2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时） 教学设计 1、 教学目标 1. 能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养； 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养； 3. 体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 2、 教学重难点 重点：能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”； 难点：能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 3、 学情分析与教材分析 1. 学情分析： 学生在刚接触解析几何问题时，自己建立适当的坐标系，并将问题所涉及的几何元素：点、线、圆等用坐标或方程表示，并利用这些坐标和方程将几何问题转化为代数问题，运用代数运算解决代数问题，最后将代数结论“翻译”成几何结论的基本过程和思想还不够成熟，也需要我们通过课本习题，反复让学生实际动手体验和归纳总结，最后得出坐标法解决平面几何问题的“四步曲”.结合以上分析，确定节的教学难点是：运用直线与圆的方程解决简单的问题. 2. 教材分析： 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线与圆的位置关系. 学生在初中的几何学习中已经接触过直线与圆的位置关系，本章已经学习了直线与圆的方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系等内容，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一. 4、 教学过程 1． 创设情境，引入新知 教师：一个台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为多长？ 这是生活中一个关于直线与圆位置关系的具体场景，像这种类似的场景生活中还有很多，那么我们是可以应用所学知识，解决生活中一些具体的问题的？ 回顾：在学习《两点间的距离公式》时，我们学会了会运用坐标法解决简单的平面几何问题，请回顾：用坐标法解决简单的平面几何问题的四个基本步骤： 学生：思考并回顾之前所学知识，马上得出答案 一建：建立适当的平面直角坐标系， 二表：用坐标或方程表示点、距离、直线、圆等有关几何要素 三算：进行有关代数运算 四翻译：把代数运算的结果“翻译”成几何结论 回顾：建立适当的平面直角坐标系的三大原则是什么？ 学生：思考并回顾之前所学知识，马上得出答案 原则一：让尽可能多的点落在坐标轴上 原则二：条件中有两条线垂直，一般的这两条线作为坐标轴 原则三：轴对称图形，对称轴一般作为坐标轴 教师：今天我们将再一次应用坐标法，解决生活中的一些简单实际问题，从而引入今天的课题内容. 2． 应用新知 例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要一根支柱支撑，求支柱的高度（精确到）． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 思考：如何在该图形中建立直角坐标系？ 学生：借助建立平面直角坐标系的原则，尝试着建立适合的坐标系： 以O为原点，线段AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系 追问：原点O是圆心吗？ 学生：根据题意思考得出答案：不是，圆心在y轴上，可令圆心坐标(0，b) 思考：建立平面直角坐标系，需要求那些量？所求是什么？ 学生：尝试着将生活中的问题，转变为数学问题，用数学符号和语言表示出已知条件和所求的量，从而结合题意得出结论： 需要求圆的方程，所求为点P2的纵坐标. 追问：根据题意，已知了哪些条件可以用于求圆的方程？点P2的横坐标是多少？ 学生：进一步思考，为解答该题奠定基础，并且回顾圆的方程的知识，得出答案： 已知圆上的两个点B、P的坐标，圆心在y轴上，可考虑待定系数法求圆的标准方程，点P2的横坐标是−2. 学生：结合以上思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：建立如图所示的直角坐标系，使线段所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上． 由题意，点，的坐标分别为，．设圆心坐标是，圆的半径是， 那么圆的方程是 ． 下面确定和的值． 因为，两点都在圆上，所以它们的坐标，都满足方程． 于是，得到方程组 ． 解得 ，． 所以，圆的方程是 ． 把点的横坐标代入圆的方程，得 ． 即（的纵坐标，平方根取正值）．所以 m． 答：支柱的高度约为3.86m． 思考：如果不用坐标法，用综合法，借助辅助线和直角三角形解该题，如何解答 追问：根据以上两种方法的解题过程，比较综合法和坐标法的特点 学生：体会以上两种解法，并分析比较综合法和坐标法的特点，比得出答案： 综合法中添加了辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理，并多次使用勾股定理进行计算，过程较复杂. 坐标法更具普适性，思维难度也低，对学生数学运算素养的提升意义深刻. 跟踪练习：2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为， 由勾股定理可得，又，即，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为， 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以(米)． 故答案为：． 例4：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 师生：共同分析，先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如右图， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：以小岛的中心为原点， 东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为． 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为 ． 轮船航线所在直线的方程为 ，即． 联立直线与圆的方程，得 消去，得 ． 由，可知方程组无解． 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？ 教师：提示借助向量工具求一些距离问题 师生：共同分析，前面我们学过向量，利用向量工具解决平面几何问题也很方便，我们考虑如何利用向量来解决这个问题，可以利用向量求出点O到直线AB的距离，然后与暗礁分布范围的半径比较大小即可判断，是否会触礁. 学生：结合以上分析与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备. 预设：以小岛的中心为原点， 东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为． 所以，，直线AB的一个法向量为， 所以，点O到直线AB的距离为： 所以轮船沿直线返港不会有触礁危险． 思考：比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？ 学生：体会向量法和坐标法的解题过程，并得出其中的异同点： 向量法解决几何问题的步骤，和坐标法很类似： 首先将点、线、面等几何要素用向量表示，其次对这些向量进行运算，最后后把向量运算的结果“翻译”成关于点、线、面的相应结果. 由于向量线性运算给向量表示几何要素带来的便利性，以及向量数量积运算在刻画长度与角度方面的强大功能，使得向量法在解决几何问题中发挥了巨大的作用，使许多问题的解决变得方便且简捷。 引入问题：一个台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为多长？ 学生：借助以上所学知识，解决引入的问题。 预设：以城市为圆心，为半径画圆，如图所示，所在直线为台风中心的移动轨迹，，，，过点作于点. 在中，由锐角三角函数，得， 在中，由勾股定理，得， 所以，因为台风中心的移动速度为， 所以B城市处于危险区内的时间为. 3． 能力提升 题型一：圆的中点弦问题 例题1 若点为圆的弦的中点，求直线的方程. 预设：将的圆心，则直线CM的斜率， 由垂径定理可得：直线与垂直， 故直线AB的斜率， 则直线的方程为，即. . 方法总结：已知弦的中点坐标，求弦所在直线的方程 第一步：先求圆的圆心坐标，和半径； 第二步：利用圆心坐标和弦的中点坐标求所在直线l的斜率 第三步：根据垂径定理，利用直线l与弦垂直，求得弦所在直线斜率 第四步：利用斜率和中点坐标，即可用点斜式写出直线方程 题型二：圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题2 已知圆，直线，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当时，求b的取值范围？ (2)当时，求b的取值范围？ (3)当时，求b的取值范围？ (4)当时，求b的取值范围？ 预设：（1）由题知圆的方程为,所以圆心为,半径为, 若圆上恰有1个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则，解得．解得或. （2）若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则，解得． 解得或. （3）因为圆上恰有3个点到直线的距离都等于1, 所以只需要圆心到直线的距离为即可, 所以圆心到直线的距离为:,解得 （4）因为圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1， 所以圆心到直线的距离小于1， 因此有. 方法总结: 直线与圆有公共点 （此时d≤r） 直线与圆无公共点 （此时d>r） 题型三：利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题 例题3 已知圆，过点的直线交圆于、两点，且，则直线的方程是______________. 预设：1°当直线的斜率不存在时，，联立，得或， 不妨设，，则，不符合题意； 2°当直线的斜率存在时，设直线， 联立，消去并整理得， ， 设，，则，， 则 ， 所以,解得，， 所以直线l的方程是. 方法总结：利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题的基本步骤 （1）设直线方程，设交点坐标为(x1,y1)、(x2,y2)；注意分斜率存在与不存在讨论 （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算Δ； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为x_1+x_2、x_1x_2（或y_1+y_2、y_1y_2）的形式； （5）代入韦达定理求解. 4． 课堂小结 5． 随堂限时小练 1．小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 【详解】设圆的半径为，则， 解得，，， 所以当水面上涨4米后， 桥在水面的跨度为米． 2．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：小岛到航线的距离为，解得. 故选：C 3．某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 【详解】以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为， ∵圆经过点，∴解得： ∴圆的方程是，令，得，故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低，船才能安全通过桥洞. 4．已知圆上有且仅有3个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 ． 【详解】因为圆上有且仅有3个点到直线的距离为1， 所以原点到直线 的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得， 故答案为：. 5．若为圆的弦的中点，则直线的方程是__________. 【详解】可整理为，所以圆心为， 根据垂径定理可得，， 所以，直线AB的方程为： 整理得： 6．已知圆，直线与圆交于点，，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程． 【详解】将的方程代入圆的方程，得． 设，，则，． 故， 依题意知，则，即，于是，即．或，经检验，满足． 故直线的方程为或． 6． 课后作业布置 作业1：完成教材：第95页 练习1,2,3 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系（第2课时）》 7． 课后作业答案 练习（第95页） 1．赵州桥的跨度是37.4 m， 圆拱高约为7. 2 m． 求这座圆拱桥的拱圆的方程． 解析：根据题意建立如图所示的直角坐标系．， ，则，，． 设所求圆的方程是． 于是有， 解此方程组，得，，． 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是． 2．某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m． 现有一船宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？ 解析：依题意，建立如图所示的直角坐标系．有，，，，，设圆拱桥的拱圆的方程是，于是有 ， 解得，，．所以这座圆拱桥的拱圆的方程是， 把点D的横坐标代入上式，得．因为船在水面以上高3m，，所以该船可以从桥下通过． 3．在一个平面上，机器人从与点的距离为9的地方绕点顺时针而行，在行进过程中保持与点的距离不变． 它在行进过程中到过点与的直线的最近距离和最远距离分别是多少？ 解析：机器人的运行轨迹是以点为圆心，半径的圆．过点与的直线方程为．所以圆心到直线的距离．因为，所以圆与直线相离．如图，过点作直线的垂线，垂足为． 直线与圆的交点，分别是机器人到直线的最近距离点和最远距离点．所以圆上点到直线的最近距离为，最远距离为．即机器人在行进过程中到直线的最近距离和最远距离分别为和． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$