3.1.1 函数的概念 （第1课时）（导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

3.1.1 函数的概念（第1课时） 导学案 1、 重点难点 重点：函数的概念，函数的三要素。 难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。 2、 学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域． 3、 导入新知 学习新知 请同学们阅读课本75页《阅读与思考》(大约3分钟)，大家通过阅读函数概念的发展历程可以发现：函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的．也就是说函数并不是很神秘、很可怕的东西，它只是一个名称，它就在我们身边，比如路程随时间的变化而变化；一天中温度随时间的变化而变化；“夸父一号”在发射过程中，上升的高度随时间的变化而变化，可以说这种变量关系无处不在，而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美． 一、函数的概念 问题1　阅读课本本节的问题1和问题2，并思考它们有什么异同点？ 问题2　请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4，它们分别是函数吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别． 问题3　通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和共同点吗？ 先分析以下问题． 问题1 某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程（单位：km）与运行时间（单位：h）的关系可以表示为． 这里，和是两个变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，所以是的函数． 思考 有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进350km．”你认为这个说法正确吗？ 下面用更精确的语言表示问题1中与的对应关系． 列车行进的路程与运行时间的对应关系是 ． ① 其中，的变化范围是数集，的变化范围是数集．对于数集中的任一时刻，按照对应关系①，在数集中都有唯一确定的路程和它对应． 问题2 某电气维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该这样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ 问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数（AQI）的值I？你认为这里的I是t的函数吗？ 从图3.1-1中的曲线可知，的变化范围是数集，AQI的值都在数集 中．对于数集中的任一时刻，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的AQI的值与之对应．因此，这里的是的函数． 你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗？ 问题4 国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高． 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高． 表3.1-1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r（%） 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57 你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ 这里，y的取值范围是数集；根据恩格尔系数的定义可知，的取值范围是数集．对于数集中的任意一个年份，根据表3.1-1所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应．所以，是的函数． 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系． 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数， 按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应， 那么就称为从集合到集合的一个函数（function），记作． 函数符号是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域（domain）；与的值相对应的值叫做函数值， 函数值的集合叫做函数的值域（range）． 显然，值域是集合的子集．在问题1与问题2中，值域就是和；在问题3中，值域是数集的真子集；在问题4中，值域 ，是数集的真子集． 我们所熟悉的一次函数的定义域是，值域也是．对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数． 二次函数的定义域是，值域是．当时，；当时，．对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数 ． 思考 反比例函数的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数． 知识梳理 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 4、 应用新知 例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等． 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述． 【变式1】试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝(x∈{x|x>0})来描述． 跟踪训练1　构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝2来描述． 探究 构建其他可用解析式描述其中变量关系的问题情境． 5、 能力提升 题型一：函数的概念 【练习1】 (多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 【跟踪练习1】已知集合,则下列函数中是从到的为（ ） A. B.:开平方 C. D. 题型二：函数的三要素 【练习2】 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为 __________________，值域为________． 跟踪练习：若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1,0,1}，则函数的值域为________． 题型三：函数的定义域 【练习3】求函数的定义域; 题型四：构建问题情境 【练习4】已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系． 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)函数的概念． (2)函数的三要素． (3)构建问题情境． 2．方法归纳：定义法、图象法． 3．常见误区：函数概念的理解． 7、 作业设计 课本P63的练习1，2，3； 练习（第63页） 1．一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹据地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为 ． ① 求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数定义描述 2．2016 年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示． （1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域； （2）根据图象，求这一天12时所对应的温度． 3．集合与对应关系如下图所示： 是否为从集合到集合的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？ 4． 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 函数的概念（第1课时） 导学案 1、 重点难点 重点：函数的概念，函数的三要素。 难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。 2、 学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域． 3、 导入新知 学习新知 请同学们阅读课本75页《阅读与思考》(大约3分钟)，大家通过阅读函数概念的发展历程可以发现：函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的．也就是说函数并不是很神秘、很可怕的东西，它只是一个名称，它就在我们身边，比如路程随时间的变化而变化；一天中温度随时间的变化而变化；“夸父一号”在发射过程中，上升的高度随时间的变化而变化，可以说这种变量关系无处不在，而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美． 一、函数的概念 问题1　阅读课本本节的问题1和问题2，并思考它们有什么异同点？ 它们有相同的解析式，也就是对应关系．但它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同． 问题2　请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4，它们分别是函数吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别． 　是函数．由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象． 问题3　通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和共同点吗？ 　不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系．共同点：①都包含两个非空数集，分别用A，B来表示；②都有一个对应关系；③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． 反思感悟　判断一个对应关系是否为函数的方法 (1)根据函数的概念判断 (2)根据图形判断 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 先分析以下问题． 问题1 某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程（单位：km）与运行时间（单位：h）的关系可以表示为． 这里，和是两个变量，而且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，所以是的函数． 思考 有人说：“根据对应关系，这趟列车加速到350 km/h后，运行1 h就前进350km．”你认为这个说法正确吗？ 根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到的变化范围． 下面用更精确的语言表示问题1中与的对应关系． 列车行进的路程与运行时间的对应关系是 ． ① 其中，的变化范围是数集，的变化范围是数集．对于数集中的任一时刻，按照对应关系①，在数集中都有唯一确定的路程和它对应． 问题2 某电气维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该这样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ 显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是 ． ② 其中，的变化范围是数集，的变化范围是数集 ，对于数集中的任何一个工作天数，按照对应关系②，在数集中都有唯一确定的工资与它对应． 问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数（AQI）的值I？你认为这里的I是t的函数吗？ 从图3.1-1中的曲线可知，的变化范围是数集，AQI的值都在数集 中．对于数集中的任一时刻，按照图3.1-1中曲线所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的AQI的值与之对应．因此，这里的是的函数． 你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗？ 问题4 国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高． 表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高． 表3.1-1 我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r（%） 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57 你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ 这里，y的取值范围是数集；根据恩格尔系数的定义可知，的取值范围是数集．对于数集中的任意一个年份，根据表3.1-1所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应．所以，是的函数． 归纳 上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 上述问题的共同特征有： （1）都包含两个非空数集，用A，B表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． 事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系． 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数， 按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应， 那么就称为从集合到集合的一个函数（function），记作． 函数符号是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的．其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域（domain）；与的值相对应的值叫做函数值， 函数值的集合叫做函数的值域（range）． 显然，值域是集合的子集．在问题1与问题2中，值域就是和；在问题3中，值域是数集的真子集；在问题4中，值域 ，是数集的真子集． 我们所熟悉的一次函数的定义域是，值域也是．对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数． 二次函数的定义域是，值域是．当时，；当时，．对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数 ． 思考 反比例函数的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数定义描述这个函数． 知识梳理 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y值的集合{f(x)|x∈A} 注意点： (1)A，B是非空的实数集． (2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集． (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性． (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系． (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数． 4、 应用新知 例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等． 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述． 解：把看成二次函数，那么它的定义域是，值域是．对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数． 如果对的取值范围作出限制，例如，那么可以构建如下情境： 长方形的周长为20，设一边长为，面积为，那么． 其中，的取值范围是，的取值范围是．对应关系把每一个长方形的边长，对应到唯一确定的面积． 【变式1】试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝(x∈{x|x>0})来描述． 解　直角三角形的面积为5，设一条直角边长为x，另一条直角边长为y，那么y＝.其中，x的取值范围是A＝{x|x>0}，y的取值范围是B＝{y|y>0}．对应关系f把每一个直角三角形的一条直角边长x，对应到唯一确定的另一条直角边长. 跟踪训练1　构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式y＝2来描述． 解　某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍，设投资额为x，利润为y，那么y＝2.其中x的取值范围A＝{x|x≥0}，y的取值范围B＝{y|y≥0}，对应关系f把每一笔投资额x，对应到唯一确定的利润2. 探究 构建其他可用解析式描述其中变量关系的问题情境． 5、 能力提升 题型一：函数的概念 【练习1】 (多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 【答案】　AD 【解析】按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义． 反思感悟　判断一个对应关系是否为函数的方法 (1)根据函数的概念判断 (2)根据图形判断 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 【跟踪练习1】已知集合,则下列函数中是从到的为（ ） A. B.:开平方 C. D. 【答案】C 【解析】对选项,对于集合中的数0,在集合中没有数与它对应,所以此对应不是从到的函数;对选项,对于集合中的数1,因为1的平方根为,所以在集合中有两个数与它对应,因此此对应不是从到的函数;对选项,符合函数概念;对选项,对于集合中的数0,在集合中没有数与它对应,所以此对应不是从到的函数.综上选C. 注意点 函数是从非空实数集到非空实数集的特殊对应,需满足“任意”与“唯一”两个条件,“任意”是指集合中无“剩余元素”,“唯一”是指“一对一”或“多对一”而不能“一对多”,注意集合B允许有剩余元素. 题型二：函数的三要素 【练习2】 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为 __________________，值域为________． 【答案】　{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，{y|－4≤y≤3} 【解析】　根据y＝f(x)的函数图象可看出，f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}， 值域为{y|－4≤y≤3}． 跟踪练习：若已知函数f(x)＝x2，x∈{－1,0,1}，则函数的值域为________． 【答案】　{0,1} 【解析】　由x∈{－1,0,1}，代入f(x)＝x2，解得f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1，根据集合的互异性，函数的值域为{0,1}． 反思感悟　关于函数的三要素 (1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． (2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． (3)函数的对应关系f反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值y. 题型三：函数的定义域 【练习3】求函数的定义域; 【分析】思路先列出使函数式有意义的不等式组,再解不等式组. 【解析】要使函数式有意义,必须即 因此函数的定义域为且. 解题方法（求函数定义域的注意事项） (1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R; (2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合; (3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 题型四：构建问题情境 【练习4】已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系． 解　(1)设矩形的一边长为x，另一边长为f(x)， 那么f(x)＝. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的另一边长. (2)设矩形的一边长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的周长2x＋. (3)设矩形的一边长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)＝. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥2}，对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的对角线长. 反思感悟　构建问题情境的步骤 (1)综合考虑构建具体的实际问题． (2)赋予每个变量具体的实际意义． (3)根据变量关系，设计出所求的实际问题． 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)函数的概念． (2)函数的三要素． (3)构建问题情境． 2．方法归纳：定义法、图象法． 3．常见误区：函数概念的理解． 7、 作业设计 课本P63的练习1，2，3； 练习（第63页） 1．一枚炮弹发射后，经过26 s落到地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹据地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为 ． ① 求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数定义描述 【详解】定义域为，值域为， 对于数集中的任一个数t， 在数集中都有唯一确定的数与之对应. 【点睛】本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题. 2．2016 年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示． （1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域； （2）根据图象，求这一天12时所对应的温度． 【详解】（1）由图可知，设从今日8点起24小时内，经过时间t的温度为， 则定义域为，值域为. （2）由图知，11时的温度为，14时的温度为， 12时的温度约为. 【点睛】本题考查函数图象与性质，通过函数图象确定函数定义域、值域、特殊点函数值，属于基础题. 3．集合与对应关系如下图所示： 是否为从集合到集合的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？ 【详解】由图知，A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数与之对应， 所以是从A到B的函数. 定义域是，值域. 【点睛】本题考查函数的定义，意在考查学生对于基础概念的理解，属于基础题. 4． 构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述． 【详解】设面积为x的正方形的边长为y，则， 定义域为，值域为. 【点睛】本题考查函数解析式的应用，通过解析式来构建问题情境，考查逆向思维和对函数概念的灵活运用，属于基础题. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$