江西省赣州立德虔州高级中学2023-2024学年高三上学期数学周练试卷（12.19）

2023-2024学年第一学期立德高中高三数学周练试卷（12.19） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.已知集合，则(    ) A. B. C. D. 2.若复数满足，则的虚部为(    ) A. B. C. D. 3.在平行四边形中，若，则(    ) A. B. C. D. 4.若函数在上的值域为，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 5.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的详解九章算法一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵，称做“开方做法本源”，这就是著名的“杨辉三角”，它比西方的“帕斯卡三角形”早了年．在“杨辉三角”中，从第行开始，除以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．某行中只有一项最大，且为，该行是第(    )行 A. B. C. D. 6.已知数列的前项和，则“”是“是等比数列”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.已知正数，，满足，下列说法正确的是(    ) A. B. C. D. 8.过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，点为坐标原点，若，又直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求） 9.下列命题中是真命题的有(    ) A. 有，，三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为，则样本容量为 B. 一组数据，，，，，的平均数、众数、中位数相同 C. 若甲组数据的方差为，乙组数据为，，，，，则这两组数据中较稳定的是甲 D. 一组数，，，，，，，，，的分位数为 10.如图，在正方体中，，，，分别是线段，，，的中点，给出下面四个结论，其中正确的序号为(    ) A. 平面 B. 平面 C. ，，三点共线 D. 平面平面 11.已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则(    ) A. B. C. D. 12.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13.已知实数，满足，则的最大值为_____________． 14.设抛物线的焦点为，点若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________． 15.若函数是定义在上的奇函数，且对任意恒成立，则的取值范围为__________． 16.已知双曲线的左焦点为，坐标原点为，若在双曲线右支上存在一点满足，且，则双曲线的离心率为__________． 四、解答题（本大题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，已知． 证明：； 若，，求的面积． 18.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，，，为的中点，为上一点． 若为中点，求证：平面； 线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19.本小题分 已知正项数列的前项和为，且，． 求数列的通项公式 设，若数列满足，求的前项和． 20.本小题分 已知函数． 若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； 求证：当时，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第一学期立德高中高三数学周练试卷（12.19） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17. 解：由及正弦定理可得， 即， 再由正弦定理可得 由及可得，且， 由余弦定理可得， 即，即，解得， 当时，的面积为， 当时，的面积为．  18. 解：取  中点  ，连接  ，  ， 则在  中，  ，  分别为  ，  中点，所以  ． 因为  平面  ，  平面  ，所以  平面  ． 在直角梯形  中，  ，  ，  分别为  ，  的中点，所以  ． 因为  平面  ，  平面  ，所以  平面  ． 又  ，  平面  ，  平面  ， 所以平面  平面  ． 又  平面  ，所以  平面  ． 如图所示，设  为  中点，连接  ，则  ，  ，  ，则四边形  为矩形，故  ， 以  为坐标原点，以  ，  ，  为  ，  ，  轴建立空间直角坐标系， 则  ，  ，  ，  ，  ．  ，  ，  ， 设平面  的法向量为  ，则  取  得到  ， 令  ，  ，设  ，则  ， 则  ，即  ， 故  ，即  ， 解得  或  舍， 故存在点  满足条件，  ．   19. 解：根据已知可得  ， 所以  ， 累乘得：  ，  ， 所以  ，  ， 又  符合式子， 所以  ，  ， 当  时，  ， 所以两式相减得：  ， 即  ， 又  符合上式，所以  ； 由得，则， 所以 ， 故的前项和为   20. 解： 的定义域为，． 依题意得：对恒成立， 对恒成立． 令 则， 当时，， 故在上单调递增， 所以的最小值为． 故，即的取值范围为． 法一当时，设， 由，得在上单调递增， 又，， 由零点存在定理可得在上有唯一零点， 设此零点为，则，有， 两边取对数并整理得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故 ． 即当时，． 法二我们先证明，，当且仅当时等号成立． 构造函数，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故，即，当且仅当时等号成立． 当时，对两边同时取对数有， 故当时，当且仅当时等号成立． 所以， 两个“”中等号成立的条件分别为和， 故当时，． 当时，，又， 所以； 当时，，又． 综上所述，当时，．   【解析】 1. 【分析】 解出集合  ，利用集合的交集知识，计算即可． 【详解】由题意可知  ，所以  ． 故选：． 2. 【分析】 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数除法的运算法则的应用，复数的概念，考查计算能力，属于基础题． 化简已知条件，利用复数的除法运算法则化简，求解共轭复数即可．  【解答】 解：， ， ，即的虚部为， 故选：． 3. 【分析】 本题考查平面向量的线性运算，属于基础题． 求出，得，，即可得其和． 【解答】 解：由题意， 又 则， 则， 故选D． 4. 【分析】 本题考查正弦型函数图象与性质，属于基础题． 先根据范围得到范围，然后由的值域为，精确范围，进而得的范围，找到最小值． 【解答】 解：， ， 而值域为，发现， ， 整理得， 则最小值为， 故选A． 5. 【分析】 本题考查杨辉三角和二项式系数的性质，属于基础题． 设该行为第行，可知为偶数，根据，解得即可． 【解答】 解：设该行为第行，因为某行中只有一项最大，所以为偶数， 依据二项式系数的性质可知，第行最大的数为， ，故， 故选：． 6. 解：当时，， 当时，， 若，则，，， 当时，，数列是等比数列； 若数列是等比数列，，，． 所以是充分必要条件． 故选：． 先令，求出，再由时，根据，求出，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果． 本题主要考查充分必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于基础题． 7. 【分析】 利用指数和对数的运算规则和指数函数、对数函数与幂函数的性质，比较大小． 【详解】   ，   ，故A错误；  ，  ，故BC错误，D正确． 故选：． 8. 【分析】 结合题意以及双曲线的有关知识，找到  之间的不等关系，整理计算即可． 【详解】如图，可知  中，  ， 因为  ，由正弦定理可知  ， 即  ，所以  ，得  ． 又因为直线  与双曲线无公共点，则  ，即  ， 结合  ，所以  ，所以  ． 综上：  ， 故选：． 9. 【分析】 本题考查了分层抽样，众数、中位数、平均数，方差，考查学生的计算能力，属于基础题． 根据题意对各选项依次分析求解即可得． 【解答】 解：样本容量为，故A错误， B.数据、、、、、的平均数为，众数、中位数都是，故B正确； C.甲组数据的方差为，乙组数据的平均数为， 方差为 所以乙的方差小于甲的方差，所以乙稳定，故C错误； D.将数据按从小到大顺序排列，则，，，，，，，，，一共个数， ，不是整数， 则第项是第百分位数，故D正确； 故选BD． 10. 【分析】 本题考查直线与平面、平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题． 由线面平行的判定判断；由平面与平面平行的性质判断；由基本事实判断与． 【解答】 解：平面即为平面， ，平面，平面， 平面，即平面，故A正确； 由平面平面，又平面， 平面，故B正确； 平面即为平面，、、三点共线， 、、三点不共线，故C错误； 平面与平面有公共点， 平面与平面相交，故D错误． 故选：． 11. 【分析】 构造函数  ，借助新函数的单调性，即可判断． 【详解】令函数  ，则  ， 所以  在  上单调递增， 又  ，所以   ，即  ， 所以  ，而  的大小不确定． 故选：． 12. 【分析】根据题意可构造函数  利用导数判断其单调性可得  ，再构造函数  ，由导数可得其单调性可知  ，便可得出结论． 解：令  ，则  ， 当  时，  ，所以  在  上单调递增， 所以  ，则  ，所以  ，可得  ，即B错误，C正确； 令  ，则  在  上恒成立， 所以  在  上单调递增，所以  ， 即  ，即  ，所以  ，可得  ，即A正确，D错误； 故选： 13. 【分析】本题考查了基本不等式在求最值中的运用，属于基础题． 根据，即可求解． 【解答】解：由题意，， 即，的最大值为， ，当且仅当 且时取等号， 故答案为 14. 【分析】 本题考查抛物线的几何性质，属于基础题． 由题意得点坐标，求得的值，从而得抛物线准线方程，即可求解． 【解答】 解：依题意，可知坐标为， 因为点， 的坐标为， 将代入抛物线方程，得，解得， 抛物线准线方程为， 所以点到抛物线准线的距离为， 故答案为． 15. 【分析】 利用函数  是定义在  上的奇函数，求出  ，并判断出函数的单调性，结合函数的性质化简  ，转化为不等式的恒成立问题计算即可． 【详解】因为函数  是定义在  上的奇函数， 所以  ，解得  ，所以  ， 又因为  ，所以  ， 即  对任意  恒成立，所以  ， 所以  易得到  在  上单调递增， 由  ，得  ， 即  ， 因为  是定义在  上的奇函数，所以  ， 因为  在  上单调递增，所以  ， 即  对任意  恒成立， 若  ，则  ，此时对任意  恒成立； 若  ，则  ，解得  ， 综上：  的取值范围为  ． 故答案为：  ． 16. 【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求． 解：如图，因为，所以， 所以， 则， ， ， 解得． 故答案为：     17. 本题考查利用余弦定理解三角形、正弦定理及变形、三角形面积公式，属于中档题． 由已知条件结合正弦定理、两角和的正弦公式即可得证； 由已知条件结合余弦定理，求出的值，利用三角形面积公式，即可求出的面积． 18. 本题主要考查了线面平行的判定，线面角． 由题意取  中点  ，证明平面  平面  ，反过来利用面面平行的性质即可得证． 建立适当的空间直角坐标系，求出平面  的法向量，设  ，  ，从而可得直线 的方向向量的坐标含有参数  ，利用线面角的正弦公式建立等式即可求解． 19. 【分析】 本题考查了根据数列的递推公式求通项公式及与的关系，考查了裂项相消法求和，是中档题． 先由累乘法得出 ，检验 符合式子，再由与的关系可得数列 的通项公式； 由得： ，则，由裂项相消求和即可得证． 20. 【分析】第问，一般地，要证不等式成立，可以通过构造函数，利用导数求出函数的最值，再证明最值使不等式成立即可． 转化为，即对恒成立，再根据函数求出最小值可得结果； 法一两次求导得的最小值，再根据基本不等式可得法二利用进行放缩可证． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$