3.2 代数式的值 课时2 利用公式列代数式并求值 课件 2024-2025学年人教版七年级数学上册

第三章 代数式 3.2 代数式的值 第2课时 利用公式列代数式并求值 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 利用公式列代数式并求值 5. 课堂小结 2. 知识回顾 6. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 1.能够利用公式表示数量关系. 2.能够从实际问题出发，列代数式并代值计算. 学习目标 知识回顾 小学学过的公式： ‌一、平面图形公式‌ 1. 正方形：周长=边长×4，面积=边长×边长 2. 长方形：周长=(长+宽)×2，面积=长×宽 3. 三角形：面积=底×高÷2 4. 平行四边形：面积=底×高 5. 梯形：面积=(上底+下底)×高÷2 6. 圆：周长=圆周率×直径，面积=圆周率×半径×半径 ‌二、立体图形公式‌ 1. 长方体：体积=长×宽×高，表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 2. 正方体：体积=棱长×棱长×棱长，表面积=棱长×棱长×6 3. 圆柱：体积=底面积×高，表面积=底面的周长×高+两侧圆的面积 4. 圆锥：体积=1/3底面积×高 新课导入 某工厂生产了一种T型零件，该零件由两个长方形组成，其尺寸如图所示. （1）用含x，y的式子表示T型零件的周长； （2）用含x，y的式子表示T型零件的面积； 新课讲解 知识点 利用公式列代数式并求值 1. 如图，正方形ABCD和正方形ECGF的边长分别为a和6，点C，D，E在一条直线上，点B，C，G在一条直线上，将阴影部分的面积记为S阴影． (1)试用含a的代数式表示S阴影； (2)当a＝12时，比较S阴影与△BGF的面积的大小． 解：(1)由题意得S阴影＝S正方形ABCD＋S正方形CEFG－S△ABD－S△BGF ＝a2＋62－ a2－ ×6×(a ＋ 6) ＝a2＋36－ a2－3a－18＝ a2－3a＋18. (2)当a＝12时，S阴影＝×122－3×12＋18＝54， S△BGF＝ ×6×(6 ＋ 12)＝54，所以S阴影＝S△BGF 例 新课讲解 1. 如图所示，以正方形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，过这个顶点作正方形的对角线，已知正方形的边长为a. (1)用含a的代数式表示图中阴影部分的面积S；(结果保留π) (2)当a＝10时，求S的值．(结果保留π) 练一练 新课讲解 练一练 2. 如图所示，小明房间窗户的装饰物由三个半圆组成（半径分别相同）： (1) 用代数式表示窗户中能射进阳光部分的面积（窗框面积忽略不计，结果保留π）； (2) 若a=3，b=2，求窗户中部分能射进阳光的面积（π取3）． 解：(1) 窗户中能射进阳光部分的面积为：； (2) 当，时，窗户中能射进阳光部分的面积为： ． 新课讲解 例 2. 如图，将一张正方形纸片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方形纸盒，设这个正方形纸片的边长为a，这个无盖长方形盒子的高为h． (1)若a=18cm，h=4cm，则这个无盖长方形盒子的底面面积为_________； (2)用含a和h的代数式表示这个无盖长方体盒子的容积V=___________cm3； 解：（1）∵，∴这个无盖长方体盒子的底面面积为： 故答案为：； （2）这个无盖长方体盒子的容积， 故答案为：； 新课讲解 例 2. 如图，将一张正方形纸片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方形纸盒，设这个正方形纸片的边长为a，这个无盖长方形盒子的高为h． (3)若a=18cm，试探究：当h越大，无盖长方体盒子的容积V就越大吗？请举例说明． 解：（3）若，当越大，无盖长方体盒子的容积不一定就越大， ∵，当时，此时这个无盖长方体盒子的容积是： ． 当时，此时这个无盖长方体盒子的容积是：． 故当越大，无盖长方体盒子的容积不一定就越大． 新课讲解 练一练 1. 边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制作如图1无盖的长方体纸盒， (1) 该长方体纸盒的底面边长为 ；（请你用含，的代数式表示） (2) 若，，请你求出长方体纸盒的底面积为多少； 解：（1）根据图1，得底面的边长为， ∵底面为正方形，∴该长方体纸盒的底面边长为； （2）将，代入得，； 答：长方体纸盒的底面积为． 新课讲解 练一练 2. 边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪 两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制作如图2有盖的长方体纸盒， (1) 该长方体纸盒的体积为多少？（请你用含，的代数式表示） (2) 根据（3）的代数式，若，，请你求出该长方体纸盒的体积为多少？ 解：（1）裁剪后折叠成长方体的长为：，宽为，高为， ∴折叠后长方体的体积为：，即：； 答：长方体的体积为． （4）解：由（3）可知：，当，时，， 答：该长方体纸盒的体积为． 新课讲解 归纳 (1) 在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． (2) 要注意书写的规范性，用字母表示数以后，在含有字母与数的乘法中，通常将“×”简写作“·”或者省略不写． (3) 在数和表示数的字母的乘积中，一般把数写在字母的前面． (4) 含有字母的除法，一般不用“÷”，而是写成分数的形式． 课堂小结 利用公式求代数式的值 几何图形公式 列代数式求值 面积 周长 当堂小练 1. 如图，是一个长为a，宽为b的长方形，两个阴影图形都是一对底边长为1，且底边在长方形对边上的平行四边形． (1)用含字母a，b的代数式表示长方形中空白部分的面积； (2)当a=4，b=3时，求长方形中空白部分的面积． 解：（1）矩形中空白部分的面积 ； （2）当a=4，b=3时，． 【分析】（1）矩形中空白部分的面积等于矩形面积减去两个平行四边形的面积即可； （2）把，代入（1）中代数式进行计算即可得到答案． 当堂小练 2. 已知，如图，某长方形广场的四角都有一块边长为x米的正方形草地，若长方形的长为a米，宽为b米． (1)请用代数式表示阴影部分的面积； (2)若长方形广场的长为20米，宽为10米，正方形的边长为1米，求阴影部分的面积． 解：（1）∵某长方形广场的四角都有一块边长为x米的正方形草地，若长方形的长为a米，宽为b米． ∴由图可得，阴影部分的面积是()平方米； （2）当a=20，b=10，x=1时， （平方米）， 即阴影部分的面积是196平方米． 当堂小练 3. 如图，红军西征胜利纪念馆要在两块紧挨在一起的长方形荒地上修建一个半圆形花圃，尺寸如图所示（单位：米）． (1)求阴影部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当x=10，求阴影部分的面积（结果保留π）． 解：（1）阴影面积 （2）当时，阴影面积 当堂小练 4. 如图，“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，一枚圆形方孔钱的外半径为r，中间方孔边长为a．（单位：mm） (1) 这枚圆形方孔钱的面积为____________mm2；（用含r，a的代数式表示） (2) 当r=10，a=6时，求这枚圆形方孔钱的面积．（π取3.14） 【分析】（1）圆形方孔钱的面积为圆面积与正方形面积之差， （2）把已知值代入代数式中即可． 解：（1）由题意，得这枚圆形方孔钱的面积为. 故答案为：； （2）当时， 答：这枚圆形方孔钱的面积为． 当堂小练 5. 如图，在一个底为acm，高为hcm的三角形铁皮上剪去一个半径为rcm的半圆． (1)用含a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积； (2)求当a=20，h=15，r=4时剩下的铁皮面积（π取3）． 解：(1) ； (2)当，，，时， ． 当堂小练 6. 将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，设包装盒底面的长为x (1) 用x表示包装盒的体积 (2) 用x表示包装盒的表面积 (3) 如果x=9，分别求包装盒的体积和表面积 解：（1）包装盒底面的长为，包装盒的宽为：， 包装盒的高为：， ∴包装盒的体积为：． （2）包装盒的表面积为：； （3）当时，包装盒的体积为：， 包装盒的表面积为：． 当堂小练 7. 窗户的形状如图所示，上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长是a米，图中窗框均为塑钢材质，如果整个窗户的外框部分为A型塑钢材质，里面的窗框为B型塑钢材质，其余部分都是透光玻璃，（π取3） (1) 用含a的式子表示这个的窗户的透光面积是多少？（窗框部分忽略不计） 【分析】（1）利用正方形的面积加上半圆的面积即可； 解：（1）窗户的面积（平方米）， 答：窗户的面积为平方米； 当堂小练 7. 窗户的形状如图所示，上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部的小正方形的边长是a米，图中窗框均为塑钢材质，如果整个窗户的外框部分为A型塑钢材质，里面的窗框为B型塑钢材质，其余部分都是透光玻璃，（π取3） (2) 如果a=0.5米，A型塑钢材质为每米250元，B型塑钢材质每米180元，玻璃价格 为每平米40元，现有甲、乙两个公司作为选择 甲公司：每满500元可以减60元； 乙公司：如果总价格超过1000元，可以总价格打九折．如何选择可以使总价格最省？ 【分析】（2）先分别求解外部的周长，里面使用材料的总长，再列式计算总价，再根据两个公式的优惠计算费用，再比较即可． 解：（2）∵图形外部周长为：（米），内部材料长为：（米）， ∵A型塑钢材质为每米250元，B型塑钢材质每米180元，玻璃价格为每平米40元， ∴总价为：（元）， 选择甲公司付钱：（元），选择乙公司付钱：， ∵，∴选择乙公司便宜． 当堂小练 8. 实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题． (1)【知识生成】一个长为，宽为的长方形如图1 所示，沿图中虚线用剪刀将该长方形平均分成4个 小长方形，然后用这4个小长方形拼成如图2所 示的图形.观察图形，写出一个，， 三者之间的等量关系式：___________________________； 解：（1）图2中大正方形边长为，则面积可以表示为； 图2中的边上的四个小长方形面积可以表示为，中间空白的小正方形边长为，则面积可以表示为，那么，； 当堂小练 8. 实践探究：我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题． (2)【知识应用】运用（1）中的结论，若，，求的值； (3)【类比迁移】如题3图，若，，求阴影部分的面积． 解：（2）∵；，， ∴； （3）∵，， ∴，即． ∴．∴．∴阴影部分的面积为16． 解：(1)根据题意得，阴影部分的面积 S＝a2－＝a2－a2. (2)当a＝10时，S＝a2－a2＝×102－×102＝50－. $$