3.1.1 函数的概念（第1课时） （教学课件）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第 3 章 函数的概念与性质 人教A版2019必修第一册 3.1.1 函数的概念(第1课时) 目录 CATALOG 01.函数的概念 03.题型强化训练 02.函数的三要素 04.小结及随堂练习 学习目标 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域． 章导语 天宫二号离发射点的距离与时间的关系； 蓄水池使用时水面高度与使用时间的关系； 高铁票价与路程的关系； 炮弹的射高与时间的关系； 受台风影响的面积与半径的关系； …… 变量间的对应关系 把握研究对象的运动变化规律 函数模型 已学的函数模型： 01 函数的概念 函数的概念(第1课时) 回顾与思考 1.初中学习的函数概念是什么？ 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 如：正方形的周长l与边长x的关系式是 l=4x， 对于每一个确定的x，都有唯一的l与之对应，∴l是x的函数. 变量间的依赖关系 集合与对应关系 导入新知 剖析实例 抽象函数概念 问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速 运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运 行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t. 思考1.1：有人说“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,每运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗? t 和S是两个变量，且对于 t 的每一个确定的值，S 都有唯一确定的值与之对应，故S是 t 的函数。 此说法错误。理由：没有注意 t 的变化范围。根据问题1的条件,不能判断列车以350km/h运行半小时后的情况. 导入新知 剖析实例 类比归纳 问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速 运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运 行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t. 思考1.2：如何用更精确的语言来描述列车行进路程S与运行时间 t 的关系？ t 和S是两个变量，且对于 t 的每一个确定的值，S 都有唯一确定的值与之对应，故S是 t 的函数。 对于数集A1中的任一时刻 t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应． S与 t 的关系是：S=350t ① 其中，t 的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}， S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}. 认识新知 问题2：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么： （1）你认为该怎样确定一个工人的每周所得？一个工人的工资W是他工作天数的d 的函数吗？ 显然，工资W一周工作天数d的函数，其对应关系是：W=350d ② d的变化范围是数集A2={1，2，3，4，5，6}， W的变化范围是数集B2={350，700，1050，1400，1750，2100}， 对于数集A2中的任一个工作天数d，按照对应关系②，在数集B2中都有唯一确定的工资W与它对应. 认识新知 问题1和2中函数的对应关系相同（对应关系以解析式给出），你认为它们是同一函数吗？为什么？ 不是同一个函数，因为自变量的取值范围不同. S=350t， t∈{t|0≤t≤0.5}； W=350d，d∈{1,2,3,4,5,6}. 认识新知 问题3： 下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图. 思考3.1：如何根据该图确定这一天内任一时刻 t h的空气质量指数的值 I ? 思考3.2：你能根据该图找到中午8时的 AQI的值吗? 思考3.3：你认为这里的 I 是 t 的函数吗？ t=8时,I=50 对于数集A3=____________的任一时刻 t，按照图中曲线给定的对应关系， 在数集B3=____________中都有唯一确定的AQI的值和它对应． {I |0<I<150} {t |0≤t≤24} 故 I 是 t 的函数. 认识新知 问题4：国际上常用恩格尔系数r( )反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高. 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57 思考5：你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数? 对于数集A4=____________________的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=__________中都有唯一确定的恩格尔系数r和它对应． {y∈Z|2006≤y≤2015} {r|0<r≤1} 故 r 是 y 的函数. 探究新知 归纳：上述问题1至问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数的本质特征吗？ 【共同特征】 (1)都包含两个非空数集用A,B来表示; (2)都有一个对应关系; (3)尽管对应关系的表示方法不同，但他们都有如下的特征：对于数集A中的任意，一个数x，按照对应关系在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在的集合 函数值的集合 问题1 A1={t|0≤t≤0.5} S=350t B1={S|0≤S≤150} B1 问题2 A2={1,2,3,4,5,6} W=350d B2={350，700，1050，1400，1750，2100} B2 问题3 A3={t|0≤t≤24} 图1 B3={I|0<I<150} C3(C3⊑B3) 问题4 A4={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015} 表1 B4={r|0<r≤1} C4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.35150.3353,0.33870.2989,0.29350.2857} 函数的三要素 函数的概念(第1课时) 02 学习新知 函数的概念 记作：y＝f(x)，x∈A． 函数的概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 显然，值域是集合B的子集． 可见，构成函数的要素为：定义域，对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． 学习新知 函数三要素 对函数概念的五点说明： (1)对数集的要求：集合A，B为非空数集； (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性； （允许一对一或者多对一，不能一对多） (3)符号“f ”：它表示对应关系，在不同的函数中f 的具体含义不一样； (4)一个区别：f (x)是一个符号，不表示f 与x的乘积， 而f (a)表示函数f (x)当自变量x取a时的一个函数值； (5)函数三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，三者缺一不可． 学习新知 如果让你用函数的定义重新认识一次函数，二次函数与反比例函数，那么你会怎样表述这些函数？ 一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域是R,值域也是R,对应关系 f 把R中的任意一个数x，对应到R中唯一确定的数ax+b． 二次函数 的定义域是R,记值域为B， 当a>0时，值域 ;当a<0时，值域为 ． 对应关系 f 把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数 ． 反比例函数 的定义域是 ,记值域为 ． 总结新知 函数的概念 设A、B为非空实数集，若对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则称 f :A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： y=f (x), x∈A. 概念 自变量 函数值 定义域 值域 含义 x f (x) 性质 存在性 唯一性 表示 描述法,列举法,区间 一对一/多对一 值域是集合B的子集 使函数有意义的自变量的取值集合 函数值的取值集合 任意性 x,t,v,u等 f(x),g(x),h(x), F(x),G(x)等 非空数集A 非空数集{f(x)|x∈A} 总结新知 函数的概念 (4)“ y=f (x), x∈A”的理解： f (x)=x2+3x+1, x∈[0,4] 符号 x∈A y=f(x) f f(x) f(a) 含义 函数的定义域为A 函数符号,表示x在对应关系f的作用下可得对应的函数值y 对应法则，表示对x实施“对应”操作的方式 函数值y，或函数y=f (x)的简记 当x=a时函数f(x)的取值 备注 见函数先看定义域 不能理解为 “y等于f 乘x” 可为解析式、图象、表格、Venn图等 ƒ(x)=2x+1 g(x)=x3 f(a)是f(x)的一个特殊值,是一个相对确定的数. 应用新知 【例1】 y=kx s=vt m=ρV l=2πr 应用新知 应用新知 实际问题 函数模型 抽象 还原 总结新知 常见函数定义域与值域 一次函数f(x)＝2x+3的定义域是R,值域也是R, 对应关系f 把R中的任意一个数x,对应到R中唯一确定的数2x+3． 二次函数h(x)＝3x2+1的定义域是R,值域是[1,+∞), 对应关系h把R中的任意一个数x,对应到[1,+∞)中唯一确定的数3x2+1． 反比例函数 的定义域是{x|x≠0}, 值域是{y|y≠0} 03 题型强化训练 函数的概念(第1课时) 能力提升 题型一：函数的概念 能力提升 (1)根据函数的概念判断 (2)根据图形判断 ①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． 判断一个对应关系是否为函数的方法 能力提升 题型二：函数的三要素 关于函数的三要素： (1)函数的定义域即集合A，在坐标系中是横坐标x的取值范围． (2)函数的值域并不是集合B，是函数值的集合{f(x)|x∈A}，在坐标系中是纵坐标的取值范围． (3)函数的对应关系 f 反映了自变量x的运算、对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数值 y. 能力提升 题型三：函数的定义域 能力提升 求函数定义域的注意事项 (1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R; (2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合; (3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 能力提升 题型四：构建问题情境 能力提升 题型四：构建问题情境 能力提升 题型四：构建问题情境 能力提升 题型四：构建问题情境 构建问题情境的步骤： (1)综合考虑构建具体的实际问题． (2)赋予每个变量具体的实际意义． (3)根据变量关系，设计出所求的实际问题． 04 小结及随堂练习 函数的概念(第1课时) 课堂小结 函数的发展历程 Eluer(欧拉)1748 一个变量的函数是由这个变量和一些数以任何方式组成的解析式。 解析式定义 Cauchy(柯西) 在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。 变量间的依赖关系 Dirichlet (狄利克雷) 只须有一个法则存在，以使得这个函数取值范围中的每一个值，都只有一个确定的值和它对应。 集合和对应的观点 函数：清代数学家李善兰、翻译《代数学》时把“function”译为“函数”. “凡式中含天,为天之函数” 天、地、人、物表示4个不同的未知数或变量。 即:凡式中含有变量x,则该式叫做x的函数” 课堂小结 函数的概念 求函数定义域的注意事项 函数的概念 函数的三要素 函数是从非空实数集到非空实数集的特殊对应 课堂小结 1.函数概念：设A，B为非空实数集，如果对于A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f，在B中都有唯一确定的数y和它对应，则称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作：y＝f(x)，x∈A． ①“f (x)”可以表示函数值，也可以表示函数. f (3)=1 f (x)=x+1 ② 函数的三要素：定义域，对应关系，值域. 若两个函数的_______________________相同，则它们为同一个函数. 定义域，对应关系，值域 【引例】已知 f(x)=x2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________ 已知 g(t)=t2+1, x∈[2,+∞)，则值域必为________ [5,+∞) [5,+∞) ③值域由定义域、对应关系唯一确定. 课堂小结 (1)对数集的要求：集合A，B为非空数集； (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性； （允许一对一或者多对一，不能一对多） (3)符号“f ”：它表示对应关系，在不同的函数中f 的具体含义不一样； (4)一个区别：f (x)是一个符号，不表示f 与x的乘积， 而f (a)表示函数f (x)当自变量x取a时的一个函数值； (5)函数三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，三者缺一不可． 对函数概念的五点说明： 作业 (1)课本P67的练习； (2)课本P72的习题3.1的1,2,3题. 函数的概念(第1课时) 教材P63练习及参考答案 教材P63练习及参考答案 2．2016 年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示． (1)求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域； (2)根据图象，求这一天12时所对应的温度． 教材P63练习及参考答案 教材P63练习及参考答案 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】 (多选)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 【答案】AD 【解析】按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义． 【答案】{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，{y|－4≤y≤3} 【解析】根据y＝f(x)的函数图象可看出， f(x)的定义域为{x|－2≤x≤4或5≤x≤8}，值域为{y|－4≤y≤3}． 【练习2】已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该 函数的定义域为_____________，值域为________． 【练习3】求函数的定义域; 【分析】思路先列出使函数式有意义的不等式组,再解不等式组. 【解析】要使函数式有意义,必须即 因此函数的定义域为且. 【练习4】已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述 下列变量关系． 解　(1)设矩形的一边长为x，另一边长为f(x)，那么f(x)＝. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的另一边长. 【练习4】已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述 下列变量关系． 解　(2)设矩形的一边长为x，周长为f(x)，那么f(x)＝2x＋. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)>0}，对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的周长2x＋. 【练习4】已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述 下列变量关系． 解　(3)设矩形的一边长为x，对角线长为f(x)，那么f(x)＝. 其中x的取值范围A＝{x|x>0}，f(x)的取值范围B＝{f(x)|f(x)≥2}， 对应关系f把每一个矩形的一边长x，对应到唯一确定的对角线长. 【练习4】已知矩形的面积为10，如图所示，试借助该图形构建问题情境描述 下列变量关系． $$