专题01 数的整除（考点串讲，新教材补充，10个常考点+8种重难点题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年六年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

六年级沪教版（2024）数学上册期中考点大串讲 专题01 数的整除 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 十大常考点：知识梳理 八大题型典例剖析+举一反三 四大易错易混经典例题 精选5道期中真题对应考点练 数的整除 奇数与偶数 因数与倍数 素数与合数 能被2、3、4、5、7、8、9、10、11、13、25、125整除的数的特征 分解素因数 整除 互素 公因数 最大公因数 公倍数 最小公倍数 一个数 整数间关系 考点透视 1.正整数、自然数、整数 1.零和正整数统称为自然数. 2.正整数、零和负整数统称为整数. 整数的分类 自然数 分类思想！ 集合思想！ 正整数 零 负整数 考点一：整数的意义和分类 考点二：整除 整数a除以整数b,如果除得的商是整数且余数为零,我们就说a能被b整除;或者说b能整除a. 三整一零 考点三：奇数与偶数 奇数：不能被2整除的整数叫奇数； 偶数：能被2整除的整数叫偶数. 奇数±奇数=偶数；偶数×偶数=偶数；奇数±偶数=奇数； 偶数×奇数=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数×奇数=奇数； 　　　偶数±偶数=偶数. 偶数用2n表示，奇数用2n-1表示，其中n为正整数. 考点四：素数与合数 素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数也叫质数； 合数：如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数. 100以内的素数表： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 考点五:能被2、3、5等数整除的数的特征 被2整除：偶数；末尾0、2、4、6、8； 被5整除：末尾0、5； 被3、9整除：数码和被3、9整除； 被4、25整除：末两位被4、25整除； 被8、125整除：末三位被8、125整除； 考点六：因数与倍数 例如：6能被2整除 因数和倍数是相互依存的 1.一个整数有无数个倍数； 2.一个整数没有最大的倍数，最小的倍数就是它本身； 3.一个整数最大的因数是它本身，最小的因数是1. 整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或称为约数）. 6是2的倍数，2是6的因数。 考点七：互素 1、素数： 2、又是奇数，又是合数： 3、又是素数，又是偶数： 4、_____既不是素数，也不是合数。 5、连续的两个自然数都是素数： 6、连续的两个自然数都是合数： 7、两个素数一定互素？ 8、两个合数一定不互素？ 20以内： 2，3，5，7，11，13，17，19 9，15 2和3 1 8和9，9和10，14和15，15和16 × × 互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。 两两互素：几个数中任意取两个数都互素时，称这几个数两两互素。 考点八：分解素因数 把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。 分解素因数的三种方法：树枝分解法、短除法、机算法 210 105 35 7 2 3 5 练习1 用短除法将210分解素因数. 解： 所以210=2×3×5×7. 考点九：公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数. 1、若两个数互素，则它们的最大公因数是1。 2、若两个数之间存在倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的一个数。 考点十：公倍数和最小公倍数 几个整数的公有倍数叫做它们的公倍数；其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 1、若两个数互素，则它们的最小公倍数是它们的乘积。 2、若两个数之间存在倍数关系，则它们的最小公倍数是其中较大的一个数。 1.最小的自然数是 ____ ． 【解析】解：∵自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数， ∴最小的自然数是0， 故答案为：0． 0 题型剖析 题型一：整数的认识 14 2.下列算式中，表示整除的算式是( ____ ) A.0.8÷0.4=2 B.16÷3=5⋯⋯1 C.8÷16=0.2 D.2÷1=2 【解析】解：A、0.8÷0.4=2，除数不是整数，故A不符合题意； B、16÷3=5…1，商有余数，故B不符合题意； C、8÷16=0.2，商不是整数，故C不符合题意； D、2÷1=2，属于整除，故D符合题意． 故选：D． D 题型二：数的整除 15 3.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是( ____ ) A.1和2 B.2和1 C.1和0.5 D.0.5和1 【解析】解：1÷2=0.5， 2÷1=2， ∵第一个数能被第二个数整除， ∴第一个数是整数，第二个数也是整数，排除C、D， 故选：B． B 16 4.如果正整数a能整除23，那么a是( ____ ) A.46 B.23 C.任何自然数 D.1或23 【解析】解：∵正整数a能整除23， ∴a是1或23． 故选：D． D 17 题型三：素数与合数 5.写出大于80小于90的正整数中的所有素数 ________ ． 83，89 【解析】解：大于80小于90的正整数中的素数有：83，89． 故答案为：83，89． 6.下面各数中，与6互素的合数是( ____ ) A.5 B.10 C.25 D.30 C 【解析】解：在5，10，25，30中，与6互素的合数是25， 故选：C． 题型四:能被2、3、5等数整除的数 7.在数6、11、45、52、203中，能被2整除的数有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 【解析】解：6、11、45、52、203中，能被2整除的数有6，52， ∴能被2整除的数有2个．故选：B． 8.100以内能同时被3，5整除的最大奇数是( ____ ) A.75 B.90 C.95 D.96 A 【解析】解：75=3×5×5， 100以内能同时被3和5整除的最大奇数是75． 故选：A． 9.能同时被2、3、5整除的最大三位数和最小的三位数是( ____ ) A.996、120 B.990、102 C.990、120 D.995、105 【解析】解：能同时被2，3，5整除的数一定是2×3×5=30的倍数， 所以能同时被2、3、5整除的最大三位数和最小的三位数分别是990、120， 故选：C． C 20 题型五：因数与倍数 10.36的全部因数的个数有( ____ ) A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 D 【解析】解：根据因数的定义，可得36的全部因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36，共9个． 故选：D． 11.18的因数有 __________________ ． 1、2、3、6、9、18 【解析】解：根据因数的定义，可得18的因数有：1、2、3、6、9、18 故答案为：1、2、3、6、9、18． 12.20以内的正整数中，2和3的公倍数有 ___________ ． 【解析】解：2和3的最小公倍数是：6， 6×2=12＜20， 6×3=18＜20， 6×4=24＞20， 故答案为：6，12，18． 6，12，18 13.在正整数18、4、3中， ____ 是 ____ 的倍数． 18 3 【解析】解：在正整数18、4、3中，18是3的6倍， 所以18是3的倍数． 故答案为：18，3． 22 题型六：分解素因数 14.分解素因数：30= ________ ． 2×3×5 【解析】解：把30分解质因数：30=2×3×5； 故答案为：2×3×5． 15.用短除法将下列各数分解素因数． (1)40； (2)114． 【解析】解：(1)__ ∴40=2×2×2×5； (2)__ ∴114=2×3×19． 23 题型七：最大公因数及其应用 16.已知m=2×2×2×3，n=2×2×3，那么m和n的最大公因数是( ____ ) A.24 B.12 C.1 D.6 B 【解析】解：∵m=2×2×2×3，n=2×2×3， ∴m、n的最大公因数是2×2×3=12， 故选：B． 17.12和32的最大公因数是 ____ ． 4 【解析】解：12=3×4，32=4×8， 根据最大公因数的定义，可得12和32的最大公因数是4， 故答案为：4． 24 18.有一张长方形纸片，长为36厘米，宽为24厘米，如果要把这张纸片裁剪成大小相等的正方形纸片，而且没有剩余，裁出的正方形纸片的张数最少为 ____ 张． 【解析】解：36和24的最大公因数：12， 36÷12=3， 24÷12=2， 3×2=6， 故答案为：6． 6 25 19.一个长方形操场，长90米，宽70米，在四角和四周种上树苗，使得相邻的两棵树苗间的距离都相等，问最远应每隔多少米种一棵？一共需要多少棵树苗． 【解析】解：90=2×3×3×5，70=2×5×7， ∴90和70的最大公因数为：2×5=10， ∴最远应每隔10米种一棵， 一共需要树苗棵树为： (90+70)×2÷10=32(棵)， 答：最远应每隔10米种一棵，一共需要32棵树苗． 26 题型八：最小公倍数及其应用 20.12和15的最小公倍数是 ____ ． 60 【解析】解：12=2×2×3，15=3×5， 根据最小公倍数的定义，可得12和15的最小公倍数是3×2×2×5=60． 故答案为：60． 21.a=2×2×3×5，b=2×3×3，则a、b两数的最小公倍数是 _____ ． 180 【解析】解：a=2×2×3×5，b=2×3×3， 则a、b两数的最小公倍数是2×3×2×5×3=180． 故答案为：180． 27 22.用短除法求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数． (1)12和32； (2)23和92． 【解析】解：(1)由题意可得， ___ ∴2×2=4，2×2×3×8=96， ∴12和32的最大公因数是4，最小公倍数是96； (2)∵92÷23=4， ∴23和92的最大公因数是23，最小公倍数是92． 28 23.学校组织六年级部分学生参加春季植树活动，规定参加此活动的人数在30至50人之间．实际参加植树的学生，如果分成4人一组；或者6人一组；或者8人一组，都恰好分完，那么实际参加植树的学生共有 ____ 人 【解析】解：4、6和8的公倍数是：24，48，72…， 48在30至50之间， 故答案为：48． 48 29 24.有一块长48厘米，宽28厘米的长方形地砖， (1)若把它截成边长是整数厘米且面积都相等的小正方形地砖，恰无剩余，至少能截多少块？ (2)如果用这个长方形地砖铺成一个大的正方形地面，那么至少需要这样的长方形地砖多少块？ 【解析】解：(1)48和28的最大公因数：4， 48÷4=12(块)，28÷7=4(块)，12×4=48(块)， 答：至少能截48块． (2)48和28的最小公倍数：336， 336÷48=7(块)，336÷28=12(块)，12×7=84(块)， 答：至少要这样长方形地砖84块． 30 例题1 整除与被整除 (1)能整除15的数有 ； (2)正整数a能整除19，那么a= ； 易错分析 a能整除b说明a是b的因数. a能被b整除说明a是b的倍数. 1,3,5,15. 1,19. 易错易混 例题2 找因数的个数 (1)A=2×3×5，那么A的全部因数有 个. (2)A=a×a×b×b×b×c，其中a、b、c都是素数，那么A全部因数有 个（除1外） 易错分析 A=a×a×b×b×b×c，其中a、b、c都是素数 A的因数有(每个因数个数+1)的积. 8 24 例题3 公因数 8的因数是 ；12的因数是 ； 8和12公共的素因数是 ； 8和12的公因数 ； 8和12的公倍数是 . 易错分析 公因数是最大公因数的因数； 公倍数是最小公倍数的倍数. 1,2,4,8 1,2,4 1,2,3,4,6,12 2,2. 24,48… 例题4 素因数 210分解素因数是 ； 210素因数有是 ； 210素因数有是 个； 210的因数有 个； 易错分析 公因数是最大公因数的因数； 公倍数是最小公倍数的倍数. 210=2×3×5×7. 4 2,3,5,7. 16 押题预测 1.（2023秋•浦东新区期中）下列算式中，第一个数能整除第二个数的是( ____ ) A.2.5和5 B.25和5 C.25和75 D.0.5和0.5 C 【解析】解：A、5÷2.5=2，除数是小数，故此选项不符合题意； B、5÷25=0.2，商是小数，故此选项不符合题意； C、75÷25=3，故此选项符合题意； D、0.5÷0.5=1，被除数和除数都是小数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2.（2022秋•杨浦区期中）下列各式中表示分解素因数的式子是( ____ ) A.2×3=6 B.28=2×2×7 C.12=4×3×1 D.30=5×6 【解析】解：根据素因数的概念可知： 28=2×2×7是分解素因数； 2×3=6不是分解素因数； 12=4×3×1，30=5×6是错误分解素因数． 故选：B． B 36 3.（2023秋•普陀区期中）在数14，20，32，45，230中，既能被2整除，又能被5整除的数有 _________ ． 【解析】解：既能被2整除，又能被5整除的数有20，230． 故答案为：20，230． 20，230 37 4.（2023秋•普陀区期中）已知a=2×3×5×k,b=2×3×7×k； (1)如果a,b两数的最大公因数是30，求k的值和a、b的最小公倍数； (2)如果a,b两数的最小公倍数是630，求k的值和a、b的最大公因数． 【解析】解：(1)∵a,b两数的最大公因数是30， ∴2×3×k=30，解得k=5， 则a=2×3×5×5=150，b=2×3×7×5=210， ∴a、b的最小公倍数为2×3×5×5×7=1050． (2)∵a,b两数的最小公倍数是630， ∴2×3×5×7×k=630， 解得k=3， 则a、b的最大公因数为2×3×3=18． 38 5.（2022秋•宝山区期中）楚汉争霸时，数十员战将齐聚韩信帐下听从命令是一种常态， (1)某日清晨，值日官赶到帐前时发现已经有多位将官在帐外等候指示了，而且无论他三个三个数，还是五个五个数，总是多出一个，问这时至少到了多少人？ (2)值日官将诸将请入大帐，这时又有几员大将赶到，而此时再数一数则：三个三个数余二，五个五个数余三、七个七个数余二，问这时至少到了多少人？ (3)又过了一会，众将陆续到来，这时值日官又一次环视，发现：三个三个数余两人，五个五个数余三人，而七个七个数则余四人．问此刻至少到了多少人？ 39 【解析】解：(1)3和5的最小公倍数为15，由题可知，15+1=16(人)． 答：这时至少到了16人； (2)3、5、7的最小公倍数为105， 又知三个三个数余二，五个五个数余三、七个七个数余二， 故2×70+3×21+2×15=233，233÷105=2⋯23．故至少到了23人． 答：这时至少到了23人； (3)3、5、7的最小公倍数为105， 又知三个三个数余两人，五个五个数余三人，而七个七个数则余四人， 所以2×70+3×21+4×15=263， 263÷105=2⋯53．故至少到了53人． 答：此刻至少到了53人． 40 $$