江西省赣州立德虔州高级中学2023-2024学年高三上学期数学周练试卷（11.21）

2023-2024学年立德高中第一学期高三数学周练试卷(11.21) 一、单选题(每小题5份,共40分) 1.设集合,则( ) A. B. C. D. 2.如图,在平行四边形中,是的中点,和相交于点.记,则( ) A. B.C. D. 3.函数的大致图象是( ) A. B. C. D. 4.若函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的个数为( ) ①;②;③在上单调递减;④. A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知的三内角、、所对的边分别是、、,设向量,,若,且满足,则的形状是( ) A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.直角非等腰三角形 6.若函数,的值域为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知定义在上的奇函数满足,当时,.若函数在区间上有5个零点,则实数m的取值范围是( ) A.[1,1.5) B.[1.5,2) C.[2,2.5) D.[2.5,3) 8.,,,则( ) A. B. C. D. 二、多选题(每小题5分,共20分) 9.已知向量,则下列说法正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.“”是“与的夹角为锐角”的充要条件 D.若,则在上的投影向量的坐标为 10.已知函数向左平移个单位长度,得到函数的图像,若是偶函数,则( ) A.的最小正周期为 B.点是图像的一个对称中心 C.在的值域为 D.函数在上单调递增 11.设函数若有四个实数根,且,则的值不可以是( ) A. B. C.3 D. 12.已知函数,,则( ) A.函数在上无极值点 B.函数在上存在极值点 C.若对任意,不等式恒成立,则实数的最小值 D.若,则的最大值为 三、填空题(每小题5分,共20分) 13.已知向量满足,的夹角为,则 . 14.已知在中,,,则边上的高为 . 15.已知函数在区间上有且仅有3个对称中心,给出下列四个结论: ①的值可能是3; ②的最小正周期可能是; ③在区间上单调递减; ④图象的对称轴可能是. 其中所有正确结论的序号是 . 16.对称性是数学美的一个重要特征,几何中的轴对称,中心对称都能给人以美感,激发学生对数学的兴趣.如图,在菱形中,,以菱形的四条边为直径向外作四个半圆,是这四个半圆弧上的一动点,若,则的最大值为 . 四、解答题 17.(10分)已知向量,,函数的最小正周期为. (1)求实数的值; (2)已知,,,,求. 18.(12分)在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且向量,,. (1)求角A的大小; (2)若为上一点,且,,求面积的最大值. 19.(12分)设各项均为正数的数列的前项和为,满足. (1)求数列的通项公式; (2)记,数列的前项和为.证明:对一切正整数,. 20.(12分)已知函数. (1)当时,求曲线在处的切线方程; (2)若,都有,求的取值范围. 第1页 共4页 第2页 共4页 第1页 共4页 第2页 共4页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.D 【分析】先求出集合,进而结合并集、补集的定义求解即可. 【详解】由,得,即, 所以. 由,当时,恒成立, 当时,,即,则, 所以或, 所以或, 则. 故选:D. 2.A 【分析】先利用相似比确定点的位置,再根据平面向量的线性运算即可得解. 【详解】平行四边形中,是的中点, 因为,所以, 所以, 则. 故选:A. 3.D 【分析】方法一:根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断;方法二:根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断. 【详解】方法一:因为,即,所以, 所以函数的定义域为,关于原点对称, 又,所以函数是奇函数,其图象关于原点对称, 故排除; 当时,,即,因此,故排除A. 故选:D. 方法二:由方法一,知函数是奇函数,其图象关于原点对称,故排除; 又,所以排除A. 故选:D. 4.C 【分析】由图像经过的特殊点和逐项判断即可. 【详解】由题图,得,最小正周期. 又,所以,故①正确; ,又的图象过点, 所以, 所以. 又,所以,故②错误; ,令,当时,, 函数在上单调递减,故③正确; ,故④正确. 故选:C. 5.B 【分析】利用平面向量平行的条件得,再根据题设条件利用正弦定理的边角互化、和角公式确定两边、的关系以及角的大小,运算即可得解. 【详解】解:由题意,向量,,, 则,可得:,即. 又由,可得, 即, ∵,∴,∴可解得:, ∵,∴,又∵,∴, ∴是等边三角形. 故选:B. 6.D 【分析】利用可得,再由三角函数图像性质可得,解不等式即可求得的取值范围. 【详解】根据题意可知若,则可得; 显然当时,可得, 由的值域为,利用三角函数图像性质可得, 解得,即的取值范围是. 故选:D 7.A 【分析】由函数的奇偶性,对称性及周期性及函数图象的作法分别作函数与的图象,再观察其交点即可得解. 【详解】由,,联立可得:, 即函数图象关于点对称, 由可得为周期函数,且周期为2, 的周期为2,关于点对称, 由图象知:与在,上有4个交点,其交点横坐标分别为,,,, 所以若函数在区间,上有5个零点, 则, 故选:A 8.C 【分析】根据函数单调性与导数的关系,构造函数,利用单调性的定义分析运算判断即可得解. 【详解】设,则, ∴在上为增函数,故, ∴当时,, ∴. 设,,则, ∴当时,为减函数, ∴,即当时,, ∴,又∵, ∴. 又∵,且,, ∴. 综上,. 故选:C. 9.ACD 【分析】选项A项,利用向量的模的坐标运算,即可判断出结果的正误;选项B,利用向量垂直的坐标条件求解;选项C,由数量积的定义得,再利用充要条件的判断方法即可;选项D,结合数量积与单位向量表示投影向量即可. 【详解】对于选项A,因为,所以,又,所以,故,所以选项A正确; 对于选项B,因为,所以,解得,所以选项B错误; 对于选项C,当与的夹角为锐角时,由,得到, 即,得到, 当时,也可得出,而, 又当时,得到,此时,共线反向, 所以,即“”可以得出“与的夹角为锐角”,所以选项C正确; 对于选项D,时,,在上的投影向量为,所以选项D正确, 故选:ACD. 10.BC 【分析】A选项,根据为偶函数及,得到,进而得到A错误;B选项,计算出,B正确;C选项,由得到,从而结合图象求出值域;D选项,由得到,结合图象得到答案. 【详解】由题意得,, 解得, 因为,所以只有当,满足题意, A选项,,故最小正周期,A错误; B选项,,故, 故点是图像的一个对称中心,B正确; C选项,,则,故,C正确; D选项,,则,由于在上不单调, 故在上不单调递增,D错误. 故选:BC 11.ACD 【分析】根据函数特征,画出函数图象,根据图象判断选项即可. 【详解】由分段函数知,当时,,且单调递减; 当时,,且单调递增;当时,,且单调递减; 当时,,且单调递增.的图象如图所示. 有四个实数根,且. 由图知,当时,有四个实数根,且. 又,由对数函数的性质知,可得. 设,且.由在上单调递增, 可知,所以. 故选:ACD. 12.ACD 【分析】对求导后,根据导函数正负可确定的单调性,由极值点定义可知AB正误;由单调性可得,分离变量后,可知,利用导数可求得,知C正确;采用同构法可确定,可将化为,令,,利用导数可求得最大值,知D正确. 【详解】对于A,定义域为,, 令,则, 当时,;当时,; ,即在上单调递减,在上单调递增, ,在上单调递增,无极值点,A正确; 对于B,定义域为,, 令,则, 当时,;当时,; ,即在上单调递减,在上单调递增, ,在上单调递增,无极值点,B错误; 对于C,由A知:在上单调递增, 由得:, 则当时,, 令,则, 当时,;当时,; 在上单调递增,在上单调递减, ,,即的最小值为,C正确; 对于D,若,则, ,,, 由AB知:均为定义域上的增函数,,, 由得:,, ; 令,则, 令,则, 当时,;当时,; 在上单调递增,在上单调递减, ,即的最大值为,D正确. 故选:ACD. 【点睛】思路点睛:本题考查导数在研究函数中的综合应用问题,其中D选项中涉及到多变量问题的求解,求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系,将多变量转化为单变量的问题,从而将其转化为函数最值问题的求解. 13. 【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可. 【详解】, 故答案为:. 14.6 【分析】根据角的关系及两角和差正弦公式化简得到,利用同角三角函数基本关系式求出,代入求出,再由正弦定理求出AC,根据等面积法求解即可. 【详解】,所以. , 所以, 所以, 所以. 又,且在中,, 所以, 所以. 由正弦定理可知,. 设边上的高为h,则, 所以. 故答案为:6 15.①②③ 【分析】由题意,结合角的范围可得,求出的范围可判断①,利用三角函数的周期公式可判断②,利用三角函数的性质可判断③④. 【详解】函数, , , 函数在区间上有且仅有3个对称中心, 则, ,即的取值范围是, 而,故①正确; 周期,由, 得, , 的最小正周期可能是,故②正确; , , , , 又, 在区间上单调递减,故③正确; 当,即, 又, , 当时,, 当时,,故④不正确. 故答案为:①②③. 16. 【分析】就和分类讨论,后者可根据对称性只需考虑在对应的半圆弧上,前者,后者,而后者可建系处理. 【详解】连接. 若,则, 若不为零,则,这与题设矛盾,若为零,则与重合. 若,则, 设,故,且三点共线. 由对称可知只需考虑在对应的半圆弧上. 当在对应的半圆弧上(除外)时,总在的延长线上, 故此时. 当在对应的半圆弧上,总在之间,故此时 建立如图所示的平面直角坐标系, 则,,, 设, 当时,,而, 此时. 当时,则, 由可得, 故, 当时,. 综上, 故答案为: 【点睛】关键点睛:与向量的线性表示有关的最值问题中,如果考虑基底向量前系数的和的最值,则可利用三点共线构造系数和的几何意义,这样便于求最值. 17.(1) (2) 【分析】(1)由数量积坐标表示求得,然后由二倍角公式、两角差的正弦公式化简,利用周期求得; (2)代入已知到函数式得,,再由两角差的正弦公式计算. 【详解】(1) , 所以; (2) 又,所以, , 又,所以, 所以. 18.(1) (2) 【分析】(1)根据向量垂直得到,计算化简得到,根据余弦定理得到答案. (2)根据余弦定理得到,再利用均值不等式得到,计算面积得到最值. 【详解】(1),故, 即,故, 整理得到,即,,故. (2),,故为等边三角形,即, 中:, 即, 即,当且仅当时等号成立. . 19.(1) (2)证明见解析 【分析】(1)根据作差得到,从而得到是首项为,公差为的等差数列,即可求出其通项公式; (2)由(1)可得,利用错位相减法求出,即可得证. 【详解】(1)因为,即, 当时,解得或(舍去), 当时, 所以, 即,即, 则,因为,所以, 所以数列是首项为,公差为的等差数列, 所以数列的通项公式是 (2)由(1)可得, 所以, , 所以 , 所以, 因为,所以. 20.(1) (2) 【分析】(1)由得到,再利用几何意义求解; (2)将,都有,转化为,设,利用导数法求得其最大值即可. 【详解】(1)解:当时,, 因为, 所以,曲线在处的切线方程是,即. (2)因为,都有,所以. 设,则. 记,设,则, 当时,,当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以, 所以,所以在上单调递减. 因为,当时,,当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以,所以,. 【点睛】方法点睛:对于,恒成立,则;对于,恒成立,则;对于,有解,则;对于,有解,则; 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$