专题09运用特殊方法因式分解（三种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

专题09运用特殊方法因式分解（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01十字相乘法 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·河南鹤壁·阶段练习）计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25八年级上·安徽·假期作业）若，则 ． 【例1-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各式因式分解： (1) (2)． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·山东威海·期末）代数式因式分解的结果的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·河南濮阳·期末）如图，分解多项式，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．这样，我们可以得到．利用这种方法，把多项式分解因式为 ． 【变式1-3】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1) (2) 题型02分组分解法 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式： ． 【例2-3】（2024八年级上·全国·专题练习）运用添项法分解因式： (1)； (2)． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）因式分解 ． 【变式2-3】（23-24八年级上·四川眉山·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4)； 题型03换元法 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）阅读并解决问题：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1) ； (2) ． 【例3-2】（21-22八年级上·陕西西安·期末）阅读并解决问题： 材料1：在因式分解中，有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成． 例如：． 材料2：分解因式：． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． (1)运用上述方法分解因式：①___________，②___________； (2)请用“换元法”进行因式分解：． 【例3-3】（23-24八年级上·福建福州·期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小胡同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果 ； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【变式演练】 【变式3-1】（21-22八年级上·湖北十堰·期末）下面是某同学对多项式(x2－4x+2)(x2－4x+6)+4进行因式分解的过程．回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)以上方法叫做“换元法”，请你模仿以上方法对(x2－2x)(x2－2x+2)+1进行因式分解． 【变式3-2】（22-23八年级上·北京西城·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 【变式3-3】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)请根据材料A，解答问题：若，，求的值； (2)请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． (3)综合运用： 若实数x满足，求的值． 一、单选题 1．（22-23八年级上·福建泉州·期中）因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·四川南充·期末）下列因式分解最后结果正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 6．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）分解因式： ． 7．（23-24八年级上·重庆璧山·期末）因式分解的结果是 ． 8．（23-24八年级上·山东临沂·期末）人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式： ． 三、解答题 9．（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）因式分解： (1) (2)． 10．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 11．（22-23八年级上·山东威海·期中）将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) 12．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 13．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则：原式．再将“m”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设，则：原式． 问题： (1)以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解； (3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算： ． 14．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）先阅读下面的材料，再完成后面的任务． 材料一 材料二 如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 例 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程： 设，原式 (1)填空：因式分解_______； (2)因式分解（写出详细步骤）：； (3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09运用特殊方法因式分解（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01十字相乘法 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·河南鹤壁·阶段练习）计算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故选B． 【例1-2】（24-25八年级上·安徽·假期作业）若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数是解题关键．可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：，得出即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【例1-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）把下列各式因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）提取公因式即可求解； （2）利用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·山东威海·期末）代数式因式分解的结果的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，运用十字相乘法进行因式分解即可解答． 【详解】． 故选：A 【变式1-2】（23-24八年级上·河南濮阳·期末）如图，分解多项式，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．这样，我们可以得到．利用这种方法，把多项式分解因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知、是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出、的值，是解题关键．据此求解即可． 【详解】因为，， 所以． 故答案为： 【变式1-3】（23-24八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，十字相乘法，掌握是解题的关键． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可； （2）用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：原式，          ； （2）解：原式． 题型02分组分解法 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）把多项式分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分组分解法分解因式，提公因式法分解因式，先分组，再提取公因式即可. 【详解】解： ； 故选A 【例2-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分组分解因式，公式法分解因式，把原式化为，再进一步分解因式即可. 【详解】解： ； 故答案为： 【例2-3】（2024八年级上·全国·专题练习）运用添项法分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了添项法分解因式，熟练掌握公式法是解此题的关键． （1）将式子变形为，再利用公式法进行分解即可； （2）将式子变形为，再利用公式法进行分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）把分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是先分组，再利用提公因式与平方差公式分解因式，把原式分为两组，再提取公因式，结合平方差公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故选D 【变式2-2】（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）因式分解 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，先提取公因式，再用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】解： 【变式2-3】（23-24八年级上·四川眉山·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式； （2）先用平方差公式，再利用完全平方公式分解因式； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式； （4）先将原式分组，再利用平方差公式分解因式． 本题主要考查了分解因式．分解因式时，首先观察是否有公因式，如果有公因式，则先提公因式，然后再利用公式法分解因式．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型03换元法 【典例分析】 【例3-1】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）阅读并解决问题：分解因式． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．请用“换元法”对下列多项式进行因式分解： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了换元法、公式法进行因式分解，多项式乘多项式．熟练掌握换元法、公式法进行因式分解是解题的关键． （1）利用换元法、公式法进行因式分解即可； （2）先换元，然后多项式乘多项式，最后利用公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， 设，则原式， ∴； （2）解：， 设，则原式 ； ∴ 【例3-2】（21-22八年级上·陕西西安·期末）阅读并解决问题： 材料1：在因式分解中，有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成． 例如：． 材料2：分解因式：． 解：设，则原式． 这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决． (1)运用上述方法分解因式：①___________，②___________； (2)请用“换元法”进行因式分解：． 【答案】(1)①，②． (2) 【分析】（1）由题意直接进行因式分解即可； （2）设，把原多项式换元后因式分解，再代入还元； 【详解】（1）①，②； 故答案为：①，②． （2）设， 则原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解的完全平方公式和换元法．看懂和理解题例是解决本题的关键． 【例3-3】（23-24八年级上·福建福州·期中）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小胡同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步）     （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小胡同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小胡同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果 ； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）根据利用完全平方公式分解因式即可得； （2）括号里面可以再次用完全平方公式进行因式分解； （3）设，利用换元法和完全平方公式分解因式即可得． 【详解】（1）解：， 则第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法， 故选：C． （2）解：原式 ， 故答案为：； （3）解：设， 则原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解——换元法和完全平方公式法，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 【变式演练】 【变式3-1】（21-22八年级上·湖北十堰·期末）下面是某同学对多项式(x2－4x+2)(x2－4x+6)+4进行因式分解的过程．回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ； (2)该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ． (3)以上方法叫做“换元法”，请你模仿以上方法对(x2－2x)(x2－2x+2)+1进行因式分解． 【答案】(1)完全平方公式（或完全平方公式法或公式法） (2)不彻底；(x-2)4 (3)(x﹣1)4 【分析】（1）根据分解时所用公式判断； （2）用完全平方差公式继续分解； （3）先换元，再用公式分解． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式（或完全平方公式法或公式法）． 故答案为：完全平方公式（或完全平方公式法或公式法）． （2）∵x2－4x+4=（x-2)2 ， ∴该同学因式分解的结果不彻底，最后结果为（x-2)4 ． 故答案为：不彻底；(x-2)4 ． （3）解：设x2－2x=y，则 (x2－2x)(x2－2x+2)+1 =y(y+2)+1 =y2+2y+1 =(y+1)2 =( x2-2x+1)2 =(x﹣1)4 【点睛】本题考查因式分解，整体代换后用公式是求解本题的关键 【变式3-2】（22-23八年级上·北京西城·期中）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法” 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程 解：设①，将①带入原式后， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的______方法； (2)老师说，小涵因式分解的结果不彻底，请你通过计算得出该因式分解的最后结果； (3)请你用“换元法”对多项式进行因式分解 【答案】(1)提取公因式 (2) (3) 【分析】（1）根据因式分解的方法判断即可； （2）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，将因式分解成即可； （3）用换元法设，代入多项式，然后仿照题干的换元法解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：从到运用了因式分解中的提取公因式法 故答案为：提取公因式 （2）解：由题意得： （3）解：设，将代入中得： 原式 【点睛】本题考查了因式分解的方法和运用，解题关键是灵活运用换元法对较为复杂的多项式进行因式分解，达到去繁化简的效果 【变式3-3】（23-24七年级下·山东菏泽·期末）阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)请根据材料A，解答问题：若，，求的值； (2)请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． (3)综合运用： 若实数x满足，求的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握利用完全平方公式分解因式和换元法分解因式． （1）根据已知条件，利用完全平方公式求出即可； （2）①设，把含有的多项式换元成含有的多项式，然后利用完全平方公式分解因式即可； ②把当作一个整体，利用完全平方公式分解因式即可； （3）设，，先求出，，根据已知条件求出，然后利用，求出即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）①设， 原式 ， 故答案为：； ②； （3）设，， ， 实数满足， ， ， ， ， ， ， 一、单选题 1．（22-23八年级上·福建泉州·期中）因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：原式 ； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）应用分组分解法分解因式时，对于的分组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，根据完全平方公式的特点即可得到答案．把原式化为，从而可得答案. 【详解】解：， 故选B． 3．（22-23八年级上·四川南充·期末）下列因式分解最后结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义及分解方法，逐个判断得结论．本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法和十字相乘法是解决本题的关键． 【详解】解：，故选项A分解不正确； ，故选项B分解正确； 由于仍能因式分解，即 故选项C分解不正确； ，故选项D分解不正确． 故选：B． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 二、填空题 5．（23-24八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先分组然后提公因式法因式分解，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（23-24八年级上·重庆璧山·期末）因式分解的结果是 ． 【答案】 【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握进行因式分解是解题的关键． 【详解】， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·山东临沂·期末）人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到．请用“十字相乘法”分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 先分解二次项系数，分解常数项，再交叉相乘，求代数和对上一次项系数，最后写出结果，据此求解． 【详解】解：二次项系数分解为，常数项分解为，交叉相乘，求代数和为，等于一次项系数（如图）． ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因数4，再利用平方差公式分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（23-24八年级上·山东滨州·期末）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ， 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，巧妙的运用分组分解因式解答问题． （1）可先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式因式分解； （2）的公因式是，再次提公因式后代入数值计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴， ∴ 11．（22-23八年级上·山东威海·期中）将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解： （1）先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可； （3）利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 13．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则：原式．再将“m”还原为“”即可． 解题过程如下： 解：设，则：原式． 问题： (1)以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ； (2)请你模仿以上方法，将多项式进行因式分解； (3)换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查公式法分解因式； （1）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （2）根据材料，用换元法进行分解因式； （3）设，再将y代入即可求解． 【详解】（1）设 则：原式 ， 故答案为：； （2）设 原式= ； （3）设 ∴原式 ． 14．（23-24八年级上·湖北恩施·期末）先阅读下面的材料，再完成后面的任务． 材料一 材料二 如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 例 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程： 设，原式 (1)填空：因式分解_______； (2)因式分解（写出详细步骤）：； (3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形；理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用； （1）根据材料1，分组分解即可求解； （2）根据材料2，利用换元法，设，进而因式分解即可求解； （3）根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： 设，则原式 （3）解：是等边三角形，理由如下； ∵ ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴是等边三角形 1 学科网（北京）股份有限公司 $$