江西省赣州立德虔州高级中学2023-2024学年高三下学期第一次月考数学试卷

立德高中2023-2024学年第二学期高三第一次月考 数学试卷 3.28-29 命题人：刘明春 审题人：蓝师平 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列为等差数列，，则的公差为（    ） A．2 B．6 C．1 D．14 2．在等比数列中， ， ，则的值为（　　） A． B．0 C． D．1 3．记等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．64 B．80 C．96 D．120 4．已知等比数列的公比，则（    ） A． B．5 C．10 D．20 5.已知等比数列满足，则（    ） A．16 B． C． D．8 6．设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 7．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，9，14，20，27，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 10.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．直线与平面的夹角正切值为 D． 3、 填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 在等差数列中，，则 . 13.已知数列的首项，且满足，则 .. 14．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，上位于第一象限的点满足，若直线的斜率为，则的离心率为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分13分） 在等比数列中. (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求； (2)若an＝625，n＝4，q＝5，求； (3)若a4＝2，a7＝8，求an. 16.（本题满分15分） 已知在等差数列中，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 17.（本题满分15分） 已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18.（本题满分17分） 已知数列满足，． (1)证明：对任意的成立． (2)记，求数列的前项和． (3)证明：． 19.（本题满分17分） 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化推动绿色发展的战略举措．随着国务院《新能源汽车产业发展规划（2021—2035）》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力．国产某品牌汽车对市场进行调研，统计了该品牌新能源汽车在某城市年前几个月的销售量（单位：辆），用表示第月份该市汽车的销售量，得到如下统计表格： 1 2 3 4 5 6 7 28 32 37 45 47 52 60 (1)经研究，、满足线性相关关系，求关于的线性回归方程，并根据此方程预测该店月份的成交量（、按四舍五入精确到整数）； (2)该市某店为感谢客户，决定针对该品牌的汽车成交客户开展抽奖活动，设“一等奖”、“二等奖”和“祝您平安”三种奖项，“一等奖”奖励千元；“二等奖”奖励千元；“祝您平安”奖励纪念品一份．在一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为，获得一份纪念品的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额（千元）的分布列及数学期望． 参考数据及公式：，， 立德高中2023-2024学年第二学期高二第一次月考 数学答案及解析 1．B 【分析】利用等差数列的通项公式的变形即可得解. 【详解】根据题意，因为等差数列中，， 所以公差. 故选：B． 2．C 【分析】 利用等比数列的通项公式求解. 【详解】∵为等比数列， ∴公比， ∴， ∴， 故选：C . 3．C 【分析】设出公差，得到方程组，求出首项和公差，利用求和公式得到答案. 【详解】设公差为， 则，解得， 故. 故选：C 4．C 【分析】利用等比数列的通项公式即可得解. 【详解】因为是等比数列，且， 所以. 故选：C. 5.B 6．C 【分析】 结合抛物线的定义得到关于的方程，解出即可. 【详解】抛物线，则焦点，准线， 最小时，即最小，根据抛物线的定义，， 所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时， 最小，且最小值为，解得. 故选：C. 7．C 【分析】根据概念，先写出等差数列的前几项，得到通项公式，再求数列的第8项. 【详解】由题意，数列的前几项为：，且数列为等差数列，所以：，故. 故选：C 8．B 【分析】根据等差数列的定义和通项公式进行求解即可. 【详解】由， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， 即， 所以有，显然当时，， 因此中最小的一项是， 故选：B 9.AC 10．ABD 【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可. 【详解】因为数列满足，， 所以 ， 所以， 所以AB正确，C错误， 因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而， 所以，所以D正确， 故选：ABD 11．BC 【分析】 对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可. 【详解】对于A：因为， 所以， 则，A错误； 对于B：因为，为线段中点， 所以， 又面面，面面，面， 所以面，又面， 所以，B正确； 对于C：因为面， 所以面， 所以为直线与平面的夹角， 又，C正确； 对于D： ， 又， 所以，D错误. 故选：BC. 12．9 【分析】根据等差数列的性质可得的值. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：9 13. 14． 【分析】求出点的坐标，由可得出关于、的齐次等式，变形可得出关于的方程，解之即可. 【详解】将代入椭圆的方程可得，可得， 因为上位于第一象限的点满足，则，    又因为，即，即，即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得. 故答案为：. 15．(1)405 (2)5 (3)an＝ 【分析】考查等比数列的通项公式，利用通项公式进行计算即可. 【详解】（1）易知，，故. （2）由. （3）.所以. 16．(1)； (2)时取得最大值为. 【分析】（1）根据已知及等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）写出等差数列前n项和，应用其二次函数性质求最大值和对应n. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 故， 所以. （2）由，且， 所以， 故时取得最大，最大值为. 18．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】 （1）将条件变形，可得构造数列为常数数列，据此可求出数列的通项公式，根据其为等差数列可得结论； （2）利用等比数列求和公式计算即可； （3）利用裂项相消法可求和并证明不等式. 【详解】（1）由得， 即， 即， 故数列为常数数列， 所以， 整理得，即数列为等差数列， 所以； （2）由（1）得， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （3）由（1）， 所以 因为， 所以. 19．(1)，预测该店月份的成交量为辆 (2)分布列见解析， 【分析】（1）计算出、的值，可求出，利用最小二乘法求出、的值，可得出回归直线方程，再将代入回归方程即可得出店月份的成交量的预测值； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）解：由题意可得，， ， ，， 故线性回归方程为， 当时，，故预计月份的成交量为辆． （2）解：由题意可得，获得“一等奖”的概率为， 的所有可能取值为、、、、、， ，， ，， ，， 故的分布列为： 故 学科网（北京）股份有限公司 $$