专题01 相似形与比例线段（考点清单，知识导图+5个考点清单+6种题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

专题01 相似形与比例线段（考点清单，知识导图+5个考点清单+6种题型解读） 相似形 相似形定义 比例线段 相似三角形 性质 定义 性质 黄金分割 三角形一边的平行线 性质定理 判定定理 推论 推论 平行线分线段成比例定理 特例 基本性质、合比、等比性质 【清单01】相似形 【清单02】比例线段 【清单03】三角形一边的平行线 【清单04】三角形的重心 【清单05】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例； 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【考点题型一】相似图形（共5小题） 【例1】（2023秋•金山区校级期中）下列两个图形一定相似的是　　 A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【变式1-1】（2023秋•长宁区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似 【变式1-2】（2023秋•虹口区期中）下列各组图形中，一定相似的是　　 A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 【变式1-3】（2023秋•闵行区期中）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是　　 A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 【变式1-4】（2023秋•松江区期中）下列说法正确的个数有　　 ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似； ④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型二】比例的性质（共5小题） 【例2】（2023秋•普陀区期中）已知，则的值是　　 A． B． C．9 D． 【变式2-1】（2023秋•闵行区期中）如果，那么的值是 　　． 【变式2-2】（2023秋•金山区校级期中）已知，那么的值等于 　　． 【变式2-3】（2023秋•崇明区期中）已知：，求的值． 【变式2-4】（2023秋•松江区校级月考）若，且，求，，的值． 【考点题型三】比例线段（共5小题） 【例3】（2023秋•浦东新区校级期中）下列各组中的四条线段成比例的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式3-1】（2023秋•松江区期中）已知、、、都不为，则下列各式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【变式3-2】（2023秋•长宁区校级期中）已知线段是线段、的比例中项，如果，，那么　　． 【变式3-3】（2023秋•崇明区期中）在比例尺为的地图上，某两地图距为2厘米，那么这两地的实际距离是　　千米． 【变式3-4】．（2023秋•松江区月考）已知：线段，、，且． （1）求的值； （2）如果线段、、满足，求的值． 【考点题型四】黄金分割（共5小题） 【例4】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，若点是线段的黄金分割点，，则的长度是　　 A．5 B． C． D． 【变式4-1】（2023秋•宝山区期中）已知线段的长为4，点为线段上的一点，且．那么线段　　． 【变式4-2】（2023秋•闵行区期中）如图，点是的边的黄金分割点，，作交边于点，那么　　． 【变式4-3】（2022秋•嘉定区期中）已知点、、在一条直线上，，且，求的长． 【变式4-4】（2022秋•宝山区校级月考）已知点在线段上，且满足． （1）若，求的长； （2）若比大2，求的长． 【考点题型五】三角形的重心（共5小题） 【例5】（2023秋•普陀区期中）已知在中，是中线，是重心，如果，那么　　． 【变式5-1】（2023秋•黄浦区期中）已知点是等腰直角三角形的重心，，那么的长为 　　． 【变式5-2】（2023秋•金山区校级期中）在中，点是重心，，，那么的长为　　． 【变式5-3】（2023秋•闵行区期中）边长为2的等边三角形的重心到边的距离是 　　． 【变式5-4】（2022秋•青浦区校级月考）如图，为的重心，，求的值． 【考点题型六】平行线分线段成比例（共9小题） 【例6】（2023秋•普陀区期中）如图，在平行四边形中，点是边延长线一点，交于点，下列各式中可能错误的是　　 A． B． C． D． 【变式6-1】（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段、，求作线段，使，正确的作法是　　 A． B． C． D． 【变式6-2】（2023秋•崇明区期中）如图，已知，是的中线，是的中点，则　 　． 【变式6-3】（2023秋•宝山区期中）如图，点、、和点、、分别位于同一条直线上，如果，且，，那么　　． 【变式6-4】（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于 　 　． 【变式6-5】（2023秋•松江区校级月考）已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，联结并延长交的延长线于点，求的值． 【变式6-6】（2023秋•松江区月考）已知：如图，，，，，，求，的长． 【变式6-7】（2023秋•长宁区校级月考）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点． （1）求线段的长； （2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值． 【变式6-8】（2023秋•浦东新区校级月考）如图：已知在平行四边形中，是上一点，与相交于点，与的延长线相交于点，已知，． 求、的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似形与比例线段（考点清单，知识导图+5个考点清单+6种题型解读） 相似形 相似形定义 比例线段 相似三角形 性质 定义 性质 黄金分割 三角形一边的平行线 性质定理 判定定理 推论 推论 平行线分线段成比例定理 特例 基本性质、合比、等比性质 【清单01】相似形 【清单02】比例线段 【清单03】三角形一边的平行线 【清单04】三角形的重心 【清单05】平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例； 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【考点题型一】相似图形（共5小题） 【例1】（2023秋•金山区校级期中）下列两个图形一定相似的是　　 A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解． 【解答】解：、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； 、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； 、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键． 【变式1-1】（2023秋•长宁区校级期中）下列说法中，正确的是　　 A．两个矩形必相似 B．两个含角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含角的直角三角形必相似 【分析】直接利用相似图形的判定方法得出答案． 【解答】解：、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误； 、两个含角的等腰三角形，不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误； 、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误； 、两个含角的直角三角形必相似，故此选项正确． 故选：． 【点评】此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键． 【变式1-2】（2023秋•虹口区期中）下列各组图形中，一定相似的是　　 A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 【分析】根据相似图形的概念进行判断即可． 【解答】解：、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意， 、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； 、任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； 、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键． 【变式1-3】（2023秋•闵行区期中）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是　　 A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数 【分析】根据相似图形的性质解答． 【解答】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数， 故选：． 【点评】本题考查了相似图形，熟记相似图形的性质是解题的关键． 【变式1-4】（2023秋•松江区期中）下列说法正确的个数有　　 ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似； ④所有的等腰三角形都相似． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据形状相同的图形称为相似图形，对于相似多边形的对应边成比例，对应角相等，分别判断得出答案． 【解答】解：①所有正方形都相似，故此选项符合题意； ②所有的矩形都相似，矩形对应边不一定成比例，故此选项不合题意； ③所有的菱形都相似，菱形对应角不一定相等，故此选项不合题意； ④所有的等腰三角形都相似，等腰对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故此选项不合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似多边形的判定方法是解题关键． 【考点题型二】比例的性质（共5小题） 【例2】（2023秋•普陀区期中）已知，则的值是　　 A． B． C．9 D． 【分析】根据比例的性质得，代入所求的式子计算即可． 【解答】解：， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质． 【变式2-1】（2023秋•闵行区期中）如果，那么的值是 　　． 【分析】先把化成，再把代入计算即可． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，较简单． 【变式2-2】（2023秋•金山区校级期中）已知，那么的值等于 　　． 【分析】把化成，再进行计算即可得出答案． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了比例的性质，把化成是解题的关键． 【变式2-3】（2023秋•崇明区期中）已知：，求的值． 【分析】根据：，可以设，则，．代入所求解析式即可求解． 【解答】解：设，则，（2分） 原式（2分） （2分） （1分） 【点评】本题运用的设未知数的方法是解题过程中经常用到的，需要熟练掌握． 【变式2-4】（2023秋•松江区校级月考）若，且，求，，的值． 【分析】设比值为，然后用表示出、、，再代入等式求出的值，从而得解． 【解答】解：设， 则，，， 代入得，， 解得， 所以，，，． 【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设法”求解更简便． 【考点题型三】比例线段（共5小题） 【例3】（2023秋•浦东新区校级期中）下列各组中的四条线段成比例的是　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【分析】根据成比例线段的性质，即可求得答案．注意排除法的应用． 【解答】解：、，，，，，，，故本选项错误，不符合题意； 、，，，，，故本选项正确，符合题意； 、，，，，，，，故本选项错误，不符合题意； 、，，，，，，，故本选项错误，不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了比例线段的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记定理． 【变式3-1】（2023秋•松江区期中）已知、、、都不为，则下列各式一定成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求． 【解答】解：、由，得，故本选项不符合题意； 、由，得，故本选项符合题意； 、由，得，故本选项不符合题意； 、由，得，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键． 【变式3-2】（2023秋•长宁区校级期中）已知线段是线段、的比例中项，如果，，那么　　． 【分析】由比例中项的定义，得到，即可求出线段的长． 【解答】解：线段是线段、的比例中项， ， ，， （舍去负值）． 故答案为：． 【点评】本题考查比例线段，关键是掌握比例中项的概念． 【变式3-3】（2023秋•崇明区期中）在比例尺为的地图上，某两地图距为2厘米，那么这两地的实际距离是　10　千米． 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【解答】解：设这两地的实际距离是厘米，则： ， 解得． 1000000厘米千米． 故答案为10． 【点评】本题考查了比例线段，比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算． 【变式3-4】．（2023秋•松江区月考）已知：线段，、，且． （1）求的值； （2）如果线段、、满足，求的值． 【分析】（1）设，，，代入化简即可； （2）根据题意求出的值代入求解即可． 【解答】解：． 设，，， （1）； （2）， ， ， ． 【点评】本题考查了代数式求值，运用设法求解是解题的关键． 【考点题型四】黄金分割（共5小题） 【例4】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，若点是线段的黄金分割点，，则的长度是　　 A．5 B． C． D． 【分析】根据点是线段的黄金分割点，可得，进一步求解即可． 【解答】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金比是解题的关键． 【变式4-1】（2023秋•宝山区期中）已知线段的长为4，点为线段上的一点，且．那么线段　　． 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入数据即可得出的长． 【解答】解：是线段上的一点，且满足， 为线段的黄金分割点，且是较长线段， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 【变式4-2】（2023秋•闵行区期中）如图，点是的边的黄金分割点，，作交边于点，那么　　． 【分析】先利用黄金分割的定义得到，再证明，然后利用相似比得到的比值． 【解答】解：点是的边的黄金分割点，， ， ， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 【变式4-3】（2022秋•嘉定区期中）已知点、、在一条直线上，，且，求的长． 【分析】分三种情况：当点在线段上，当点在线段的延长线时，当点在线段的延长线时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分三种情况： 当点在线段上，如图： ， 点是的黄金分割点， ； 当点在线段的延长线时，如图： 设，则， ， ， 整理得：， 原方程没有实数根； 当点在线段的延长线时，如图： 设，则， ， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 的长为； 综上所述，的长为或． 【点评】本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键． 【变式4-4】（2022秋•宝山区校级月考）已知点在线段上，且满足． （1）若，求的长； （2）若比大2，求的长． 【分析】（1）根据已知可得点是线段的黄金分割点，从而可得，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可设，则，从而可得，然后根据，可得，从而进行计算即可解答． 【解答】解：（1）点在线段上，且满足， 点是线段的黄金分割点， ， 的长为； （2）比大2， 设，则， ， ， ， 解得：，（舍去）， ， 的长为． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【考点题型五】三角形的重心（共5小题） 【例5】（2023秋•普陀区期中）已知在中，是中线，是重心，如果，那么　6　． 【分析】根据三角形重心的性质即可求出的长． 【解答】解：是的重心，且是中线， ． 故答案为：6． 【点评】此题考查了三角形重心性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 【变式5-1】（2023秋•黄浦区期中）已知点是等腰直角三角形的重心，，那么的长为 　　． 【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可． 【解答】解：是等腰直角的重心，， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键． 【变式5-2】（2023秋•金山区校级期中）在中，点是重心，，，那么的长为　8　． 【分析】根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 进而可得的长． 【解答】解：如图所示： 点是重心， 点是的中点，， ，， ， ， 答：的长为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了三角形的重心，解决本题的关键是掌握三角形的重心定义和性质． 【变式5-3】（2023秋•闵行区期中）边长为2的等边三角形的重心到边的距离是 　　． 【分析】根据等边三角形的性质、勾股定理求出高，根据重心的性质计算即可． 【解答】解：如图，为等边三角形，过作，交于点， 则，， 在中，由勾股定理可得：， 则重心到边的距离是为：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是三角形的重心的概念、等边三角形的性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键． 【变式5-4】（2022秋•青浦区校级月考）如图，为的重心，，求的值． 【分析】为的重心，判断出点是边的中点，即可判断出；即可得出，求出即可得出结论． 【解答】解：点为的重心， ， ， ， 点为的重心， 点是边的中点， ； 点为的重心， ， ， ， ． 【点评】此题主要考查了三角形的重心的性质和应用以及相似，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心就是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为． 【考点题型六】平行线分线段成比例（共9小题） 【例6】（2023秋•普陀区期中）如图，在平行四边形中，点是边延长线一点，交于点，下列各式中可能错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解． 【解答】解：， ，所以选项不符合题意； ， ， ， ，所以选项不符合题意； ， ， ， ， ，所以选项不符合题意； ， ， ，所以选项符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练利用相似三角形的性质是解答本题的关键． 【变式6-1】（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段、，求作线段，使，正确的作法是　　 A． B． C． D． 【分析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段、和，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段． 【解答】解：由题意， ， 线段没法先作出， 选项错误， 根据平行线分线段成比例定理，只有符合． 故选：． 【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意找准线段的对应关系．需要注意选项看似正确，实际上前面的线段没法作出，应该先作出已知线段，所以很多学生容易误选导致出错． 【变式6-2】（2023秋•崇明区期中）如图，已知，是的中线，是的中点，则　　． 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，，得到，，计算即可． 【解答】解：过点作，交于， 则，， 是的中线，是的中点， ，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【变式6-3】（2023秋•宝山区期中）如图，点、、和点、、分别位于同一条直线上，如果，且，，那么　6　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：， ， ，， ， 解得：， 故答案为：6． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【变式6-4】（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，，，且，那么等于 　　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【解答】解：， ， ， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 【变式6-5】（2023秋•松江区校级月考）已知，如图，在中，为的中点，点是上一点，且，联结并延长交的延长线于点，求的值． 【分析】过点作交于点，得出，，推出即可得出结果． 【解答】解：如图，过点作交于点， 则，， 为的中点， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式6-6】（2023秋•松江区月考）已知：如图，，，，，，求，的长． 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【解答】解：， ，， ，，，， ， ，， ， ， ， ，． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 【变式6-7】（2023秋•长宁区校级月考）如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点． （1）求线段的长； （2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可． 【解答】解：（1）平分，， ， 在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ， ， ； （2）如图， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ． 【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系． 【变式6-8】（2023秋•浦东新区校级月考）如图：已知在平行四边形中，是上一点，与相交于点，与的延长线相交于点，已知，． 求、的长． 【分析】由四边形是平行四边形，即可得，根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由，，即可求得的长；又由，，即可求得的长． 【解答】解：四边形是平行四边形， ．（1分） ．（1分） ，， ．（1分） ．（2分） 由题意知：． ， ．（1分） 又， ．（1分） 又， ．（1分） ．（2分） 【点评】此题考查了平行四边形的性质与平行线分线段成比例定理．此题图形较复杂，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$