第25章 概率初步 单元复习 - 2024-2025学年人教版九年级数学上册

学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第25章 概率初步 单元复习 专项训练（原卷版） 一、选择题 1.（2024•柳南区三模）下列事件中的必然事件是（　　） A．三角形三个内角和为180° B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．天空出现九个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 2.（2024•皇姑区开学）“明天下雨的可能性为80%”这句话指的是（　　） A．明天一定下雨 B．80%的地区下雨，20%的地区不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 3.（2024•沙坪坝区校级开学）下面的成语中，按照事件发生的可能性大小，从高到低排列正确的是（　　） ①十拿九稳②凤毛麟角③海枯石烂④万无一失 A．①②③④ B．④①②③ C．③④①② D．②③④① 4.（2024•威远县校级开学）盒子里有红球3个、白球2个、黄球9个（这些球除颜色外完全相同）．从盒子里任意摸出一个球，下面说法正确的是（　　） A．一定摸出黄球 B．不可能摸出白球 C．摸出黄球的可能性最大 D．有可能摸出绿球 5.（2024春•榆阳区校级月考）一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%，估计a的值为（　　） A．40 B．30 C．16 D．50 6.（2024春•济宁期末）如图，在3×3的正方形网格的格点上摆放了两枚棋子，第三枚棋子随机摆放在其他格点上（每个格点处最多摆放一枚），这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为（　　） A． B． C． D． 7.（2024•徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 8.（2024•阳新县校级模拟）甲、乙、丙、丁四位同学去看电影，还剩下如图所示座位，乙正好坐在甲旁边的概率是（　　） 9.（2024•海淀区校级开学）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则两数之和大于4的概率是（　　） 10.（2024•武汉模拟）某市举办的“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图．市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（　　） 二、填空题 11.（2024•浙江模拟）不透明袋子中装有8个球，其中有5个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 。 12.（2024•龙岩模拟）如图，已知开关S1已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关S2，S3，S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 . 第12题 第13题 13.（2024•莱西市一模）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 . 14.（2024•淮安）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 个． 15.（2024•成都模拟）如图，阴影部分是抛物线y=-2x2+2与x轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形ABCD中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为 ． 16.（2023•东西湖区模拟）质地均匀的骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．同时抛掷这样的两枚骰子，落地后朝上的两个面上的数字之和为4的倍数的概率为 . 三、解答题 17（2024•淮安）历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源．小明计划假期来淮安游玩，他打算从3个人文景点（A．周恩来纪念馆；B．吴承恩故居；C．河下古镇）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．金湖水上森林；E．铁山寺国家森林公园）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选中河下古镇的概率是 。 （2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率． 18.（2024•成都模拟）3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为 50，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 19.（2024春•济宁期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球6个，白球10个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．（1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出a个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出a的值． 20.（2024•吉安三模）小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． （1）如果小明第一题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少？ （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率． （3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几题使用“求助”，才能使他过关的概率较大． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学习是一个快乐而充满挑战的过程！ 2024-2025学年 第25章 概率初步 单元复习 专项训练（解析版） 一、选择题 1.（2024•柳南区三模）下列事件中的必然事件是（　　） A．三角形三个内角和为180° B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．天空出现九个太阳 D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【考点】随机事件； 【分析】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义对4个选项进行分析． 【解答】解：三角形三个内角和为180°是必然事件，所以A符合题意； 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，所以B不符合题意； 天空出现九个太阳是不可能事件，所以C不符合题意； 经过有交通信号灯的路口遇到红灯是随机事件，所以D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的定义，难度不大，认真分析即可． 2.（2024•皇姑区开学）“明天下雨的可能性为80%”这句话指的是（　　） A．明天一定下雨 B．80%的地区下雨，20%的地区不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天80%的时间下雨，20%的时间不下雨 【考点】可能性的大小． 【分析】根据概率的意义找到正确选项即可． 【解答】解：“明天下雨的概率为80%”说明明天下雨的可能性是80%， 即P（A）=80%． 故选：C． 【点评】本题考查可能性大小，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生． 3.（2024•沙坪坝区校级开学）下面的成语中，按照事件发生的可能性大小，从高到低排列正确的是（　　） ①十拿九稳②凤毛麟角③海枯石烂④万无一失 A．①②③④ B．④①②③ C．③④①② D．②③④① 【考点】可能性的大小；随机事件． 【分析】根据事件发生的可能性大小即可得到结论． 【解答】解：按照事件发生的可能性大小，从高到低排列为④①②③， 故选：B． 【点评】本题考查了可能性的大小，随机事件，正确地理解题意是解题的关键． 4.（2024•威远县校级开学）盒子里有红球3个、白球2个、黄球9个（这些球除颜色外完全相同）．从盒子里任意摸出一个球，下面说法正确的是（　　） A．一定摸出黄球 B．不可能摸出白球 C．摸出黄球的可能性最大 D．有可能摸出绿球 【考点】可能性的大小． 【分析】由于盒子里有三种颜色的球，所以从盒子里任意摸出一个球是什么颜色的是不确定事件，再根据不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，据此解答． 【解答】解：A、由于盒子里有三种颜色的球，所以从盒子里任意摸出一个球是什么颜色的是不确定事件，所以一定摸出黄球的说法是错误的； B、由于盒子里面有白球，虽然摸出白球的可能性小，但不代表不可能摸出白球，所以原说法是错误的； C、由于黄球的个数最多，所以出黄球的可能性最大，所以这个说法是正确的． D、由于盒子里没有绿球，所以不可能摸出绿球，所以原说法是错误的． 因此，说法正确的是摸出黄球的可能性最大． 故选：C． 【点评】本题考查可能性大小的判断，熟知不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同是解题的关键． 5.（2024春•榆阳区校级月考）一个盒子中装有a个白球和4个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在80%，估计a的值为（　　） A．40 B．30 C．16 D．50 【考点】利用频率估计概率． 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在80%得到比例关系，列出方程求解即可． 【解答】解：由题意可得，×100%=80%， 解得，a=16． 经检验，a=16是分式方程的解且符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了利用频率估计概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 6.（2024春•济宁期末）如图，在3×3的正方形网格的格点上摆放了两枚棋子，第三枚棋子随机摆放在其他格点上（每个格点处最多摆放一枚），这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】概率公式；等腰三角形的判定． 【分析】利用概率公式求解可得． 【解答】解：由图知第三枚棋子可摆放的位置共有14种，其中这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的有8种， ∴这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为 = ， 故选：C． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 7.（2024•徐州）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　） A． B． C． D． 【考点】几何概率． 【分析】设AB=2a,则圆的直径为2a,求出小正方形的边长，即可求出几何概率． 8.（2024•阳新县校级模拟）甲、乙、丙、丁四位同学去看电影，还剩下如图所示座位，乙正好坐在甲旁边的概率是（　　） 【考点】列表法与树状图法． 【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【解答】解：将座位分别标为1，2，3，4，5，画树状图，如图， 共的20种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中甲、乙相邻的组合有8种， ∴乙正好坐在甲旁边的概率是 = 故选：A． 【点评】本题主要考查了画树状图求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率公式． 9.（2024•海淀区校级开学）从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则两数之和大于4的概率是（　　） 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【点评】本题考查列表法与树状图法，概率公式，正确的列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况是解题关键． 10.（2024•武汉模拟）某市举办的“乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图是该展览馆的出入口示意图．市民甲、乙从同一入口进入参观，参观结束后，他们恰好从同一出口走出的概率是（　　） 【考点】列表法与树状图法． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好从同一出口走出的结果有3种， ∴他们恰好从同一出口走出的概率是 = ， 故选：C． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 二、填空题 11.（2024•浙江模拟）不透明袋子中装有8个球，其中有5个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 。 【考点】概率公式． 【分析】直接根据概率公式求解即可． 【解答】解：∵不透明的袋子中有8个球，其中有5个绿球，3个红球， ∴从袋子中随机取出1个球，它是绿球的概率为：5/8． 12.（2024•龙岩模拟）如图，已知开关S1已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关S2，S3，S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 . 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】由题意知，随机闭合3个开关S1，S3，S4中的两个开关，共有（S1，S3）（S1，S4），（S3，S4）三种等可能的结果，其中能够使小灯泡L发光的共有（S1，S3），（S1，S4）两种等可能的结果，然后求概率即可． 【解答】解：由题意知，随机闭合3个开关S1，S3，S4中的两个开关，共有（S1，S3）（S1，S4），（S3，S4）三种等可能的结果，其中能够使小灯泡L发光的共有（S1，S3），（S1，S4）两种等可能的结果， ∴使小灯泡L发光的概率是2/3 【点评】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，根据题意列举出所有等可能的结果是解题的关键． 13.（2024•莱西市一模）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 . 【考点】利用频率估计概率． 【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可． 【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为16×0.6=9.6． 故答案为：9.6． 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 14.（2024•淮安）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球 个． 【考点】利用频率估计概率． 【分析】根据白球个数和频率，可以估算出球的总数，然后即可计算出红球个数． 【解答】解：由题意可得， 袋中约有红球：8÷0.4-8=20-8=12（个）， 故答案为：12． 【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用频率的知识估算出红球的个数． 15.（2024•成都模拟）如图，阴影部分是抛物线y=-2x2+2与x轴围成的封闭图形，为了估计阴影部分的面积，在矩形ABCD中随机产生1000个点，落在阴影部分的点数为700个，则阴影部分面积的近似值为 ． 【考点】利用频率估计概率；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点． 【分析】根据抛物线解析式推导出四边形ABCD是边长为2的正方形，再利用频率估计概率求出阴影部分面积的近似值即可． 【解答】解：如图，在抛物线y=-2x2+2中，当x=0时，y=2；当y=0时，x=±1， ∴B（-1，0），C（1，0），A（-1，2），D（1，2）， ∴四边形ABCD是边长为2的正方形， ∴正方形面积为：4， 设阴影部分的面积为x,则有 = 解得：x=1.4． 故答案为：1.4． 【点评】本题考查了利用频率估计概率、二次函数的性质、二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，熟练掌握以上知识点是关键． 16.（2023•东西湖区模拟）质地均匀的骰子，6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．同时抛掷这样的两枚骰子，落地后朝上的两个面上的数字之和为4的倍数的概率为 . 【考点】列表法与树状图法． 【分析】用列表法或树状图法表示所有可能出现的结果情况，再根据概率公式进行计算即可． 【解答】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下： 共有36种情况，其中两次数字之和为4的倍数的有9种， ∴P= = 【点评】考查列表法、树状图法求随机事件发生的概率，在利用列表法或树状图时一定要注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件． 三、解答题 17（2024•淮安）历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源．小明计划假期来淮安游玩，他打算从3个人文景点（A．周恩来纪念馆；B．吴承恩故居；C．河下古镇）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．金湖水上森林；E．铁山寺国家森林公园）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选中河下古镇的概率是 。 （2）用树状图或列表的方法求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率． 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】（1）根据题意，可以写出小明从人文景点中选中河下古镇的概率； （2）根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率． 【解答】解：（1）由题意可得． 小明从人文景点中选中河下古镇的概率是1/3， （2）树状图如下所示： 由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的有1种， ∴小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率为1/6． 18.（2024•成都模拟）3月14日是国际数学日．某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：A．数字猜谜；B．数独；C．魔方；D．24点游戏；E．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为 50，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）若该校有3000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）由20人占调查总人数的10%可得本次调查总人数为200；即可求出喜欢24点游戏的有50人，从而补全条形统计图． （2）用调查总人数中参加魔方游戏的占60/200列式计算可得该校参加魔方游戏的学生人数约为900人； （3）画出树状图，再用概率公式可得答案． 【解答】解：（1）20÷10%=200（人）， ∴本次调查总人数为200； 200-（40+20+60+30）=50（人）， ∴喜欢24点游戏的有50人； 补全条形统计图如下： 故答案为：50； （2）3000×=900（人）， ∴该校参加魔方游戏的学生人数约为900人； （3）根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是 = 【点评】本题考查列表或树状图求概率，条形统计图，扇形统计图，解题的关键是读懂题意，求出调查总人数和列出树状图． 19.（2024春•济宁期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球6个，白球10个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出a个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出a的值． 【考点】概率公式． 【分析】（1）由白球的概率可求得盒子里的总球数，进而求得黑球数，则可求得黑球的概率； （2）由红球的概率可求得盒子里的总球数，用30减去总球数即可得到要取出黑球的个数，即可求得a的值． 【解答】解：（1）∵红球6个，白球10个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴盒子中球的总数为：10÷ =30（个）， 故盒子中黑球的个数为：30-6-10=14（个）； ∴任意摸出一个球是黑球的概率为： = ； （2）∵任意摸出一个球是红球的概率为 ∴盒子中球的总量为：6÷=24（个）， ∴可以将盒子中的黑球拿出30-24=6（个） ∴a=6． 【点评】本题考查了简单事件的概率，清楚所有可能结果数及事件发生时的可能结果数是解题的关键．注意概率公式的变形运用． 20.（2024•吉安三模）小明正在参加全国“数学竞赛”，只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关，其中第一道题有3个选项，第二道题有4个选项，而这两道题小明都不会，不过小明还有一次“求助”没有使用（使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． （1）如果小明第一题不使用“求助”，随机选择一个选项，那么小明答对第一道题的概率是多少？ （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率． （3）请你从概率的角度分析，建议小明在第几题使用“求助”，才能使他过关的概率较大． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a,b,c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案； （3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案． 【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项， ∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是： （2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a,b,c表示剩下的第二道单选题的3个选项， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况， ∴小明顺利通关的概率为：； （3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为： ∴建议小明在第一题使用“求助”． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 1 1 教育是一个优雅而漫长的过程! 学科网（北京）股份有限公司 $$