清单03 二次根式（考点清单，19个考点梳理+题型解读+提升训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北京版）

清单03 二次根式（19个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单1】 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 【清单2】 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【清单3】 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【考点题型一】二次根式的定义 【例1】（23-24八年级下·北京·期末）下列式子中，是二次根式的是(　　　) A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级上·北京·单元测试）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·北京·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】求二次根式的值 【例2】（23-24九年级上·北京·开学考试）当时，二次根式的值为 ． 【变式 2-1】（23-24八年级下·北京·阶段练习）当时，二次根式的值是 【考点题型三】求二次根式中字母的值 【例3】（19-20八年级下·北京·期中）已知是正整数，是整数，则的值可以是（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 【变式 3-1】（21-22八年级下·北京朝阳·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【变式 3-2】（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【考点题型四】二次根式有意义的条件 【例4】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）分式有意义的条件是 ． 【变式 4-1】（2024八年级下·北京·专题练习）使式子有意义的x的取值范围是 ． 【变式 4-2】（23-24八年级下·北京·期中）若，求的值． 【考点题型五】利用二次根式的性质化简 【例】（23-24八年级上·北京·期中）计算： ． 【变式 5-1】（20-21七年级下·北京·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式 5-2】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A． B． C． D．0 【变式 5-3】（21-22八年级上·北京·课后作业）已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【考点题型六】二次根式乘法 【例6】（2023八年级下·北京·专题练习）计算（　　） A． B．4 C．2 D．1 【变式 6-1】计算：＝ ． 【变式 6-2】（23-24八年级下·北京·单元测试）计算： = 【变式 6-3】（2023八年级上·北京·专题练习）计算：． 【变式 6-4】（21-22八年级上·北京·单元测试）若三角形的面积为，一边长为，则这边上的高线长为 ． 【变式 6-5】（20-21八年级下·北京·课后作业）计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【考点题型七】二次根式除法 【例7】（23-24八年级下·北京·期末）化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式 7-1】（23-24八年级上·北京·单元测试）计算： ． 【变式 7-2】（22-23八年级上·北京·期中）计算：= ． 【变式 7-3】（23-24八年级下·北京·课后作业）计算： (1) (2) 【考点题型八】二次根式乘除混合运算 【例8】（22-23八年级下·北京·期末）计算：． 【变式8 -1】（23-24八年级下·北京·单元测试）计算：； 【变式 8-2】（2024北京模拟预测）计算：． 【变式 8-3】（23-24八年级上·北京·单元测试）计算∶ (1)； (2)． 【考点题型九】最简二次根式的判断 【例9】（21-22八年级下·北京·阶段练习）下列给出的式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式 9-1】（23-24八年级上北京期末）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式 9-2】（24-25九年级上·北京·开学考试）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型十】化为最简二次根式 【例10】（24-25九年级上·北京西城·开学考试）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式 10-1】（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【变式 10-2】（23-24八年级下·北京·随堂练习）把下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 【考点题型十一】分母有理化 【例11】（21-22八年级下·北京海淀·期中）化简结果正确的是（    ） A． B． C． D．7 【变式 11-1】（2024八年级下·北京·专题练习）如果，那么a与b的关系是（　　） A．且互为相反数 B．且互为相反数 C． D． 【变式 11-2】（22-23八年级上·北京门头沟·期末）分母有理化： （其中）． 【考点题型十二】已知最简二次根式求参数 【例12】（21-22八年级下北京阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【变式 12-1】（17-18八年级下·北京·单元测试）最简二次根式与能合并，则 ． 【考点题型十三】同类二次根式 【例13】（23-24八年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 【变式 13-1】（23-24八年级上·北京平谷·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式 13-2】（23-24八年级上·北京顺义·期末）下列各根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十四】二次根式的加减运算 【例14】（24-25九年级上·北京·开学考试）下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式 14-1】（23-24八年级下·北京海淀·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式 14-2】（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【考点题型十五】二次根式的混合运算 【例15】（23-24八年级下·北京东城·期末）计算：． 【变式 15-1】（23-24八年级下·北京怀柔·期末）计算： (1)； (2)． 【变式 15-2】（23-24八年级下·北京西城·期末）计算： (1)； (2)． 【考点题型十六】化简求值 【例16】（2024八年级下·北京·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【变式 16-1】（23-24八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 【变式 16-2】（21-22八年级下·北京·期中）已知 ，，求的值． 【考点题型十七】比较二次根式的大小 【例17】（11-12九年级上北京阶段练习）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【变式 17-1】（23-24八年级下·北京·期中）比较大小 ． 【变式 17-2】（21-22七年级下·北京·期中）比较大小： 6（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【考点题型十八】二次根式的应用 【例18】（23-24八年级下·北京东城·期末）据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)求从高空抛物到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 【变式 18-1】（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为18和的正方形木板A、B． (1)图①截出的正方形木板A的边长为 ，B的边长为 ； (2)图①中阴影部分的面积为 ； (3)乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【考点题型十九】复合二次根式化简 【例19】（19-20八年级下北京期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【变式 19-1】（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 二次根式（19个考点梳理 题型解读 提升训练） 【清单1】 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 【清单2】 二次根式的性质与化简 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【清单3】 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：（a≥0，b＞0）. 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【考点题型一】二次根式的定义 【例1】（23-24八年级下·北京·期末）下列式子中，是二次根式的是(　　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论． 【详解】解：A、是二次根式，符合题意； B、是三次根式，不合题意； C、当x＜0时，无意义，不合题意； D、x属于整式，不合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数． 【变式1-1】（23-24八年级上·北京·单元测试）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意； C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意； D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（23-24九年级上·北京·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 【考点题型二】求二次根式的值 【例2】（23-24九年级上·北京·开学考试）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义以及二次根式求值．代入求值是解题的关键． 把的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式． 【详解】解：把代入，得． 故答案为：． 【变式 2-1】（23-24八年级下·北京·阶段练习）当时，二次根式的值是 【答案】1 【分析】本题考查二次根式求值． 将的值代入计算可得． 【详解】解：将代入，得：， 故答案为：1． 【考点题型三】求二次根式中字母的值 【例3】（19-20八年级下·北京·期中）已知是正整数，是整数，则的值可以是（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】将选项代入逐一验证即可． 【详解】A. 当时，，不是整数，故该选项错误；     B. 当时，，不是整数，故该选项错误；     C. 当时，，不是整数，故该选项错误；     D. 当时，，是整数，故该选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式 3-1】（21-22八年级下·北京朝阳·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答． 【详解】解：∵63=7×9， ∴， ∵是整数， ∴正整数n的最小值是7， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键． 【变式 3-2】（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 【考点题型四】二次根式有意义的条件 【例4】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）分式有意义的条件是 ． 【答案】x＞﹣1，且x≠1． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，根据分式有意义的条件x2﹣1≠0，再解即可． 【详解】由题意得：x+1≥0，且x2﹣1≠0， 解得：x≥﹣1，且x≠±1， ∴x＞﹣1，且x≠1 故答案为：x＞﹣1，且x≠1． 【点睛】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为0． 【变式 4-1】（2024八年级下·北京·专题练习）使式子有意义的x的取值范围是 ． 【答案】且． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件以及解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出关于x的一元一次不等式组，解一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：且， 故答案为：且． 【变式 4-2】（23-24八年级下·北京·期中）若，求的值． 【答案】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件可以确定x的值，进而求出y的值，再将x、y的值代入要求的式子即可. 【详解】解：由题意得：，， ，， ， ∴. 【考点题型五】利用二次根式的性质化简 【例】（23-24八年级上·北京·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，利用直接可得答案． 【详解】解：， 故答案为： 【变式 5-1】（20-21七年级下·北京·期中）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，平方根，算术平方根，根据二次根式的性质进行化简，根据平方根、算术平方根的定义判断即可． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式 5-2】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，二次根式化简，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 由数轴可知，，所以，化简即可解答． 【详解】解：由数轴可知，， ， ． 故选：A． 【变式 5-3】（21-22八年级上·北京·课后作业）已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的情况是解题的关键． 根据数轴判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解． 【详解】解：由图可知：，而且， ， ， 故答案为：0． 【考点题型六】二次根式乘法 【例6】（2023八年级下·北京·专题练习）计算（　　） A． B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，解答的关键是对二次根式的乘法的法则的掌握． 利用二次根式的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式 6-1】计算：＝ ． 【答案】 【分析】根据二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】原式 故答案为：20． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，即 ，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式 6-2】（23-24八年级下·北京·单元测试）计算： = 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式 6-3】（2023八年级上·北京·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】把系数相乘，被开方数相乘，最后化成最简二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 【变式 6-4】（21-22八年级上·北京·单元测试）若三角形的面积为，一边长为，则这边上的高线长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式除法运算，利用三角形面积公式列式，再用二次根式的除法计算即可． 【详解】解：由题意可得高线长为：， 故答案为： 【变式 6-5】（20-21八年级下·北京·课后作业）计算： （1）；     （2）；     （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】分别根据二次根式的乘法法则（a≥0，b≥0）以及二次根式的性质计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的性质是解决本题的关键． 【考点题型七】二次根式除法 【例7】（23-24八年级下·北京·期末）化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求答案． 本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型 【详解】解：原式， 故选：D． 【变式 7-1】（23-24八年级上·北京·单元测试）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，属于基础题，掌握二次根式的除法法则是关键． 根据二次根式的除法法则进行运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式 7-2】（22-23八年级上·北京·期中）计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断a，b的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 【变式 7-3】（23-24八年级下·北京·课后作业）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的除法法则可解决问题． （2）根据二次根式的除法法则可解决问题． 【详解】（1） （2） 【考点题型八】二次根式乘除混合运算 【例8】（22-23八年级下·北京·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，先化简二次根式，再根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式8 -1】（23-24八年级下·北京·单元测试）计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式 8-2】（2024北京模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可． 【详解】解：原式 ． 【变式 8-3】（23-24八年级上·北京·单元测试）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【考点题型九】最简二次根式的判断 【例9】（21-22八年级下·北京·阶段练习）下列给出的式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简二次根式的概念即可判断． 【详解】是最简二次根式，故A选项正确； ，故B选项错误； ，故C选项错误； ，故D选项错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式及分母有理化，熟练掌握最简二次根式的概念及分母有理化的运算是解题的关键． 【变式 9-1】（23-24八年级上北京期末）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对最简二次根式的理解，被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式 9-2】（24-25九年级上·北京·开学考试）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数不含分母，根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．是最简二次根式，故该选项符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【考点题型十】化为最简二次根式 【例10】（24-25九年级上·北京西城·开学考试）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、是最简二次根式． D、，不是最简二次根式； 故选：C． 【变式 10-1】（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 【变式 10-2】（23-24八年级下·北京·随堂练习）把下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了化为最简二次根式，熟练掌握化为最简二次根式的方法是解题的关键； （1）可化为一个数的平方和另外一个数（此数为不含能开的尽方的因数）的乘积形式，开方即可； （2）被开方数是带分数，要把带分数化为假分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； （3）被开方数是小数，要把小数化成分数，然后利用商的算术平方根的性质进行化简； 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【考点题型十一】分母有理化 【例11】（21-22八年级下·北京海淀·期中）化简结果正确的是（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键． 【变式 11-1】（2024八年级下·北京·专题练习）如果，那么a与b的关系是（　　） A．且互为相反数 B．且互为相反数 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化．根据平方差公式，可对b分母有理化，根据相反数的定义、有理数的大小比较，可得答案． 【详解】∵， ∴与互为相反数， 答案：B 【变式 11-2】（22-23八年级上·北京门头沟·期末）分母有理化： （其中）． 【答案】 【分析】首先把分式中的分子与分母同时乘以，然后再根据二次根式的性质，计算即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查了分母有理化、二次根式的性质，解本题的关键在熟练掌握分母有理化的方法． 【考点题型十二】已知最简二次根式求参数 【例12】（21-22八年级下北京阶段练习）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式 12-1】（17-18八年级下·北京·单元测试）最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，代数式求值等知识．熟练掌握同类二次根式，最简二次根式，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，，计算求解，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴， 故答案为：2． 【考点题型十三】同类二次根式 【例13】（23-24八年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，同类二次根式，根据二次根式的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. 与可以合并，故该选项正确，符合题意； C. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     D. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式 13-1】（23-24八年级上·北京平谷·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的概念，将选项中的各数化为最简二次根式，判断它们的被开方数是否与相同，相同即是同类二次根式． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，符合题意． B、，与不是同类二次根式，不符合题意． C、，与不是同类二次根式，不符合题意． D、，与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：A． 【变式 13-2】（23-24八年级上·北京顺义·期末）下列各根式中，与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是先化简二次根式，再看被开方数是否相同，被开方数相同的是同类二次根式． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故此选项符合题意； D、与是同类二次根式，故此选项不符合题意， 故选：C． 【考点题型十四】二次根式的加减运算 【例14】（24-25九年级上·北京·开学考试）下列各式中，计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘法，根据二次根式的加减、乘法法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式 14-1】（23-24八年级下·北京海淀·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念． 【详解】解：A、 不能合并，原计算错误； B、 不能合并，原计算错误； C、 ，计算正确； D、不能合并，原计算错误； 故选C． 【变式 14-2】（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可．同类二次根式的合并方法是把系数相加减，被开方式和根号不变． （1）直接合并同类二次根式即可； （2）先化简，再合并同类二次根式即可； （3）先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1） （2） （3） 【考点题型十五】二次根式的混合运算 【例15】（23-24八年级下·北京东城·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法和除法，再将二次根式化简，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式 15-1】（23-24八年级下·北京怀柔·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用二次根式的性质化简进行化简，再合并同类二次根式，即可作答． （2）先运算乘方再运算乘法，最后运算减法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式 15-2】（23-24八年级下·北京西城·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键是掌握二次根式的化简方法． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法和加法合并； （2）先用平方差公式展开，计算二次根式的乘法即可； 【详解】（1）解：原式： ． （2）原式： ． 【考点题型十六】化简求值 【例16】（2024八年级下·北京·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．根据平方差公式和单项式乘多项式可以将所求式子展开并化简，再将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 ； 当 时， 原式 ． 【变式 16-1】（23-24八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简求值．由，可得，故，即得代数式的值为． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 代数式的值为． 【变式 16-2】（21-22八年级下·北京·期中）已知 ，，求的值． 【答案】14 【分析】本题考查二次根式的化简求值，涉及完全平方公式应用，平方差公式应用． 根据题意将代数式变形，再将已知代入即可． 【详解】解：，将 ，代入上式得， 原式， ， ． 【考点题型十七】比较二次根式的大小 【例17】（11-12九年级上北京阶段练习）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，关键在于利用平方法先转化为有理数的大小比较，进而解答．先比较两个数的平方大小，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式 17-1】（23-24八年级下·北京·期中）比较大小 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式 17-2】（21-22七年级下·北京·期中）比较大小： 6（填“＞”、“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】由，再根据即可得出答案． 【详解】解： 又 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，比较简单，中考易考题型． 【考点题型十八】二次根式的应用 【例18】（23-24八年级下·北京东城·期末）据研究，高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)求从高空抛物到落地时间； (2)已知高空坠物动能（单位：）物体质量（单位：）高度（单位：），某质量为的玩具被抛出后经过后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无防护人体只需要的动能）． 【答案】(1) (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【分析】本题考查二次根式的应用，通过具体情境考查二次根式，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）求出，代入动能计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知， ∴， 故从高空抛物到落地时间为； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当时，， ∴， 这个玩具产生的动能， ∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 【变式 18-1】（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如下图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为18和的正方形木板A、B． (1)图①截出的正方形木板A的边长为 ，B的边长为 ； (2)图①中阴影部分的面积为 ； (3)乙木工想采用如图②所示的方式在长方形木板②上截出面积为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能截出，理由见详解 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板B的边长，再得出阴影部分的长和宽，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， 故答案为：，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， ∴阴影部分宽为， ∴阴影部分面积为， 故答案为：6； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 【考点题型十九】复合二次根式化简 【例19】（19-20八年级下北京期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 【变式 19-1】（23-24八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可； （3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴，则． 【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$