2.3 二次函数与一元二次方程不等式（第2课时）（导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.3 二次函数与一元二次方程不等式（第2课时）导学案 1、 学习目标 1. 熟练掌握分式不等式的解法； 2. 理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系； 3.构建一元二次函数模型，解决实际问题． 2、 重点难点 重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用． 3、 导入新知 同学们，数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，在2022年成功改造成冬奥会历史上体量最大的冰壶场馆“冰立方”．如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左、右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩形ABCD之间空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！ 4、 应用新知 利用一元二次不等式可以解决一些实际问题，下面看两个例子． 例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系： ． 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 【变式】某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式． (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：m）和汽车刹车前的车速（单位：km/h）之间有如下关系： ． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1 km/h）？ 【变式】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 5、 能力提升 题型一：简单方式不等式的解法 【练习1】 　解下列不等式： (1)≥0； (2)<3. 题型二：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 【练习2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 题型三：一元二次不等式的实际应用 【练习3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 题型四：一元二次不等式恒成立问题 【练习4】(1). 如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________． (2).已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 跟踪练习：已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)简单的分式不等式的解法． (2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用． (3)一元二次不等式的实际应用． 2．方法归纳：转化法、恒等变形法． 3．常见误区： (1)解分式不等式要等价变形． (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． 7、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P54的练习1~3题； (3)课本P55的习题2.3的5~6题. 附教材P54练习 练习（第54页） 1． 是什么实数时，有意义？ 2．如图，在长为8 m，宽为6 m的矩形底面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一般，那么花卉带的宽应为多少米？ 3．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ 习题2.3 复习巩固 6. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）. 7. 是什么实数时，下列各式有意义？ （1）； （2）. 综合运用 8. 已知，，求，. 9. 一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系满足关系，其中． 10. 已知集合，，求. 拓广探索 11. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？ 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 二次函数与一元二次方程不等式（第2课时）导学案 1、 学习目标 1. 熟练掌握分式不等式的解法； 2. 理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系； 3.构建一元二次函数模型，解决实际问题． 2、 重点难点 重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用． 3、 导入新知 同学们，数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，在2022年成功改造成冬奥会历史上体量最大的冰壶场馆“冰立方”．如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左、右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩形ABCD之间空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！ 4、 应用新知 利用一元二次不等式可以解决一些实际问题，下面看两个例子． 例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系： ． 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车，根据题意，得 ． 移项整理，得 ． 对于方程，，方程有两个实数根，． 画出二次函数的图象（图2.3-6），结合图象得不等式的解集为，从而原不等式的解集为． 因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益． 【变式】某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式． (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 当且仅当即 解不等式组，得0＜x＜． 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为． 解题方法（一元二次不等式实际应用问题） （1）根据题意列出相应的一元二次函数； （2）由题意列出相应一元二次不等式； （3）求出解集； （4）结合实际情况写出最终结果. 例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：m）和汽车刹车前的车速（单位：km/h）之间有如下关系： ． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1 km/h）？ 解：根据题意，得．移项整理，得． 对于方程，，方程有两个实数根，． 画出二次函数的图象（图2.3-7），结合图象得不等式的解集为，或，从而原不等式的解集为，或． 因为车速，所以．而，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h． 【变式】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 【解析】由题意可得s＝－2x＋x2≥22.5， 化简得x2－36x－405≥0，解得x≥45或x≤－9， 又∵x≥0，∴x≥45. ∴这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h. 类似地，第2.1节的不等式①经移项整理，得．用上述方法解这个不等式，得．所以，当每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元． 5、 能力提升 题型一：简单方式不等式的解法 【练习1】 　解下列不等式： (1)≥0； (2)<3. 【解析】 　(1)不等式≥0可转化成不等式组 解得x≤－1或x>3. 即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3可改写为－3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 反思感悟　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解． 题型二：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 【练习2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 解　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}， ∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2. 由根与系数的关系得解得 代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.解得x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. 反思感悟　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 题型三：一元二次不等式的实际应用 【练习3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)． 依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0， 解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2. 即x的取值范围为{x|0<x≤2}． 反思感悟　解不等式应用题的步骤 题型四：一元二次不等式恒成立问题 【练习4】(1). 如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________． (2).已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【解析】 （1）由韦达定理得，，代入不等式， 得，，消去得，解该不等式得， 因此，不等式的解集为，故答案为：. （2）当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，若不等式对任意恒成立， 则，解得； 当时，不等式不能对任意恒成立。 综上，的取值范围是. 跟踪练习：已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】 A 【解析】当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，若不等式对任意恒成立， 则，解得； 当时，不等式不能对任意恒成立。 综上，的取值范围是. 解题方法（一元二次不等式恒成立问题） 1、恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方，从而确定的取值范围，进而求参数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零） 2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)简单的分式不等式的解法． (2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用． (3)一元二次不等式的实际应用． 2．方法归纳：转化法、恒等变形法． 3．常见误区： (1)解分式不等式要等价变形． (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． 7、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P54的练习1~3题； (3)课本P55的习题2.3的5~6题. 附教材P54练习及参考答案 练习（第54页） 1． 是什么实数时，有意义？ 【解析】由知,解得或. 因此,当或时,有意义. 2．如图，在长为8 m，宽为6 m的矩形底面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一般，那么花卉带的宽应为多少米？ 【解析】设花卉带的宽度应为,则, 即,化简得而 答:花卉带的宽度应大于等于1m,且小于3m. 3．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ 【解析】设这批削笔器的销售价格定为元/个 由题意得,即 ∵方程的两个实数根为, 解集为又 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 习题2.3 复习巩固 6. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】（1）原不等式等价于，即， 所以原不等式的解集是； （2）原不等式的解集是； （3）原不等式等价于，所以原不等式的解集是或； （4）原不等式等价于，，则原不等式的解集是. 7. 是什么实数时，下列各式有意义？ （1）； （2）. 【解析】（1）要使有意义，需. 恒成立，所以不等式的解集为， 因此，时，有意义； （2）要使有意义，需，即，. 因此时，有意义. 综合运用 8. 已知，，求，. 【解析】或， 或. 因此，或，或. 9. 一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系满足关系，其中． 【解析】由已知得，化简得：，设方程的两个根为，则， 所以，所以最多停留. 10. 已知集合，，求. 【解析】， 或， 画数轴如图，可知. 拓广探索 11. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？ 【解析】如图所示： 设风暴中心最初在A处，经th后到达B处，向x轴作垂线，垂足为C，若在点B处受到风暴的影响，则OB=450，， 因为，所以， 即，解得，，又， 所以从码头现在起大约小时后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约15个小时. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$