2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

·选择性必修第一册· 第二章 直线与圆的方程 2.5.1直线与圆的 位置关系(第2课时) 1 2 3 学习目标 能正确理解直线与圆的方程，培养数学抽象的核心素养； 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.（重点、难点） 体会坐标法解决平面几何问题的“四步曲”，培养数学运算、逻辑推理的核心素养.（重点） 情景导入 01 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 创设背景，引入新知 这是生活中一个关于直线与圆位置关系的具体场景，像这种类似的场景生活中还有很多，那么我们是可以应用所学知识，解决生活中一些具体的问题的。 一个台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为多长？ 创设背景，引入新知 回顾 在学习《两点间的距离公式》时，我们学会了会运用坐标法解决简单的平面几何问题，请回顾： 用坐标法解决简单的平面几何问题的四个基本步骤： 第 1 步 一建：建立适当的平面直角坐标系， 第 3 步 三算：进行有关代数运算 第 4 步 四翻译：把代数运算的结果“翻译”成几何结论 第 2 步 二表：用坐标或方程表示点、距离、直线、圆等有关几何要素 创设背景，引入新知 回顾 建立适当的平面直角坐标系的三大原则是什么？ 原则一 让尽可能多的点落在坐标轴上 原则三 轴对称图形，对称轴一般作为坐标轴 原则二 条件中有两条线垂直，一般的这两条线作为坐标轴 今天我们将再一次应用坐标法，解决生活中的一些简单实际问题 02 直线与圆的 位置关系应用 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 应用新知 例3 思考： 如何建立平面直角坐标系？ 以O为原点，线段AB所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系 追问 原点O是圆心吗？ 不是，圆心在 y 轴上 可令圆心坐标 应用新知 追问 需要求圆的方程，所求为点P2的纵坐标. 建立平面直角坐标系，需要求那些量？所求是什么？ 追问 根据题意，已知了哪些条件可以用于求圆的方程？ 点的横坐标是多少？ 已知圆上的两个点B、P的坐标，圆心在y轴上， 可考虑待定系数法求圆的标准方程，点的横坐标是. 应用新知 例3 详解 应用新知 例3 详解 应用新知 例3 详解 探究新知 思考： 如果不用坐标法，用综合法，借助辅助线和直角三角形解该题，如何解答？ 探究新知 思考： 根据以上两种方法的解题过程，比较综合法和坐标法的特点 综合法 综合法中添加了辅助线，有一定的技巧，而且求解过程中利用了垂径定理，并多次使用勾股定理进行计算，过程较复杂 坐标法 坐标法更具普适性，思维难度也低，对学生数学运算素养的提升意义深刻. 应用新知 跟踪练习 详解 应用新知 跟踪练习 详解 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 分析 先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．如右图， 根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险． 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 详解 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 详解 所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险． 思考： 你还能用其他方法解决上述问题吗？ 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 分析 前面我们学过向量，利用向量工具解决平面几何问题也很方便，我们考虑如何利用向量来解决这个问题， 可以利用向量求出点O到直线AB的距离，然后与暗礁分布范围的半径比较大小即可判断，是否会触礁. 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 详解 应用新知 例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 详解 所以轮船沿直线返港不会有触礁危险． 探究新知 思考： 比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？ 向量法解决几何问题的步骤，和坐标法很类似： 首先将点、线、面等几何要素用向量表示，其次对这些向量进行运算，最后后把向量运算的结果“翻译”成关于点、线、面的相应结果. 由于向量线性运算给向量表示几何要素带来的便利性，以及向量数量积运算在刻画长度与角度方面的强大功能，使得向量法在解决几何问题中发挥了巨大的作用，使许多问题的解决变得方便且简捷。 应用新知 一个台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为多长？ 详解 03 能力提升 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 能力提升 题型一 圆的中点弦问题 例题1 详解 应用新知 方法总结 第 1 步 先求圆的圆心坐标，和半径 第 2 步 利用圆心坐标和弦的中点坐标求所在直线l的斜率 第 3 步 根据垂径定理，利用直线l与弦垂直，求得弦所在直线斜率 第 4 步 利用斜率和中点坐标，即可用点斜式写出直线方程 已知弦的中点坐标，求弦所在直线的方程 能力提升 题型二 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题2 详解 能力提升 题型二 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题2 详解 能力提升 题型二 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题2 详解 能力提升 题型二 圆上的点到直线距离为定值的个数问题 例题2 详解 应用新知 方法总结 直线与圆有公共点 直线与圆没有公共点 能力提升 题型三 利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题 例题3 详解 能力提升 题型三 利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题 例题3 详解 能力提升 题型三 利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题 例题3 详解 能力提升 题型三 利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题 例题3 详解 应用新知 方法总结 利用韦达定理法解决直线与曲线相交问题的基本步骤 (1)设直线方程，设交点坐标为；注意分斜率存在与不存在讨论 (2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，必要时计算Δ； (3)列出韦达定理； (4)将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； (5)代入韦达定理求解. 04 课堂小结及 限时小练 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 课堂小结 随堂限时小练 解： 随堂限时小练 解： 随堂限时小练 解： 随堂限时小练 解： 随堂限时小练 解： 随堂限时小练 解： 随堂限时小练 解： 作业布置 作业1：完成教材：第95页 练习1,2,3. 作业2：配套辅导资料对应的《直线与圆的位置关系(第2课时)》 05 作业布置与 课后练习答案 2.5.1直线与圆的位置关系(第2课时) 课后作业答案 练习（第95页） 1. 赵州桥的跨度是37.4 m,圆拱高约为7.2 m，求这座圆拱桥的拱圆的方程. P 课后作业答案 练习（第95页） 1. 赵州桥的跨度是37.4 m,圆拱高约为7.2 m，求这座圆拱桥的拱圆的方程. A B P C x y 课后作业答案 练习（第95页） 2.某圆拱桥的水面跨度是20 m,拱高4 m,现有一船，宽10 m,水面以上高3 m,这条船能否从桥下通过? 课后作业答案 练习（第95页） A B H O C F E y x 课后作业答案 练习（第95页） A B H O C F E y x 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 若点 为圆 的弦 的中点，求直线 的方程. 的圆心 ，则直线CM的斜率 ， 由垂径定理可得：直线 与 垂直， 故直线AB的斜率 ， 则直线 的方程为 ，即 . 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (1)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 若圆上恰有1个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线 的距离 满足 ， 则 ，解得 ．解得 或 . 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (2)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线 的距离 满足 ， 则 ，解得 ． 解得 或 . 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (3)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 因为圆 上恰有3个点到直线 的距离都等于1, 所以只需要圆心到直线 的距离为 即可, 所以圆心到直线的距离为: ,解得 已知圆 ，直线 ，设圆上恰有n个点到直线的距离等于1． (1)当 时，求b的取值范围？ (2)当 时，求b的取值范围？ (3)当 时，求b的取值范围？ (4)当 时，求b的取值范围？ (4)由题知圆的方程为 ,所以圆心为 ,半径为 , 因为圆 上恰有4个点到直线l的距离都等于1， 所以圆心到直线 的距离小于1， 因此有 . 已知圆 ，过点 的直线 交圆 于 、 两点，且 ，则直线 的方程是______________. 1°当直线 的斜率不存在时， ，联立 ， 得 或 ，不妨设 ， ， 则 ，不符合题意； 已知圆 ，过点 的直线 交圆 于 、 两点，且 ，则直线 的方程是______________. 2°当直线 的斜率存在时，设直线 ， 联立 ，消去 并整理得 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 已知圆 ，过点 的直线 交圆 于 、 两点，且 ，则直线 的方程是______________. 设 ， ，则 ， ， 则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 已知圆 ，过点 的直线 交圆 于 、 两点，且 ，则直线 的方程是______________. 所以 , 解得 ， ， 所以直线l的方程是 . 小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米． 当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 设圆的半径为 ，则 ， 解得 ， 所以当水面上涨4米后， 桥在水面的跨度为 米． 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西 处，港 口位于小岛中心正北 处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险， 则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 小岛到航线的距离为 ，解得 . 故选：C 某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以 上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载， 降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞． (结果精确到0.01 m) 以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系， 如图所示，设圆拱所在圆的方程为 ， ∵圆经过点 ， ∴ 解得： 某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以 上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载， 降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞． (结果精确到0.01 m) ∴圆的方程是 ， 令 ，得 ， 故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低 ，船才能安全通过桥洞. 已知圆 上有且仅有3个点到直线 的距离为1， 则实数 的取值范围是 ． 因为圆 上有且仅有3个点到直线 的距离为1， 所以原点到直线 的距离为 ， 由点到直线的距离公式可得 ，解得 ， 故答案为： . 5．若 为圆 的弦 的中点，则直线 的方程是_____. 可整理为 ，所以圆心为 ， 根据垂径定理可得 ， ， 所以 ，直线AB的方程为： 整理得： 6．已知圆 ，直线 与圆 交于点 ， ，且以线段 为直径的圆经过坐标原点，求直线 的方程． 将 的方程 代入圆 的方程，得 ． 设 ，则 ， ． 故 ， 依题意知 ，则 ，即 ， 于是 ，即 ． 或 ，经检验，满足 ． 故直线 的方程为 或 ． $$