2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时） 导学案 1、 教学目标 1. 能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养； 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养； 3. 体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 2、 教学重难点 重点：能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”； 难点：能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 3、 教学过程 1． 应用新知 例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到）． 思考：如何在该图形中建立直角坐标系？ 追问：原点O是圆心吗？ 思考：建立平面直角坐标系，需要求那些量？所求是什么？ 追问：根据题意，已知了哪些条件可以用于求圆的方程？点P2的横坐标是多少？ 思考：如果不用坐标法，用综合法，借助辅助线和直角三角形解该题，如何解答 追问：根据以上两种方法的解题过程，比较综合法和坐标法的特点 跟踪练习：2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 例4：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？ 思考：比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？ 引入问题：一个台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为多长？ 2． 能力提升 题型一：圆的中点弦问题 例题1 若点为圆的弦的中点，求直线的方程. . 题型二：圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题2 已知圆，直线，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当时，求b的取值范围？ (2)当时，求b的取值范围？ (3)当时，求b的取值范围？ (4)当时，求b的取值范围？ 题型三：利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题 例题3 已知圆，过点的直线交圆于、两点，且，则直线的方程是______________. 3． 课堂小结 4． 随堂限时小练 1．小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 2．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 4．已知圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 ． 5．若为圆的弦的中点，则直线的方程是__________. 5． 已知圆，直线与圆交于点，，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 6． 课后作业布置 作业1：完成教材：第95页 练习1,2,3 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系（第2课时）》 7． 课后作业 练习（第95页） 1．赵州桥的跨度是37.4 m， 圆拱高约为7. 2 m． 求这座圆拱桥的拱圆的方程． 2．某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m． 现有一船宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？ 3．在一个平面上，机器人从与点的距离为9的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变． 它在行进过程中到过点与的直线的最近距离和最远距离分别是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时） 导学案 1、 教学目标 1. 能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养； 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养； 3. 体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 2、 教学重难点 重点：能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”； 难点：能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 3、 教学过程 1． 应用新知 例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到）． 思考：如何在该图形中建立直角坐标系？ 以O为原点，线段AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系 追问：原点O是圆心吗？ 不是，圆心在y轴上，可令圆心坐标(0，b) 思考：建立平面直角坐标系，需要求那些量？所求是什么？ 需要求圆的方程，所求为点P2的纵坐标. 追问：根据题意，已知了哪些条件可以用于求圆的方程？点P2的横坐标是多少？ 已知圆上的两个点B、P的坐标，圆心在y轴上，可考虑待定系数法求圆的标准方程，点P2的横坐标是−2. 预设：建立如图所示的直角坐标系，使线段所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上． 由题意，点，的坐标分别为，．设圆心坐标是，圆的半径是， 那么圆的方程是 ． 下面确定和的值． 因为，两点都在圆上，所以它们的坐标，都满足方程． 于是，得到方程组 ． 解得 ，． 所以，圆的方程是 ． 把点的横坐标代入圆的方程，得 ． 即（的纵坐标，平方根取正值）．所以 m． 答：支柱的高度约为3.86m． 思考：如果不用坐标法，用综合法，借助辅助线和直角三角形解该题，如何解答 追问：根据以上两种方法的解题过程，比较综合法和坐标法的特点 综合法中添加了辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理，并多次使用勾股定理进行计算，过程较复杂. 跟踪练习：2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 预设：以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为， 由勾股定理可得，又，即，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为， 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以(米)． 故答案为：． 例4：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 预设：以小岛的中心为原点， 东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为． 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 ． 轮船航线所在直线的方程为 ，即． 联立直线与圆的方程，得 消去，得 ． 由，可知方程组无解． 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？ 预设：以小岛的中心为原点， 东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为． 所以，，直线AB的一个法向量为， 所以，点O到直线AB的距离为： 所以轮船沿直线返港不会有触礁危险． 思考：比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？ 向量法解决几何问题的步骤，和坐标法很类似： 首先将点、线、面等几何要素用向量表示，其次对这些向量进行运算，最后后把向量运算的结果“翻译”成关于点、线、面的相应结果. 由于向量线性运算给向量表示几何要素带来的便利性，以及向量数量积运算在刻画长度与角度方面的强大功能，使得向量法在解决几何问题中发挥了巨大的作用，使许多问题的解决变得方便且简捷。 引入问题：一个台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为多长？ 预设：以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点. 在中，由锐角三角函数，得， 在中，由勾股定理，得， 所以，因为台风中心的移动速度为， 所以B城市处于危险区内的时间为. 2． 能力提升 题型一：圆的中点弦问题 例题1 若点为圆的弦的中点，求直线的方程. 预设：将的圆心，则直线CM的斜率， 由垂径定理可得：直线与垂直， 故直线AB的斜率， 则直线的方程为，即. . 方法总结：已知弦的中点坐标，求弦所在直线的方程 第一步：先求圆的圆心坐标，和半径； 第二步：利用圆心坐标和弦的中点坐标求所在直线l的斜率 第三步：根据垂径定理，利用直线l与弦垂直，求得弦所在直线斜率 第四步：利用斜率和中点坐标，即可用点斜式写出直线方程 题型二：圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题2 已知圆，直线，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当时，求b的取值范围？ (2)当时，求b的取值范围？ (3)当时，求b的取值范围？ (4)当时，求b的取值范围？ 预设：（1）由题知圆的方程为,所以圆心为,半径为, 若圆上恰有1个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则，解得．解得或. （2）若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则，解得． 解得或. （3）因为圆上恰有3个点到直线的距离都等于1, 所以只需要圆心到直线的距离为即可, 所以圆心到直线的距离为:,解得 （4）因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1， 所以圆心到直线的距离小于1， 因此有. 方法总结: 直线与圆有公共点 （此时d≤r） 直线与圆无公共点 （此时d>r） 题型三：利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题 例题3 已知圆，过点的直线交圆于、两点，且，则直线的方程是______________. 预设：1°当直线的斜率不存在时，，联立，得或， 不妨设，，则，不符合题意； 2°当直线的斜率存在时，设直线， 联立，消去并整理得， ， 设，，则，， 则 ， 所以,解得，， 所以直线l的方程是. 方法总结：利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题的基本步骤 （1）设直线方程，设交点坐标为(x1,y1)、(x2,y2)；注意分斜率存在与不存在讨论 （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算Δ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为x_1+x_2、x_1x_2（或y_1+y_2、y_1y_2）的形式； （5）代入韦达定理求解. 3． 课堂小结 4． 随堂限时小练 1．小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 【详解】设圆的半径为，则， 解得，，， 所以当水面上涨4米后， 桥在水面的跨度为米． 2．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：小岛到航线的距离为，解得. 故选：C 3．某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 【详解】以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为， ∵圆经过点，∴解得： ∴圆的方程是，令，得，故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低，船才能安全通过桥洞. 4．已知圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 ． 【详解】因为圆上有且仅有3个点到直线的距离为1， 所以原点到直线 的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得， 故答案为：. 5．若为圆的弦的中点，则直线的方程是__________. 【详解】可整理为，所以圆心为， 根据垂径定理可得，， 所以，直线AB的方程为： 整理得： 6．已知圆，直线与圆交于点，，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 【详解】将的方程代入圆的方程，得． 设，，则，． 故， 依题意知，则，即，于是，即．或，经检验，满足． 故直线的方程为或． 5． 课后作业布置 作业1：完成教材：第95页 练习1,2,3 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系（第2课时）》 6． 课后作业答案 练习（第95页） 1．赵州桥的跨度是37.4 m， 圆拱高约为7. 2 m． 求这座圆拱桥的拱圆的方程． 解析：根据题意建立如图所示的直角坐标系．， ，则，，． 设所求圆的方程是． 于是有， 解此方程组，得，，． 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是． 2．某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m． 现有一船宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？ 解析：依题意，建立如图所示的直角坐标系．有，，，，，设圆拱桥的拱圆的方程是，于是有 ， 解得，，．所以这座圆拱桥的拱圆的方程是， 把点D的横坐标代入上式，得．因为船在水面以上高3m，，所以该船可以从桥下通过． 3．在一个平面上，机器人从与点的距离为9的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变． 它在行进过程中到过点与的直线的最近距离和最远距离分别是多少？ 解析：机器人的运行轨迹是以点为圆心，半径的圆．过点与的直线方程为．所以圆心到直线的距离．因为，所以圆与直线相离．如图，过点作直线的垂线，垂足为． 直线与圆的交点，分别是机器人到直线的最近距离点和最远距离点．所以圆上点到直线的最近距离为，最远距离为．即机器人在行进过程中到直线的最近距离和最远距离分别为和． 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