江西省赣州立德虔州高级中学2024-2025学年高三上学期数学周练（一）

2024-2025高三数学周练 出题人：钟俊梅， 时间：120分钟， 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.(    ) A. B. C. D. 3.等差数列的首项为，公差不为若，，成等比数列，则公差为(    ) A. B. C. D. 4.已知函数满足，则(    ) A. B. C. D. 5.已知直线与曲线相切于点，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.已知函数，，则“”是“函数在上单调递增”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.若正数满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列函数中具有奇偶性的函数的是(    ) A. B. C. D. 10.已知函数，则(    ) A. 在上单调递增 B. 是函数的极大值点 C. 既无最大值，也无最小值 D. 当时，有三个零点 11.已知正实数，，满足，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，，则          ． 13.已知函数，数列满足，则数列的前项和为          ． 14.若函数的值域为，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数． 求曲线在点处的切线方程 设函数，求的最值． 16.本小题分 已知是公差不为的等差数列，为其前项和，，． 求数列的通项公式； 求数列的前项和 17.本小题分民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工x万件该品牌服装，需另投入万元，且根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费. 求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润单位：万元关于年代加工量单位：万件的函数解析式. 当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值. 18.本小题分 已知函数在处取得极值． 求的单调区间 若恒成立，求实数的取值范围． 19.本小题分 已知二阶行列式，三阶行列式，其中，，分别为，，的余子式某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式． 计算． 设函数． (ⅰ)若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于，求 (ⅱ)若，且，函数，证明：． 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查交集运算、解不含参的一元二次不等式，属于基础题． 解不等式化简集合，再结合交集的概念，即可求出结果． 【解答】 解：由，得， 所以， 又， 所以 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角函数式化简求值，诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题． 根据诱导公式及二倍角公式化简求值可得． 【解答】 解：原式． 故选D． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式、等比数列的性质，属于基础题． 根据题意得出，即，由此即可求出结果． 【解答】 解：等差数列的首项为，公差不等于零， 若，，成等比数列，则， 即为，解得． 故选B． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查求函数值，属于基础题． 利用赋值法可求的值． 【解答】 解：根据题意，有 解得． 故选D． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义，属于基础题． 根据切点处的导数和函数值分别等于直线的斜率和函数值可以求解． 【解答】 解：由题意得，，又，，则，所以，故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数型函数的性质，复合函数的性质的应用，充分条件和必要条件的应用，属于基础题． 直接利用复合函数的单调性同增异减的性质和充分条件和必要条件的应用求出结果． 【解答】 解：函数在上单调递增， 所以，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的的必要不充分条件． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题． 由已知解出，然后把换成，利用基本不等式即可求解． 【解答】 解：由已知，因为， 可得， 因为，均大于 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用导数根据函数最值求参，是中档题． 先求导，易得在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，构造函数，由二次函数零点分布可得实数的取值范围． 【解答】 解：由可知， ， 又在区间上有最小值， 所以在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 令，则在区间上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正， 所以解得， 故选D． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数奇偶性的判定，属于基础题． 由利用定义判定函数的奇偶性的一般步骤对选项中的函数一一判断即可得结论． 【解答】 解：对于，函数的定义域为，且，，，所以是非奇非偶函数． 对于，函数的定义域为，，是偶函数． 中，的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数． 对于，的定义域为，在定义域上， 可化为可化为，，是奇函数． 故选BD． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数求函数的单调区间、极值或极值点，利用导数求函数的最值，利用导数研究函数的零点，属于一般题． 分及两种情况对函数求导，求出单调性、极值及最值情况，作出其大致图象，逐项分析即可得出答案． 【解答】 解：对于，因为，所以． 当时，，所以在上单调递增 当时，，所以在上单调递减 当时，，所以在上单调递增 故A错误． 对于，由上述分析可知，是函数的极大值点，故 B正确． 对于，令，所以． 的图像如图所示： 可以看到无最大值，有最小值． ，相当于做上下平移可以得到． 所以也是无最大值，有最小值． 故C错误． 对于，令，得． 当时，与有三个交点． 所以有三个零点． 故D正确． 故选BD． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题重点考查对数运算和基本不等式的应用，属于一般题． 利用特殊值法，结合对数运算和基本不等式逐个判断即可． 【解答】 解：若，，则，， 显然，故A不正确． 因为，，，显然，故B正确． 设，得，，， 则，，， 所以，故C正确． 对于，， 当且仅当时，取等号，故D正确． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数的运算，考查数学运算的核心素养． 根据对数的运算可得结果． 【解答】 解：因为，， 所以． 13.【答案】  【解析】【分析】 由函数的解析式，求出数列的通项公式，将代入即可得到的值，再利用倒序相加法即可求出此数列前项的和． 本题考查了数列的通项公式，倒序相加法求数列的前项和，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题． 【解答】 解：依题意，函数，，所以， 数列满足， 所以，． ， 设此数列前项的和，则有： ， ， 所以，即． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了分段函数的值域问题，求值域要抓住定义域为出发点，要使值域为，其中一个函数值域为，那么必须是另一个函数值域的真子集，即可得到答案，属于基础题． ，在的值域，要使值域为，最大值必须大于等于，由一次函数图象及性质即可得到答案． 【解答】 解：函数， ，在的值域， 在时，最大值必须大于等于， 即满足：，解得：． 故答案为：． 15.【答案】解：由， 则，又， 所求切线方程为， 即； 由题意，，定义域为，所以，列表如下： 因此的最小值为，没有最大值．  【解析】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，属于中档题． 由求得，再根据即可得切线方程； 由题意，，求出，讨论其单调性进而可得最值． 16.【答案】解：由数列是公差不为的等差数列，可设， 由，可得：， ，， 联立解得，． ． 令， ， ，， 得， ，  ．  【解析】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，属于中档题． 由数列是公差不为的等差数列，可设，由：，，列方程组联立解出首项和公差，即可得出． 根据错位相减法即可求出前项和． 17.【答案】解：当时， 当时， 故 当时，函数图象的对称轴为直线， 所以在上单调递增， 故万元 当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 即当时，万元 因为，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元.  【解析】本题考查了利用分段函数模型解决实际问题和利用基本不等式解决实际问题，是中档题. 分和两种情况，可得函数解析式； 分两种情况，结合基本不等式和函数的性质研究最值，比较即可. 18.【答案】解：的定义域为，， 因为在处的取得极值， 所以，得， 所以，， 当时，，单调递减 当时，，单调递增． 故在处取得极小值． 综上：的单调递增区间为，单调递减区间为． 由得， 令，则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又当时，，，， 所以当时，，即，单调递减 当时，，即，单调递增． 故， 若恒成立，只需， 所以实数的取值范围为．  【解析】本题考查了利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性和利用导数研究恒成立问题，是中档题． 由题意得，得，再利用导数研究单调性即可； 由得，令，利用导数研究单调性，可得实数的取值范围．   19.【答案】解：原式 ． ． ． 当或时，当时，． 所以在和上是增函数，在上是减函数， 所以的极大值点为，极小值点为． 因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于， 所以，， 则公差，， 所以． 证明：因为，，， 所以在上无零点，在上存在唯一零点，且． 令，为的导函数， 则 当时，，单调递增 当时，，单调递减． 所以， 而，所以． 令，则． 因为在上单调递减， 所以当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以， 而，所以． 综上，．  【解析】本题考查新定义与导数、零点、等差数列的综合，考查数学抽象、数学运算与逻辑推理的核心素养，属于难题． 利用新定义计算即可 求出的解析式，利用导数求出的单调性和极值点，求出，由等差数列的求和公式即可求解 求出的零点情况，通过构造函数，利用导数求出单调性，由单调性即可求证不等式． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$