清单02 实数（考点清单，22个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北京版）

清单02 实数（22个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【清单02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【清单03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【清单04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点题型一】求一个数的平方根 【例1】的平方根是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】5的平方根是（    ） A．25 B． C． D． 【考点题型二】平方根的性质 【例2】下列各数中没有平方根的是（    ） A．0 B． C． D． 【变式2-1】若一个正数的平方根为和，则x的值为 ． 【变式2-2】已知两个不相等的实数满足：，，则的值为 ． 【考点题型三】已知一个数的平方根求这个数 【例3】一个正数的x的平方根是与，求a和x的值． 【变式3-1】若一个正数的平方根为和，则这个正数是 ． 【考点题型四】利用平方根解方程 【例4】求出下列x的值： (1)； (2)． 【变式4-1】解方程： (1) (2) 【考点题型五】平方根应用 【例5】有一块面积为400平方厘米的正方形纸片． (1)该正方形纸片的边长为______； (2)小明想沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗？ 【变式5-1】已知一个正数的两个平方根是与． (1)求a的值； (2)求关于x的方程的解． 【考点题型六】求一个数的算数平方根 【例6】64的算术平方根是（    ） A．±8 B．8 C．±4 D．4 【变式6-1】的算术平方根是（ ） A．2 B． C． D． 【变式6-2】的算术平方根等于（ ） A．4 B． C．2 D． 【考点题型七】算术平方根值的非负性 【例7】若a，b为实数，且，则（    ） A．1 B． C． D．2025 【变式7-1】若，则 ． 【变式7-2】一直角三角形两边长为a，b，且满足，则其第三边长为 ． 【考点题型八】算数平方根被开方数的非负性 【例8】已知：，则 ． 【变式8-1】已知为实数，且，则的平方根为 ． 【变式8-2】如果，则的值为 ． 【考点题型九】估计算术平方根的取值范围 【例9】若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ． 【变式9-1】估计的值在（ ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式9-2】估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【考点题型十】算数平方根的应用 【例10】如图，在长方形内有两个相邻的正方形，，正方形的面积为2，正方形的面积为4，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B．2 C． D． 【变式10-1】如图，将边长分别为3和6的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近的整数为 ． 【考点题型十一】求一个数的立方根 【例11】计算：的结果等于 ． 【变式11-1】实数与互为倒数，则a的值是 ． 【考点题型十二】已知一个数的立方求这个数 【例12】若，则的值为 ． 【变式12-1】解方程 【变式12-2】若的立方根是，则的平方根是 ． 【考点题型十三】立方根的实际应用 【例13】某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 【变式13-1】将一个体积为的立方体木块锯成个同样大小的小立方体木块，则每个小立方体木块的表面积 ． 【考点题型十四】算数平方根与立方根的计算 【例14】计算： 【变式14-1】计算：． 【变式14-2】已知的算术平方根是3，，求的立方根． 【变式14-3】已知的算术平方根是3，的立方根是3，求的平方根． 【变式14-4】已知的平方根是，的立方根是4． (1)求m、n的值． (2)求的算术平方根． 【考点题型十五】无理数的概念 【例15】在下列各数、、、、、、中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式15-1】下列实数中的无理数是（    ） A． B． C． D．0 【变式15-2】下列实数，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式15-3】在实数，，，，中，无理数是 ． 【考点题型十六】无理数的整数、小数部分 【例16】已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ． 【变式16-1】若的整数部分为a，的小数部分为b，则 ； ． 【变式16-2】已知的小数部分是，的小数部分是，则 ． 【变式16-3】若的整数部分是a，小数部分是b，则a－b＝ ． 【考点题型十七】实数的概念 【例17】下列说法错误的是 （ 　　） A．有理数和无理数统称为实数 B．没有最小的实数 C．没有绝对值最小的实数 D．是无理数 【变式17-1】下列各数：① 3.141  ②  ③ ④ π  ⑤ ⑥ ⑦ 0 ⑧ 0.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1） 其中有理数是 ；无理数是 （填序号） 【考点题型十八】实数的性质 【例18】化简的结果是 ． 【变式18-1】的相反数是 ； 的倒数是 【变式18-2】点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是 ．    【考点题型十九】实数与数轴 【例19】如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【变式19-1】的相反数是 ；的绝对值是 ． 【考点题型二十】实数大小比较 【例20】比较大小：3 ．（填、或） 【变式20-1】比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 【变式20-2】比较大小： ， 1．（填“”或“”） 【考点题型二十一】实数运算 【例21】计算：． 【变式21-1】计算 (1) (2) (3) (4) 【考点题型二十二】实数运算与新定义 【例22】定义表示不少于实数的最小整数，例如：．给出下列结论： ①； ②若，则； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式22-1】定义“[  ]”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数．例如：，． （1）请计算： ， ； （2）若和满足方程，则当时，请直接写出的取值范围： ； （3）在平面直角坐标系中，如果坐标为的点都在第一象限，且满足，则所有符合条件的点所构成图形面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 实数（22个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单01】平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 3.平方根的性质 4.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【清单02】无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2） 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【清单03】立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 3.立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 4.立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【清单04】实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应 3.实数运算 （1）注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。 （2）运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 【考点题型一】求一个数的平方根 【例1】的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴的平方根是． 故选：B． 【变式1-1】5的平方根是（    ） A．25 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的定义，关键在于牢记定义，注意平方根与算术平方根的区别．根据平方根定义求出即可． 【详解】解：5的平方根是， 故选：C． 【考点题型二】平方根的性质 【例2】下列各数中没有平方根的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的性质内容进行作答即可． 【详解】解：A、0的平方根是0，故该选项是不符合题意的； B、，所以没有平方根，故该选项是符合题意的； C、，所以有平方根，故该选项是不符合题意的； D、，所以有平方根，故该选项是不符合题意的； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根的性质；平方根的性质：①一个正数的平方根有两个，且互为相反数；②0的平方根为0；③负数没有平方根． 【变式2-1】若一个正数的平方根为和，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，一个正数的平方根由两个，且二者互为相反数，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根为和， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式2-2】已知两个不相等的实数满足：，，则的值为 ． 【答案】0 【分析】由题意可得x、y是a的两个不相等的平方根，根据平方根的性质可得x+y=0即可解答 【详解】解：∵两个不相等的实数满足：， ∴x、y是a的两个不相等的平方根 ∴x+y=0 ∴=0． 故答案为0． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质，掌握一个数的两个不相等的平方根的和为0成为解答本题的关键． 【考点题型三】已知一个数的平方根求这个数 【例3】一个正数的x的平方根是与，求a和x的值． 【答案】 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的2个平方根互为相反数，得到，求出的值，进而求出x的值即可． 【详解】∵一个正数的x的平方根是与， ∴， 解得：， ∴． 【变式3-1】若一个正数的平方根为和，则这个正数是 ． 【答案】49 【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．根据正数的两个平方根互为相反数列出关于x的方程，解之可得． 【详解】解：根据题意知， 解得：， ∴， ∴这个正数是， 故答案为：49． 【考点题型四】利用平方根解方程 【例4】求出下列x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根、立方根的应用： （1）先移项，再利用平方根解方程； （2）先移项，再利用立方根解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式4-1】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：， ， ， ． 【考点题型五】平方根应用 【例5】有一块面积为400平方厘米的正方形纸片． (1)该正方形纸片的边长为______； (2)小明想沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗？ 【答案】(1) (2)裁不出来，理由见解析 【分析】本题考查了平方根的定义，算数平方方根的定义的实际应用； （1）由正方形的面积，利用算术平方根，即可求解； （2）设长为，宽为，可求出长方形的长，再与正方形的边长比较，即可求解； 理解定义：“()的平方根为，算术平方根为． ” 是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ()， 故答案：； （2）解：不能裁出来，理由如下 设长为，宽为，由题意得 ， 整理得：， 解得：，(舍去)， 长方形的长为， ， 裁不出来． 【变式5-1】已知一个正数的两个平方根是与． (1)求a的值； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根的性质； （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数列式求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴， 解得：． （2）解：当时，，即， 解得：． 【考点题型六】求一个数的算数平方根 【例6】64的算术平方根是（    ） A．±8 B．8 C．±4 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根必须是非负数成为解题的关键． 直接根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：64的算术平方根是． 故选B． 【变式6-1】的算术平方根是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握并深刻理解算术平方根的定义是解题的关键．先求得的值，再继续求它的算术平方根即可得出答案． 【详解】解：， 而的算术平方根是， 的算术平方根是， 故选：C． 【变式6-2】的算术平方根等于（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题考查了求一个数的算术平方根，计算，由此解答即可，正确掌握算术平方根的定义：一个正数的平方等于a，则这个数是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：． 【考点题型七】算术平方根值的非负性 【例7】若a，b为实数，且，则（    ） A．1 B． C． D．2025 【答案】B 【分析】此题主要考查了非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，是解题关键． 根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式7-1】若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，先根据算术平方根和偶次方的非负性求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式7-2】一直角三角形两边长为a，b，且满足，则其第三边长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查的是勾股定理、非负数的性质．根据非负数的性质求出、，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当，是两直角边， ， ，， 解得，，， 当a，b都是直角边时，由勾股定理得，斜边， 当为斜边时，第三边， 故答案为：或1． 【考点题型八】算数平方根被开方数的非负性 【例8】已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，结合已知条件求得的值是解题的关键． 根据算术平方根的非负性确定的值，再将其代入中计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得：， 则， 故答案为：． 【变式8-1】已知为实数，且，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键 先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，根据平方根的定义即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， ， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 【变式8-2】如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，求代数式的值，根据算术平方根的非负性求得的值是解题的关键． 【考点题型九】估计算术平方根的取值范围 【例9】若已知是一个无理数，且，请写出一个满足条件的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查无理数的概念，根据算术平方根的性质先确定的取值范围即可解．解题的关键是掌握无理数的概念：无限不循环小数． 【详解】解：∵是一个无理数，且， ∴， ∴可以取． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式9-1】估计的值在（ ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数，算术平方根，是解题的关键． 根据，得到，即可估算的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，即． 故选：A． 【变式9-2】估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的大小，再利用不等式的基本性质解答． 【详解】解：，， ， ， ， 故选C． 【考点题型十】算数平方根的应用 【例10】如图，在长方形内有两个相邻的正方形，，正方形的面积为2，正方形的面积为4，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的应用．根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为2和4， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 【变式10-1】如图，将边长分别为3和6的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面积相等的正方形，则该正方形的边长最接近的整数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用、无理数的估算，先求出正方形的边长为，估算出即可得出答案，正确得出正方形的边长是解此题的关键． 【详解】解：由题意得，拼成的正方形的面积等于原长方形的面积，即， 正方形的边长为， ， ，即， ，, ∴ 该正方形的边长最接近的整数为， 故答案为：． 【考点题型十一】求一个数的立方根 【例11】计算：的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是熟练掌握立方根定义，根据立方根定义求出结果即可． 【详解】解：， 故答案为：﹣3． 【变式11-1】实数与互为倒数，则a的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了倒数，立方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根是解题关键．先求出的立方根，再求出它的倒数，然后根据立方根的定义，即可求出a的值． 【详解】解：， 的倒数为， 与互为倒数， ， ， 故答案为：． 【考点题型十二】已知一个数的立方求这个数 【例12】若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求立方根的方法解方程，根据结合求立方根的方法即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式12-1】解方程 【答案】 【分析】利用立方根解方程即可． 【详解】解： 解得：． 【点睛】本题考查利用立方根解方程．熟练掌握立方根的定义，是解题的关键． 【变式12-2】若的立方根是，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根、算术平方根的定义，求得的值是解题的关键．先依据立方根的定义得到，从而可求得的值，然后可求得值，最后求其平方根即可． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， 解得， ∴， 则的平方根是， 故答案为． 【考点题型十三】立方根的实际应用 【例13】某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 【答案】 【分析】根据题意列出算式进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：正方体贮水池的棱长为： （分米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，求一个数的立方根，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【变式13-1】将一个体积为的立方体木块锯成个同样大小的小立方体木块，则每个小立方体木块的表面积 ． 【答案】 【分析】根据题意求得每个小正方体的体积，继而求得小正方体的棱长为，即可求解． 【详解】解：每个小正方体的体积为： ∴小正方体的棱长为 ∴每个小立方体木块的表面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了立方根的应用，求得小正方体的棱长为是解题的关键． 【考点题型十四】算数平方根与立方根的计算 【例14】计算： 【答案】5 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别换算得出答案． 【详解】解：原式＝4﹣3+4＝5． 【点睛】本题考查了实数的运算，属于基础题，关键掌握实数的运算法则． 【变式14-1】计算：． 【答案】9 【分析】先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根，正确计算是解题的关键． 【变式14-2】已知的算术平方根是3，，求的立方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，根据的算术平方根是3，，先求出，，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【变式14-3】已知的算术平方根是3，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，算术平方根，熟练掌握上述定义与性质是解题的关键． 利用立方根，算术平方根的意义求得x，y的值，再代入运算即可． 【详解】的算术平方根是3， ， ， 的立方根是3， ， 把的值代入解得：， 把，的值代入得：． 的平方根是． 【变式14-3】已知的平方根是，的立方根是4． (1)求m、n的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)的算术平方根为6． 【分析】（1）根据立方根与平方根的意义求出、的值； （2）求出，再根据算术平方根的定义求出结果． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）解：由（1）可知： ， ∴的算术平方根为6． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根与平方根，正确理解相应的定义是解题的关键． 【考点题型十五】无理数的概念 【例15】在下列各数、、、、、、中，无理数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：在、、、、、、中， 、、是无理数，共3个； 故选：C． 【变式15-1】下列实数中的无理数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】直接根据无理数的定义解答即可． 【详解】解：A、是无理数，故选项A符合题意；     B、是无限循环小数，是有理数，故选项B不符合题意； C、是分数，属于有理数，故选项C不符合题意；     D、0属于有理数，故选项D不符合题意， 故选：A 【点睛】本题考查了无理数的定义，熟记无限不循环小数是无理数是解题的关键． 【变式15-2】下列实数，，（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可作出判断． 【详解】是分数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 无理数有，(相邻两个1之间依次多一个0)， ，，共4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如，，(每两个8之间依次多1个0)等形式． 【变式14-3】在实数，，，，中，无理数是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了无理数．根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：， ∴无理数是，． 故答案为：， 【考点题型十六】无理数的整数、小数部分 【例16】已知，且为两个连续整数，则 ．的小数部分是 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了无理数的估算、无理数的小数部分等知识点，正确估算成为解题的关键． 先利用估算以及已知条件可得，进而确定以及的小数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴的小数部分是． 故答案为：9，． 【变式16-1】若的整数部分为a，的小数部分为b，则 ； ． 【答案】 4 【分析】先估算在哪两个整数之间，进而求出的整数部分和的小数部分，再代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分是4，即， ∵， ∴， ∴， ∴的小数部分是，即， ∴， 故答案是4，． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，绝对值的性质，掌握算术平方根的意义，正确估算无理数的取值范围是解题的关键． 【变式16-2】已知的小数部分是，的小数部分是，则 ． 【答案】1 【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， 的小数部分是，的小数部分是， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，正确得出的值是解题的关键． 【变式16-3】若的整数部分是a，小数部分是b，则a－b＝ ． 【答案】/ 【分析】先估算 的大小，再求出a、b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值，是解题的关键． 【考点题型十七】实数的概念 【例17】下列说法错误的是 （ 　　） A．有理数和无理数统称为实数 B．没有最小的实数 C．没有绝对值最小的实数 D．是无理数 【答案】C 【详解】解：根据有理数、实数、无理数的基本概念可得A、B、D正确，而绝对值最小的实数是0，故选C． 【变式17-1】下列各数：① 3.141  ②  ③ ④ π  ⑤ ⑥ ⑦ 0 ⑧ 0.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1） 其中有理数是 ；无理数是 （填序号） 【答案】 ①②⑤⑥⑦ ③④⑧． 【分析】由于无理数是无限不循环小数，有理数都可以化为小数，一切有理数都可以用分数来表示；首先需要对每一个实数的值进行计算，再根据无理数、有理数的定义进行判断即可求解． 【详解】①3.141 ②③④π⑤⑥⑦0 ⑧0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）， 其中有理数是3.141，，,，0； 无理数是,π,0.3030030003…（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）． 故答案为①②⑤⑥⑦；③④⑧． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 【考点题型十八】实数的性质 【例18】化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】根据差的绝对值是大数减小数，可得答案． 【详解】解：∵4<5， ∴2<， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键． 【变式18-1】的相反数是 ； 的倒数是 【答案】 - 【分析】根据实数的性质即可求解. 【详解】的相反数是-（）= 的倒数是- 故填: ,- 【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知相反数、倒数的性质. 【变式18-2】点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是 ．    【答案】N 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握的取值范围是解题的关键． 先计算出的取值范围，再对照点，，，在数轴上的位置，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 由数轴可知，只有点的取值范围在0和1之间， 故答案为：N． 【考点题型十九】实数与数轴 【例19】如图，数轴上表示1，的点分别为A，B，点A是的中点，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，先根据数轴上两点距离计算公式得到，再由线段中点的定义得到，则点C表示的数为． 【详解】解：∵数轴上表示1，的点分别为A，B， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴点C表示的数为， 故选：C． 【变式19-1】的相反数是 ；的绝对值是 ． 【答案】 【分析】利用相反数概念和绝对值的性质可得答案． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了相反数和绝对值，关键是掌握正有理数的绝对值是它本身；负有理数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【考点题型二十】实数大小比较 【例20】比较大小：3 ．（填、或） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较．比较与的大小即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式20-1】比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式20-2】比较大小： ， 1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用平方法比较大小是解题关键． 根据无理数的估算求解即可． 【详解】∵ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：，． 【考点题型二十一】实数运算 【例21】计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： 【变式21-1】计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的综合运算； （1）根据立方根与算术平方根进行计算即可求解； （2）先化简绝对值，然后根据实数的加减进行计算即可求解； （3）根据算术平方根，有理数的乘方，立方根的定义进行计算即可求解； （4）根据算术平方根，有理数的乘方，立方根的定义，化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ； （4）解： 【考点题型二十二】实数运算与新定义 【例22】定义表示不少于实数的最小整数，例如：．给出下列结论： ①； ②若，则； ③若，则； ④若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，不等式的性质 ，理解新定义得出不等式是解题的关键． 根据表示不少于实数必的最小整数，即可解答． 【详解】根据定义表示不少于实数的最小整数，可得①结论正确，故选项符合题意； 若，根据的意义，得，结论②错误，故选项不符合题意； 若，则，结论③正确，故选项符合题意； 当，，时，有∶，， ， 或6，即，结论④是正确，故选项符合题意． 综上所述：①③④正确， 故选∶C． 【变式22-1】定义“[  ]”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数．例如：，． （1）请计算： ， ； （2）若和满足方程，则当时，请直接写出的取值范围： ； （3）在平面直角坐标系中，如果坐标为的点都在第一象限，且满足，则所有符合条件的点所构成图形面积为 ． 【答案】 1 4 【分析】本题考查了取整函数的定义，根据定义正确列出不等式是解题的关键． （1）根据取整函数的定义即可求解； （2）根据取整函数的定义即可求解； （3）根据取整函数的定义即可求解． 【详解】解：（1）表示不超过的最大整数， ∵，故； ∵表示不超过的最大整数，故， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， 故答案为：． （3）∵的点都在第一象限， ∴， 又∵，都是整数， 或或或， 则所有符合条件的点所构成图形如图所示， 故所有符合条件的点所构成图形面积． 故答案为：4． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$