坐标系 1．（23-24高二上·天津·期中）点关于平面对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果. 【详解】由空间直角坐标系的性质可知， 点关于平面对称的点的坐标是. 故选：A 2．（23-24高二上·天津·期中）若空间一点在轴上，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】空间中点的位置及坐标特征 【分析】根据轴上点的坐标的特征得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为空间一点在轴上， 所以，解得； 故选：D 3．（23-24高二上·天津·期中）在空间直角坐标系中，已知点，给出下列4条叙述： ①点关于轴的对称点的坐标是； ②点关于平面的对称点的坐标是； ③点关于轴的对称点的坐标是； ④点关于原点的对称点的坐标是． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据点关于坐标轴对称点的特点可判断①③的正误，利用点关于坐标平面对称点的特点可判断②的正误，利用关于原点的对称点的特点可判断④的正误. 【详解】空间直角坐标系中，点. 对于①，点关于轴对称的点的坐标是，①错误； 对于②，点关于平面对称的点的坐标是，②错误； 对于③，点关于轴对称的点的坐标是，③错误； 对于④，点关于原点的对称点的坐标是，④正确； 综上知，正确的个数是1. 故选：C. 4．（23-24高二上·天津·期中）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、空间向量的有关概念、空间向量的坐标表示 【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案. 【详解】根据空间中点的坐标确定方法知， 空间中点在坐标平面上的投影坐标， 横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变． 所以空间向量在坐标平面上的投影向量是： 故选：B. 5．（23-24高二上·天津·期中）在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】设，利用空间向量的坐标运算求解． 【详解】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 6．（23-24高二上·天津·期中）若，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标表示 【分析】根据空间向量的坐标表示直接构造方程求解即可. 【详解】设，则， ，解得：，. 故答案为：. 空间向量的坐标运算 1．（23-24高二上·天津·期中）若向量，，，则（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】利用空间向量的坐标运算求解即得. 【详解】由，，得，而， 所以. 故选：C 2．（23-24高二上·天津·期中）向量，，，则（    ） A．9 B．3 C．1 D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据先求解出的值，然后表示出的坐标，结合坐标下的模长计算公式求解出结果. 【详解】因为，所以，解得， 则，所以. 故选：A. 3．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的加法坐标运算可得. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 4．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量基底概念及辨析 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 5．（23-24高二上·天津北辰·期中）在正方体中，为中点，，，，，使得，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量的坐标表示、空间向量基本定理及其应用 【分析】建立空间直角坐标系，得到点的坐标，根据得到方程组，求出，得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体边长为，则， 则， 因为，所以， 故，解得， 故，    故选：A 6．（23-24高二上·天津·期中）已知，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据投影向量的定义，分别计算出数量积及的模长，即可得出答案. 【详解】易知，，所以． 因为，所以， 故在上的投影向量为． 故选：D． 7．（23-24高二上·天津武清·期中）已知向量空间，若,,共面，则实数x等于（    ） A．2 B． C．2或 D．2或0 【答案】A 【知识点】空间向量共面求参数 【分析】利用向量共面定理即可. 【详解】若,,共面,则， 所以，解得. 故选：A 8．（22-23高二上·天津·期末）已知向量，，则向量 ． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】向量，, . 故答案为：. 9．（23-24高二上·天津河东·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是 ． 【答案】 【知识点】求投影向量、求空间向量的数量积、坐标计算向量的模 【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案. 【详解】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 故答案为：. 空间向量的平行、垂直问题 1．（23-24高二上·天津·期中）向量，，若，则（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】B 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【分析】由向量平行的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，故. 故选：B 2．（23-24高二上·天津武清·期中）已知空间向量 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 故选：A 3．（23-24高二上·天津·期中）已知向量，，且，则的值为（    ） A．4 B．-4 C．5 D．-5 【答案】C 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】向量垂直时，数量积等于零，向量数量积用坐标进行表示即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 则， 故选：C. 4．（23-24高二上·天津·期中）若，且为共线向量，则的值为（     ） A．7 B． C．6 D．8 【答案】C 【知识点】由空间向量共线求参数或值 【分析】利用向量共线的坐标形式可得关于的方程组，求出其解后可得正确的选项. 【详解】因为为共线向量，且它们均为非零向量，故存在实数， 使得，故，所以，故， 故， 故选：C. 5．（23-24高二上·天津·期中）如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与a值有关 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解 【详解】建立如图所示空间直角坐标系. 则，，，， ， ， 故选：B 6．（23-24高二上·天津·期中）已知向量共面，则 ． 【答案】 【知识点】空间向量共面求参数、空间向量的坐标运算 【分析】由向量共面定理，结合向量线性关系的坐标运算求参数即可. 【详解】由题设且，即， 所以. 故答案为： 7．（23-24高二上·天津武清·期中）已知空间向量且 与相互垂直，则实数λ的值为 . 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据空间向量数量积公式表示向量垂直关系计算即可得出λ. 【详解】因为与相互垂直， 所以, 所以. 故答案为: 8．（23-24高二上·天津·期中）已知平面内有三点，若，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解． 【详解】 则，， ， ，解得． 故答案为：． 9．（23-24高二上·天津·期中）设，向量，，，且，，则 . 【答案】3 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标表示求出和的值，进而可得的坐标，再由模长的坐标表示计算模长即可求解. 【详解】因为，，，且，， 所以，，可得，， 所以，，， 所以. 故答案为：. 异面直线所成角的问题 1．（23-24高二上·天津·期中）如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】连接，由已知条件可证得平面，从而可得，由此可得答案 【详解】连接，则， 因为平面，在平面内， 所以， 因为， 所以平面， 因为在平面内， 所以， 所以异面直线与所成的角为， 故选：D 2．（23-24高二上·天津·期中）如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案. 【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得，，，，则，， 所以. 又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 3．（23-24高二上·天津河西·期中）已知直线和平面相交，设直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面的夹角 ，（用含的代数式表示） .（用含的三角函数式表示） 【答案】 或 【知识点】线面角的向量求法 【分析】讨论直线的方向向量与平面的法向量夹角、分别确定直线与平面的夹角与的关系，再应用诱导公式求. 【详解】当时，直线与平面的夹角，则； 当时，直线与平面的夹角，则； 综上，. 故答案为：或， 4．（23-24高二上·天津·期中）若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 . 【答案】/ 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】利用向量的夹角公式，结合向量的数量积的坐标运算和向量的摸公式，计算即可求出异面直线所成的角. 【详解】由，，得， ， 设异面直线与的所成的角为，则 . 所以异面直线与的夹角的余弦值为. 5．（23-24高二上·天津·期中）已知空间三点，设． (1)若，，求； (2)求与的夹角的余弦值； (3)若与互相垂直，求k． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【知识点】空间向量数量积的应用、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示 【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可； （2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出； （3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k． 【详解】（1）因为， 所以，又因为， 所以，又因为， 所以， 因此或； （2）因为 所以与的夹角的余弦值为； （3）因为与互相垂直， 所以 或. 6．（23-24高二上·天津武清·期中）已知点，，O为坐标原点，向量 (1)求向量的单位向量 (2)求 (3)求 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量的坐标表示 【分析】（1）计算出模长，进而利用得到答案； （2）计算出，得到模长； （3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由已知得：，则， 因此； （2）因为， 所以， 则. （3）因为，所以， 则 7．（23-24高二上·天津南开·期中）已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 空间的距离 8．（23-24高二上·天津·期中）已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】由空间向量法求点线距． 【详解】由已知， ，所以， 所求距离为， 故选：C． 9．（23-24高二上·天津·期中）已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】直接利用点到直线的距离公式求出结果． 【详解】定点，， 故，所以； 故：， 所以， 所以点到直线的距离． 故选：C． 10．（23-24高二上·天津北辰·期中）已知点，直线过原点，且直线的方向向量是向量，则点到直线的距离是 . 【答案】 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】由点到直线的距离公式用向量法直接求即可. 【详解】由已知得， 又因为直线的方向向量是向量，设为， 所以由点到直线的距离公式有 故答案为： 11．（23-24高二上·天津河北·期中）如图，在棱长为1的正方体，中，E为线段的中点， 则直线与平面所成角的正弦值为 ；点到直线的距离为 .    【答案】 【知识点】线面角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，      则,0,,,1,,,1,,,1,,,,, ，， 设平面的法向量为， 则，，， 取，则，，是平面的一个法向量， 又， 设与平面所成角为，则， 取，， 则，， 故点到直线的距离为； 故答案为： 12．（23-24高二上·天津·期中）如图所示，四边形为正方形，为矩形，且它们所在的平面互相垂直，，为对角线上的一个定点，且，则到直线的距离为 .    【答案】/ 【知识点】点到直线距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， 因为，所以， 所以，， 令，， 所以，，则点到直线的距离为. 故答案为：    13．（23-24高二上·天津·期中）在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【知识点】点到平面距离的向量求法 【解析】利用点到平面的距离公式（为平面的一个法向量）可求得点到平面的距离. 【详解】由已知条件可得，平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离为. 因此，点到平面的距离为. 故答案为：. 14．（23-24高二上·天津·期中）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则 ． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】 根据空间向量数量积的定义可求得，进而求得的值，从而求解. 【详解】 因为，且两两夹角为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 15．（23-24高二上·天津·期中）如图，在长方体中，，，点M在棱上，且，则当的面积取得最小值时其棱 .    【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、空间向量数量积的应用、空间向量的坐标表示 【分析】设，，建立空间直角坐标系，由向量的垂直可得，进而可得，由基本不等式即可得解. 【详解】设，，如图建立空间直角坐标系，    则，，， 所以，， 又，所以，所以， 所以 ， 当且仅当，时，等号成立， 所以当的面积取得最小值时其棱. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$