2.3 二次函数与一元二次方程不等式（第2课时）（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

2.3 二次函数与一元二次方程不等式（第2课时）教学设计 1、 教学目标 课程目标 1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。 2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题． 3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。 数学学科素养 1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系； 2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题； 3.数学运算：解一元二次不等式； 4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题； 5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。 2、 重点难点 重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集; 难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用． 3、 学情分析&教材分析 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。 4、 学习目标 1. 熟练掌握分式不等式的解法； 2. 理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系； 3.构建一元二次函数模型，解决实际问题． 5、 导入新知 同学们，数学是和生活联系非常紧密的学科，我们学习数学，也是为了解决生活中的问题，比如：“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑之一，在2022年成功改造成冬奥会历史上体量最大的冰壶场馆“冰立方”．如图为水立方平面设计图，已知水立方地下部分为钢筋混凝土结构，该结构是大小相同的左、右两个矩形框架，两框架面积之和为18 000 m2，现地上部分要建在矩形ABCD上，已知两框架与矩形ABCD之间空白的宽度为10 m，两框架之间的中缝空白宽度为5 m，请问作为设计师的你，应怎样设计矩形ABCD，才能使水立方占地面积最小？要解决这个问题，还得需要我们刚学习过的基本不等式哦，让我们开始今天的探究之旅吧！ 6、 应用新知 利用一元二次不等式可以解决一些实际问题，下面看两个例子． 例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系： ． 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车，根据题意，得 ． 移项整理，得 ． 对于方程，，方程有两个实数根，． 画出二次函数的图象（图2.3-6），结合图象得不等式的解集为，从而原不等式的解集为． 因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益． 【变式】某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式． (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0＜x＜1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 当且仅当即 解不等式组，得0＜x＜． 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为． 解题方法（一元二次不等式实际应用问题） （1）根据题意列出相应的一元二次函数； （2）由题意列出相应一元二次不等式； （3）求出解集； （4）结合实际情况写出最终结果. 例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：m）和汽车刹车前的车速（单位：km/h）之间有如下关系： ． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到1 km/h）？ 解：根据题意，得．移项整理，得． 对于方程，，方程有两个实数根，． 画出二次函数的图象（图2.3-7），结合图象得不等式的解集为，或，从而原不等式的解集为，或． 因为车速，所以．而，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h． 【变式】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 【解析】由题意可得s＝－2x＋x2≥22.5， 化简得x2－36x－405≥0，解得x≥45或x≤－9， 又∵x≥0，∴x≥45. ∴这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h. 类似地，第2.1节的不等式①经移项整理，得．用上述方法解这个不等式，得．所以，当每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元． 7、 能力提升 题型一：简单方式不等式的解法 【练习1】 　解下列不等式： (1)≥0； (2)<3. 【解析】 　(1)不等式≥0可转化成不等式组 解得x≤－1或x>3. 即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}． (2)不等式<3可改写为－3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 反思感悟　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解． 题型二：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 【练习2】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 解　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}， ∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2. 由根与系数的关系得解得 代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.解得x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. 反思感悟　已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号． (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 题型三：一元二次不等式的实际应用 【练习3】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点． (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围． 解　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)． (2)原计划税收为200a×10%＝20a(万元)． 依题意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， 化简得x2＋40x－84≤0， 解得－42≤x≤2. 又因为0<x<10，所以0<x≤2. 即x的取值范围为{x|0<x≤2}． 反思感悟　解不等式应用题的步骤 题型四：一元二次不等式恒成立问题 【练习4】(1). 如果方程的两根为和3且，那么不等式的解集为____________． (2).已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【解析】 （1）由韦达定理得，，代入不等式， 得，，消去得，解该不等式得， 因此，不等式的解集为，故答案为：. （2）当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，若不等式对任意恒成立， 则，解得； 当时，不等式不能对任意恒成立。 综上，的取值范围是. 跟踪练习：已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】 A 【解析】当时，不等式为恒成立，符合题意； 当时，若不等式对任意恒成立， 则，解得； 当时，不等式不能对任意恒成立。 综上，的取值范围是. 解题方法（一元二次不等式恒成立问题） 1、恒大于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴下方，从而确定的取值范围，进而求参数. （若二次项系数带参数，考虑参数等于零、不等于零） 2、解决恒成立问题，一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 8、 课堂总结 1．知识清单： (1)简单的分式不等式的解法． (2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用． (3)一元二次不等式的实际应用． 2．方法归纳：转化法、恒等变形法． 3．常见误区： (1)解分式不等式要等价变形． (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义． 【设计意图】 9、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P54的练习1~3题； (3)课本P55的习题2.3的5~6题. 附教材P54练习及参考答案 练习（第54页） 1． 是什么实数时，有意义？ 【解析】由知,解得或. 因此,当或时,有意义. 2．如图，在长为8 m，宽为6 m的矩形底面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一般，那么花卉带的宽应为多少米？ 【解析】设花卉带的宽度应为,则, 即,化简得而 答:花卉带的宽度应大于等于1m,且小于3m. 3．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？ 【解析】设这批削笔器的销售价格定为元/个 由题意得,即 ∵方程的两个实数根为, 解集为又 故应将这批削笔器的销售价格制定在每个15元到20元之间(包括15元但不包括20元),才能使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入. 习题2.3 复习巩固 6. 求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】（1）原不等式等价于，即， 所以原不等式的解集是； （2）原不等式的解集是； （3）原不等式等价于，所以原不等式的解集是或； （4）原不等式等价于，，则原不等式的解集是. 7. 是什么实数时，下列各式有意义？ （1）； （2）. 【解析】（1）要使有意义，需. 恒成立，所以不等式的解集为， 因此，时，有意义； （2）要使有意义，需，即，. 因此时，有意义. 综合运用 8. 已知，，求，. 【解析】或， 或. 因此，或，或. 9. 一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系满足关系，其中． 【解析】由已知得，化简得：，设方程的两个根为，则， 所以，所以最多停留. 10. 已知集合，，求. 【解析】， 或， 画数轴如图，可知. 拓广探索 11. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？ 【解析】如图所示： 设风暴中心最初在A处，经th后到达B处，向x轴作垂线，垂足为C，若在点B处受到风暴的影响，则OB=450，， 因为，所以， 即，解得，，又， 所以从码头现在起大约小时后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约15个小时. 10、 板书设计 二次函数与一元二次方程 不等式（第2课时） 1.基本不等式 2.证明：分析法 3.几何解释 ……………… 例4…… 例4 希沃白板 PPT展示区 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$