精品解析：2023-2024学年人教版八年级数学下册期末模拟测试题

期末模拟测试卷-2023-2024学年数学八年级下册人教版 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2016年5月份，某市测得一周大气的的日均值（单位：微克/立方米）如下：31，35，31，33，30，33，31．对于这组数据下列说法正确的是（　　） A. 众数是30 B. 中位数是31 C. 平均数是33 D. 方差是32 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数、平均数、方差和中位数的定义，根据定义逐一求解即可． 【详解】解：A、31出现了3次，出现的次数最多，则众数是31，故本选项错误； B、把这组数据从小到大排列，最中间的数是31，则中位数是31，故本选项正确； C、这组数据的平均数是：，故本选项错误； D、这组数据的方差是：，故本选项错误； 故选：B． 2. 若有意义，则x、y的取值范围不可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的非负性可求得结果，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：A、当时，被开方数，则式子一定有意义，不符合题意； B、当时，被开方数，则式子一定有意义，不符合题意； C、当时，被开方数，则式子一定没有意义，符合题意； D、当时，被开方数，则式子一定有意义，不符合题意； 故选：C． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 5，10，13 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； B、1.5和2.5不是整数，故不是勾股数，故本选项不符合题意； C、，故不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，故是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减乘除运算．利用二次根式的加减法的法则对A项和B项进行运算即可，利用二次根式的乘法和除法法则对C项和D项进行运算即可． 【详解】解：A、和，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8 9 8 1.6 0.8 0.8 3 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平均数和方差进行决策，熟练掌握平均数和方差的意义是解题关键．先根据成绩的平均数可得应该选择甲运动员或丙运动员，再根据方差的意义即可得出答案． 【详解】解：由成绩的平均数可知，应该选择甲运动员或丙运动员， 因为丙运动员成绩的方差小于甲运动员的， 所以丙运动员的成绩波动小，更稳定， 所以应该选择丙运动员， 故选：C． 6. 如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c的一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质．证，推出，，求出，，求出b的面积为，代入求出即可． 【详解】解：根据正方形的性质得出，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵a，b的面积分别为1和9， ∴，， ∴c的面积为：， 故选：C． 7. 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴．勾股定理求出的长，进而求出点E表示的数即可． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴， ∴点表示的数为； 故选A． 8. 如图．在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（　　） A. 4.8 B. 5 C. 3.6 D. 5.4 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：，且， ， ， ， 四边形是矩形． 如图，连接，则， 当时，的值最小，此时，的面积， ， 的最小值为； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型． 9. 如图，直线交轴，轴于点，，点在第一象限内，且纵坐标为1.若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一次函数得到点，的坐标，即得到，，连接，，，利用平行线性质和轴对称的性质得到，设，则，根据建立等式求解，即可解题． 【详解】解：直线交轴，轴于点，， ，，即，， 连接，，， 点在第一象限内，且纵坐标为1， 轴， ， 点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上， ， ， ， 设，则， ， ，即，解得， 点的横坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合、轴对称性质、平行线性质、等腰三角形性质、勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 10. 笔直的海岸线上依次有A，B，C，三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，小时后乙船从港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的倍，甲、乙两船与港口的距离与甲船行驶时间x之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①，港口相距；②甲船的速度为；③，港口相距；④乙船出发时，两船相距．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①由可知A，B港口相距；②甲船4个小时行驶了，可以求出甲船的速度；③先求出乙船的速度，再根据两船同时到达目的地列出等式，可求出B，C港口的距离；④乙船出发时，计算两船与B港口的距离，再相加即可．本题考查一次函数的实际应用---路程问题，解答此类问题的关键是根据图像找到一些关键点（如与x轴、y轴的交点，两图像的交点等），分析关键点的实际意义，转化为路程或速度或时间的关系，然后利用题中的等量关系进行解答． 【详解】解：由题意和题图，可知A，B港口相距， 故①正确； 甲船4个小时行驶了， 故甲船的速度为， 故②正确； 乙船的速度为， 设B、C港口的距离为，则， 解得， 故③正确； 乙船出发时，两船距离是， 故④错误． 故选A． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知一组数据，，，，的平均数为4，则另一组数据，，，，的平均数为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查算术平均数．由题意知，，再代入计算即可． 【详解】解：由题意知，， 则新数据的平均数为 ， 故答案为：10． 12. 若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象不经过第二象限列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图形不经过第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 13. 根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下表的关系，所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加______ x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 20 21 22 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查函数的表达，从表格中获取信息成为解题的关键． 根据表格中的数据即可解答． 【详解】解：由表格中的数据可知，所挂物体重量每增加，弹簧长度增加． 故答案为：． 14. 我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为______尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设这个秋千的绳索，则，根据勾股定理得到，求出的值即可． 【详解】解：设这个秋千的绳索， 则， ， ， ∵，， ， ， ∴这个秋千的绳索有尺． 故答案为：． 15. 如图，是菱形的对角线，P是上的一个动点，过点P分别作，的垂线，垂足分别是F和E．若菱形的周长是24，面积是12，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，如图所示，过点A作于H，连接，根据菱形的面积公式和周长公式求出，，再根据，即可推出． 【详解】解：如图所示，过点A作于H，连接， ∵菱形的周长为24， ∴， ∵菱形的面积是12， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：2． 16. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接、、，过点作于点，若与的面积相等．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论为______．（只填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知，，，，，利用与的面积相等，即可判断①结论；延长交于点，结合①结论，得出即可判断②结论；结合边角关系即可判断③结论；利用勾股定理，分别表示出，，再利用三角形面积公式，得出，进而表示出，即可判断④结论． 【详解】解：由题意可知，，，，， ， ， ， ， ， ，①结论正确； 如图，延长交于点， 由①可知，， ， ，， ， ， ， ， ，即， ，②结论正确； ， ， 在中，， ， ，③结论错误； 由勾股定理可得，，，， ， ， ， 在中，， ，④结论正确； 故答案：①②④． 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算化简： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、最简二次根式和二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算和分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类项即可求解； （2）根据平方差公式和完全平方公式计算即可求解． （3）根据异分母分式加减法先计算括号里的式子，再利用分式除法法则进行运算求出化简结果，然后将代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 解： ， 当时，原式． 18. 如图，在中，，点、、分别为边、、的中点，连接、．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、菱形的判定等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．根据“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”可知，，，，易得四边形是平行四边形，再结合可证明，进而证明结论． 【详解】证明：∵点、、分别为边、、的中点， ∴和为的两条中位线， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 19. 有一笔直的公路连接M，N两地，甲车从M地驶往N地，速度为，乙车从N地驶往M地，速度为，两辆车同时出发，先到目的地的车停止不动．途中甲车发生故障，于是停车修理了，修好后立即按原速驶往N地．设甲车行驶的时间为t（单位：h），甲、乙两车之间的距离为s（单位：），s与t之间的关系如图所示，根据题中的信息解答下列问题： （1）M，N两地之间的距离为______； （2）求出点B的横坐标； （3）当甲、乙两车相距时，请直接写出t的值． 【答案】（1） （2）点B的横坐标是1 （3）当甲、乙两车相距时，t值为或 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用．由图象获得正确的信息是解题的关键． （1）由图象得，M，N两地之间的距离为，然后作答即可； （2）由图可知，点甲乙相遇，点甲车开始停车修理，设行驶x小时后，甲车发生故障，由题意得：，计算求解即可； （3）由图象可知，点甲车开始停车修理，点甲车重新开始运动，表示的时间为，当甲乙相遇前，甲、乙两车相距时， 题意得，，计算求解即可；当甲乙相遇后，甲车重新开始运动时，甲乙的距离为，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由图象得，M，N两地之间的距离为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图可知，点甲乙相遇，点甲车开始停车修理， 设行驶x小时后，甲车发生故障， 由题意得：， 解得， ∴点B的横坐标是1； 【小问3详解】 解：由图象可知，点甲车开始停车修理，点甲车重新开始运动，表示的时间为， 由（2）得：点B的横坐标是1 ∴ ∴ 当甲乙相遇前，甲、乙两车相距时， 依题意得，， 解得，， 当甲乙相遇后，甲车重新开始运动时， 甲乙的距离为， 综上所述，当甲、乙两车相距时，t的值为或． 20. 某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表： 学生 平均分（分） 中位数（分） 方差（分） 甲 95 ▲ 4 乙 ▲ 95 5 （1）求这6次测试中，甲的中位数和乙的平均分； （2）为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议． 【答案】（1）甲的中位数：分；乙的平均分：95分 （2）甲乙的平均分相同，但甲的中位数比乙高，方差比乙小，成绩更稳定，且从统计图的趋势可以看出甲的成绩在稳步上升，所以推荐甲参加 【解析】 【分析】本题主要考查统计图（表），求平均数，中位数，根据平均数、中位数和方差做决策． （1）运用平均数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、方差和统计图的走势进行分析可得出结论，提出合理建议． 【小问1详解】 解：将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位的是分别是95和96， ∴甲的中位数为：（分）； 乙的平均分为：（分）； 【小问2详解】 解：甲乙的平均分相同，但甲的中位数比乙高，方差比乙小，成绩更稳定，且从统计图的趋势可以看出甲的成绩在稳步上升，所以推荐甲参加． 21. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，点，将点向右平移2个单位长度后的对应点为点，点关于轴的对称点为点． （1）在图中画出点，点，并写出，两点的坐标； （2）连接，，，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）图形见解析，， （2）图形见解析，为直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平移，轴对称，勾股定理以及勾股定理逆定理，根据要求画出图形是解题关键． （1）根据要求画出A，B点，并写出坐标即可； （2）根据要求画出图形，利用勾股定理分别算出三条线段的长，再根据勾股定理逆定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，点A，B即为所求， 由图可知，点，； 【小问2详解】 如图，连接，，， ，，， ， 为直角三角形． 22. 2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米，上市首日27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？ 【答案】（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车 （2）200名 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的应用，找出数量关系列出方程组和函数解析式是解答本题的关键． （1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车，列出方程组求解即可； （2）设为按时完工工厂应招聘m名新工人，根据一个月至少生产安装1000台汽车求出m的取值范围，然后列出函数解析式，利用一次函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x辆和y辆汽车， 根据题意得：， 解得： 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装3辆和2辆汽车． 【小问2详解】 设为按时完工工厂应招聘m名新工人， 根据题意得：， 解得 ． ． ∴当时，W取最小值，最小值为2360000． 答：为按时完工工厂应招聘200名新工人，此时工厂每月支出的工资总额最少． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）如果线段长为，求点的坐标； （4）我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点坐标为或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据得，根据点、点恰好关于点对称，得到．代入，解得m值即可求直线的解析式； （2）根据得到，根据得到，继而得到，根据得到，根据，解答即可； （3）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．结合线段的长为，得到，解答即可； （4）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．得到，结合，分类解答即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵点、点恰好关于点对称， ∴． 把代入， 得 解得， 故直线的解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∵线段的长为， ∴， ∴或， 解得或． ∴点坐标为或． 【小问4详解】 ∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴，，，， 解得，，， ∴或， ∵点P是整点，， ∴n必须是整数，必须是整数， ∴或，且n是2的倍数， 故或， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，点或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，对称的性质，不等式组解集的整数解，平行y轴直线上的两点间距离公式，熟练掌握待定系数法，不等式组解集的整数解是解题的关键． 24. 操作与探究： 数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，连接． （1）操作发现： 根据以上操作，当点落在折痕上时，如图1所示，此时______； （2）迁移探究： 当点落在对角线上时，如图2所示，连接，与分别交于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用： 如图3，连接，若正方形的边长为4，且，连接，则______． 【答案】（1）15 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，，，证明，取的中点，连接，证明为等边三角形，得出，求出，即可得出结果． （2）连接，根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，，，，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，求出，即可得出结论； （3）根据，得出点N在上，根据折叠得出，，，，根据勾股定理求出， 得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据折叠可知：，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 取的中点，连接，如图所示： ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 根据折叠可知：，，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为4， ∴根据折叠可知：， 即与间距离为2， 设点N到的距离为h， ∵， ∴， ∴， ∴点N在上，如图所示： 根据折叠可知：，，，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末模拟测试卷-2023-2024学年数学八年级下册人教版 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2016年5月份，某市测得一周大气的的日均值（单位：微克/立方米）如下：31，35，31，33，30，33，31．对于这组数据下列说法正确的是（　　） A. 众数是30 B. 中位数是31 C. 平均数是33 D. 方差是32 2. 若有意义，则x、y的取值范围不可能是（   ） A. B. C. D. 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国在著名的数著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 5，10，13 D. 3，4，5 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 9 8 9 8 1.6 0.8 08 3 A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，直线l上方有三个正方形a，b，c，且正方形a和c一边在直线1上，正方形b的一个顶点在直线l上，有两个顶点分别与a和c的一个顶点重合．若a，b的面积分别为1和9，则c的面积为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 1 8. 如图．在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（　　） A. 4.8 B. 5 C. 3.6 D. 5.4 9. 如图，直线交轴，轴于点，，点在第一象限内，且纵坐标为1.若点关于直线的对称点恰好落在轴的正半轴上，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 笔直海岸线上依次有A，B，C，三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，小时后乙船从港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的倍，甲、乙两船与港口的距离与甲船行驶时间x之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①，港口相距；②甲船的速度为；③，港口相距；④乙船出发时，两船相距．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知一组数据，，，，的平均数为4，则另一组数据，，，，的平均数为_______． 12. 若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______. 13. 根据科学研究表明，在弹簧的承受范围内，弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下表的关系，所挂物体的重量每增加，弹簧长度增加______ x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 20 21 22 14. 我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为______尺． 15. 如图，是菱形的对角线，P是上的一个动点，过点P分别作，的垂线，垂足分别是F和E．若菱形的周长是24，面积是12，则的值是________． 16. 如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中，，连接、、，过点作于点，若与的面积相等．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论为______．（只填写序号） 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算化简： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在中，，点、、分别为边、、的中点，连接、．求证：四边形是菱形． 19. 有一笔直的公路连接M，N两地，甲车从M地驶往N地，速度为，乙车从N地驶往M地，速度为，两辆车同时出发，先到目的地的车停止不动．途中甲车发生故障，于是停车修理了，修好后立即按原速驶往N地．设甲车行驶的时间为t（单位：h），甲、乙两车之间的距离为s（单位：），s与t之间的关系如图所示，根据题中的信息解答下列问题： （1）M，N两地之间的距离为______； （2）求出点B的横坐标； （3）当甲、乙两车相距时，请直接写出t的值． 20. 某校从甲、乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲、乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表： 学生 平均分（分） 中位数（分） 方差（分） 甲 95 ▲ 4 乙 ▲ 95 5 （1）求这6次测试中，甲的中位数和乙的平均分； （2）为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议． 21. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，点，将点向右平移2个单位长度后的对应点为点，点关于轴的对称点为点． （1）在图中画出点，点，并写出，两点的坐标； （2）连接，，，判断的形状并说明理由． 22. 2024年3月28日小米发布了自己的首款新能源汽车小米，上市首日27分钟内大定突破5万台，上市24小时大定88898台，为提高产能工厂决定招聘一些无经验的新工人和有过相关工作经验的熟练工，经过调研发现2名熟练工和3名新工人每月可安装12辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装13辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）工厂计划招聘400名员工，计划一个月至少生产安装1000台汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发6200元的工资，给每名新工人每月发5600元的工资，为按时完工工厂应招聘多少名新工人，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． （1）求直线的解析式； （2）求的面积； （3）如果线段的长为，求点的坐标； （4）我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 24. 操作与探究： 数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，连接． （1）操作发现： 根据以上操作，当点落在折痕上时，如图1所示，此时______； （2）迁移探究： 当点落在对角线上时，如图2所示，连接，与分别交于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用： 如图3，连接，若正方形的边长为4，且，连接，则______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$