2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（分层作业）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时） 分层作业 1、 题型研究 题组一　利用圆的方程解决一些具体问题的计算 【例题1】某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（参考数据2.45，结果精确到0.1m）． 题组二　根据直线与圆的位置关系判断一些实际问题（坐标法） 【例题2】为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区． (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 题组三　中点弦问题 【例题3】直线（）截圆所得弦长的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．6 题组四　圆上的点到直线距离为定值的个数问题 【例题4】已知圆，直线：，若圆上恰有2个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 题组五　利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题 【例题4】过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为 . 2、 基础达标 1．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（    ） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 2．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（    ） A．1分钟 B．分钟 C．2分钟 D．分钟 3．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为 m. 5．已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数 ． 6．在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于，两点，其中点在第一象限，且，则直线的倾斜角为 . 3、 能力提升 1．已知圆，圆.若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则实数的取值范围为 . 2．如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险? 3．已知圆C：，直线l：与圆C交于两点A，B． (1)若，求实数m的值； (2)若点P为直线l所过定点，且，求直线l的方程． 4．在平面直角坐标系中，已知圆O：x2＋y2＝4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点． (1)若kAM＝2，kAN＝－，求△AMN的面积； (2)若直线MN过点（1，0），求证：kAM·kAN为定值，并求此定值． 4、 直击高考 1．（2024·湖北·模拟预测）直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ） A． B． C．1 D．2 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知圆，直线经过点与圆C相交于A，B两点，且满足关系（O为坐标原点）的点M也在圆C上，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2024·云南昭通·模拟预测）已知直线与圆交于两点，以线段为直径作圆，该圆的面积的取值范围为 . 4．（23-24高三上·北京海淀·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m． (1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时） 分层作业 1、 题型研究 题组一　利用圆的方程解决一些具体问题的计算 【例题1】某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（参考数据2.45，结果精确到0.1m）． 【答案】5.4m 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】 以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为．                       设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得．                             故圆拱所在的圆的方程是．                          将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.4m． 题组二　根据直线与圆的位置关系判断一些实际问题（坐标法） 【例题2】为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2） ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 题组三　中点弦问题 【例题3】直线（）截圆所得弦长的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】求出直线过的定点、圆的圆心坐标及半径，再利用圆的性质及弦长公式计算即得. 【详解】依题意，直线过定点，圆的圆心，半径， ，即点在圆内，当且仅当直线与直线垂直时，直线截圆所得弦长最短， 所以所求最短弦长为. 故选：C 题组四　圆上的点到直线距离为定值的个数问题 【例题4】已知圆，直线：，若圆上恰有2个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离满足，利用点到直线的距离公式计算，解不等式即可. 【详解】由圆的方程：，可得圆心为坐标原点，半径为2． 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则， 解得． 故选：C． 题组五　利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题 【例题4】过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为 . 【答案】或 【分析】首先判断直线的斜率存在，设，，，联立直线与圆的方程，消元，列出韦达定理，由，可得，代入即可求出. 【详解】当斜率不存在时，解得或， 因为且，即不满足，故舍去； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则， 代入圆，得， 显然，设，， 则，， 因为，则，则，， 联立可得，解得或． 故答案为：或． 2、 基础达标 1．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（    ） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 【答案】D 【分析】沿拱顶建立如图所示的平面直角坐标系，求出圆的方程后可得水面下降2米后的水面宽. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，， 设圆的方程为：，代入，则有， 故圆的方程为：， 令，则，故， 故选：D. 2．某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（    ） A．1分钟 B．分钟 C．2分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，求得直线和圆的方程，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的长，进而求得持续监测的时长. 【详解】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，可得，圆． 记从处开始被监测，到处监测结束， 因为到的距离为米， 所以米，故监测时长为分钟． 故选：C. 3．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示， 则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 4．如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为 m. 【答案】 【分析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,根据题意可以求出找到一个点的坐标,这样可以求出圆的方程,最后可以求出当水面下降1m后,水面宽的大小. 【详解】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示： 由题意可知：设圆的方程为：(其中为圆的半径),因为拱顶离水面2m,水面宽12m,所以设,代入圆的方程中得：,所以圆的方程为： ,当水面下降1m后,设代入圆的方程中得： . 故答案为： 【点睛】本题考查了圆的方程的实际应用,考查了数学运算能力和阅读能力. 5．已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数 ． 【答案】26 【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离为3，即可求出的值，再由直线不过第三象限求出的取值范围，即可得解． 【详解】因为得圆心为，半径， 因为圆C上恰有三点到直线l的距离均为3， 所以圆心到直线的距离为3，即，解得或， 又因为直线不过第三象限， 所以，即， 所以． 故答案为：26． 6．在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于，两点，其中点在第一象限，且，则直线的倾斜角为 . 【答案】/ 【分析】由题意，设直线与圆联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论． 【详解】由题意，设直线与圆联立，可得， 设，，因为，即， 则，，，，所以， 联立解得，直线的方程为，则直线的斜率为，所以倾斜角为. 故答案为：． 3、 能力提升 1．已知圆，圆.若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出的距离，再由题意得到关于的不等式求得答案. 【详解】解：如图，圆的半径为1，圆上存在点， 过点作圆的两条切线，切点为，使得， 则，在中，， 又圆的半径等于1，圆心坐标， ，， ， 由， 解得：. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键. 2．如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险? 【答案】(1)； (2)该船有触礁的危险． 【分析】（1）根据给定条件，求出点A，B的坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数法求解作答. （2）求出船D的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答. 【详解】（1）依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，则点， 又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则，解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，则， 而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离，则， 所以该船有触礁的危险. 3．已知圆C：，直线l：与圆C交于两点A，B． (1)若，求实数m的值； (2)若点P为直线l所过定点，且，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解， （2）根据向量的坐标运算即可得，联立直线与抛物线方程，即可根据韦达定理求解. 【详解】（1）由题意可知：圆C：的圆心为，半径为． 圆心C到直线l：的距离为：， 由解得：． （2）直线l的方程：可化为：， 直线l过定点，且在圆内； 设，， ，， ， ，① 由得： （※） ，② 由①②解得，带入（※）式，解得， 直线l的方程为或． 4．在平面直角坐标系中，已知圆O：x2＋y2＝4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点． (1)若kAM＝2，kAN＝－，求△AMN的面积； (2)若直线MN过点（1，0），求证：kAM·kAN为定值，并求此定值． 【答案】(1) (2)证明见解析，－. 【详解】 解：（1） （解法1）根据题意，圆O：x2＋y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，A（－2，0）.若kAM＝2，则直线AM的方程为y－0＝2（x＋2），即y＝2x＋4；kAN＝－，直线AN的方程y－0＝－（x＋2），即y＝－x－1.由题知kAM·kAN＝－1，所以AM⊥AN，所以MN为圆O的直径，所以圆心到直线AM的距离d＝＝，则AM＝2＝.又由中位线定理知，AN＝2d，即AN＝，则△AMN的面积S＝×AM×AN＝××＝. （解法2）若kAM＝2，则直线AM的方程为y－0＝2（x＋2），即y＝2x＋4.由得M（－，）.同理得N（，－）.由题知kAM·kAN＝－1，所以AM⊥AN，所以S＝×AM×AN＝××＝. （2） 设M（x1，y1），N（x2，y2）. ① 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k（x－1）（k≠0），代入圆的方程中有x2＋k2（x－1）2－4＝0，整理得（1＋k2）x2－2k2x＋k2－4＝0，则有x1＋x2＝，x1x2＝，此时kAM·kAN＝×＝＝＝k2×＝－； ② 当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x＝1，代入圆的方程可得M（1，），N（1，－），此时kAM·kAN＝×＝－.综上，kAM·kAN为定值，且此定值为－. 4、 直击高考 1．（2024·湖北·模拟预测）直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出，根据向量数量积可求答案. 【详解】联立,得， 则，即，所以， 设，则：，， 故选：C 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知圆，直线经过点与圆C相交于A，B两点，且满足关系（O为坐标原点）的点M也在圆C上，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得，即，设直线的方程为，联立圆的方程，设，，由韦达定理可得，，代入化简即可求出直线的斜率. 【详解】设直线的方程为，联立 整理得，设，． 由韦达定理得，，则， 由，点M在圆C上，可知， 所以，所以， 所以，即， 所以，解得． 故选：D. 3．（2024·云南昭通·模拟预测）已知直线与圆交于两点，以线段为直径作圆，该圆的面积的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得直线过定点，当直线过圆心时最大，当直线与垂直时最小，进而可求出结果. 【详解】直线可化为， 所以直线过定点， 圆可化为， 圆心，半径， 设圆心到直线的距离为， 则， 所以当，即直线过圆心时，最大，则， 所求圆面积最大，为， 当最大时，即直线与垂直时最小，则, 所求圆面积最小，为， 所求圆面积取值范围为， 故答案为：. 4．（23-24高三上·北京海淀·期中）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m． (1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程； (2)为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少． 【答案】(1)x2+(y+3)2＝36 (2)3.5米 【分析】（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．设圆的方程为x2+(yb)2＝r2，通过F，M在圆上，求出参数值，得到圆的方程． （2）设限高为h，作CP⊥AD交圆弧于P，则|CP|＝h+0.5，将P的横坐标x代入圆的方程，求出y，然后求出限高． 【详解】（1）以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系，则E(3,0)，F(3,0)，M(0,3)， 由所求圆的圆心在y轴上，可设圆为x2+(yb)2＝r2， 又F，M在圆上，则，解得b＝3，r2＝36． ∴圆的方程为x2+(y+3)2＝36． （2）设限高为h，作CP⊥AD交圆弧于P，则|CP|＝h+0.5， 将P的横坐标x代入圆的方程，有，得y＝2或y＝8（舍）， ∴h＝|CP|0.5＝(y+|DF|)0.5＝(2+2)0.5＝3.5(m)． 答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$