广东省珠海市第一中学2024-2025学年高一上学期第三周数学周末练

高一（上）第三周周末练20240921 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．有下列四个命题: ①最小的自然数是0; ②空集是任何集合的子集． ③若，则; ④方程的解集可表示为. 其中正确命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知命题p：存在a0∈(－∞，0)，a02－2a0－3>0，那么命题p的否定是（    ） A．存在a0∈(0，＋∞)，a02－2a0－3≤0 B．存在a0∈(－∞，0)，a02－2a0－3≤0 C．对任意a∈(0，＋∞)，a2－2a－3≤0 D．对任意a∈(－∞，0)，a2－2a－3≤0 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．用表示非空集合中元素个数，定义，若，，且，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．下列结论中，正确的是 ①命题“如果，则”的逆否命题是“如果，则”； ②已知为非零的平面向量．甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件； ③是周期函数，是周期函数，则是真命题； ④命题的否定是：． A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④ 7．直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 8．集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 9．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（         ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若，则 C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式恒成立 10．使ab>0成立的充分条件是（    ） A．a>0，b>0 B．a＋b>0 C．a<0，b<0 D．a>1，b>1 11．已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（    ） A． B． C． D．且 三、填空题 12．已知集合，，则＝ ． 13．如果命题：，命题：方程无实根，那么是的 条件. 14．若规定集合的子集为的第个子集,其中,则的第25个子集是 . 四、解答题 15．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. （1）第三象限内所有点组成的集合； （2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合； （3）所有被5除余2的奇数组成的集合. 16．（1）已知m是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． （2）设．证明：若是奇数，则n也是奇数． 17．已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 18．非空有限集合是由若干个正实数组成,集合的元素个数.对于任意，数或中至少有一个属于，称集合是“好集”:否则,称集合是“坏集”. （1）判断和是“好集”,还是“坏集”； （2）题设的有限集合中,既有大于1的元素,又有小于1的元素,证明:集合是“坏集”. 19．（1）已知命题，当命题为假命题时，求实数的取值范围； （2）已知，是实数，求证：成立的充要条件是. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 高一（上）第三周周末练参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D C D C C C ABD ACD 题号 11 答案 ACD 5．D 【分析】由题意，可确定，根据，可得或，然后解集合中的方程，根据根的个数，讨论的范围，从而得到答案. 【详解】集合中的方程，其 所以 因为定义，且， 所以或， 即集合中的方程，有个根或者个根， 而当时，方程一定有根， 所以集合中的方程，有个不同的根， 则需方程以及必须各有两不同的根， 从而得到， 所以或. 故选：D. 6．C 【详解】试题分析：①中，根据命题的逆否关系，可知命题“如果，则”的逆否命题是“如果，则”；，所以是正确的；②中，乙：，根据向量的数量积公式，能推出甲：的等价条件是，反之推不出，所以是正确的；③中，不是周期函数， 所以是假命题；④中，根据存在性命题的否定可知：命题的否定是：，所以是正确的． 考点：全称命题与存在命题；命题的否定． 7．C 【解析】直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法． 【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意； 选项，则且，即除去两点､，符合题意； 选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点． 故选：C 8．C 【分析】先求出集合B，再写出集合B的真子集，即得真子集的个数. 【详解】由题得B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}. 所以集合的真子集如下： ∴集合的真子集个数7个. 9．ABD 【详解】A选项，矩形的对角线互相平分且相等，为全称量词命题，且是真命题，A正确；B选项，对任意非正数c，若，则，为全称命题，且是真命题，B正确；C选项，有些菱形不是平行四边形为存在量词命题，C错误；D选项，对任意实数x，不等式恒成立，为全称量词命题， 因为，故不等式恒成立，为真命题，D正确. 10．ACD【详解】由，可以推出，反之不成立，故A满足题意； 当时满足，但不满足，故B不满足题意； 由，可以推出，反之不成立，故C满足题意； 由，可以推出，反之不成立，故D满足题意． 11．ACD 【分析】把三次方程因式分解求根，即可化简集合B，然后利用集合关系即可判断. 【详解】对于选项A，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项A正确； 对于选项B，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，所以选项B错误； 对于选项C，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，所以选项C正确； 对于选项D，因为，所以是方程的解， 所以方程变形为， 因为，所以方程无解， 所以方程有唯一解， 所以，满足，所以选项D正确； 故选：ACD. 12． 13．必要不充分【分析】求出命题中的取值范围，再根据充分性和必要性的概念判断即可. 【详解】命题：方程无实根 则，解得 因为不能推出，但可以推出 故是的必要不充分条件. 14．【分析】根据子集的定义将表示为，求出，即可求解 【详解】， ，的第25个子集是， 15．【分析】由于（1）（3）表示的集合都是无限集，所以利用描述法表示，（2）表示的是有限的5个元素，所以利用列举法表示 【详解】解：（1），它是无限集； （2），共有6个元素，是有限集； （3），它是无限集. 16．（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）利用充要条件的定义，即推出关系可证充要条件；（2）应用反证法思想，利用奇偶数的性质即可证明结论； 【详解】（1）当时，，则； 若，则，所以，即； 综上，有：“”是“”的充要条件． （2）假设为偶数，则是偶数，与题设矛盾； 故n是奇数，得证. 【点睛】本题考查了充要条件、反证法思想，结合了集合的基本关系，奇偶数性质的应用，属于基础题. 17．【详解】①充分性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a， ∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0. ②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0， ∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， ∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0. ∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2≠0.∴a＋b－1＝0，∴a＋b＝1. 综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件． 18．（1）是“坏集”；是“好集”.（2）证明见解析 【分析】（1）根据“好集”和“坏集”的定义进行判断即可； （2）利用小于的所有元素中的最小元素以及大于的所有元素中的最小元素，根据定义以及指数函数的单调性进行证明即可. 【详解】（1）且是“坏集”； 中任意两个元素，满足且数或中至少有一个属于，是“好集”. （2）若是中小于1的元素中的最小元素，是中大于1的元素中的最小元素， 则由指数函数的单调性可得：，从而且， ∴集合是“坏集”. 【点睛】本题考查集合的新定义问题，难度一般.对于新定义的集合问题，首先要理解新定义的内容，然后在求解问题时，利用结合集合以外的知识解答问题.本例中定义的“好、坏集”，实际上是研究元素与集合的关系，中间借助指数函数的相关内容解答问题. 19．（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题设为真命题，讨论、求参数范围； （2）根据充分、必要性定义，应用因式分解判断条件间的推出关系，即可证. 【详解】（1）由题设，命题的否定为真命题，命题的否定为， 当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）先证充分性： 若，则成立，充分性成立； 再证必要性： 若，则，即， ，即，又， ，即成立，必要性成立； 综上：成立的充要条件是． 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$