精品解析：华东师大版2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

期末备考培优-2023-2024学年华东师大版八年级下册期末备考尖子生集训 第一部分选择题解题方法总结和限时训练 一、理解题目要求 首先，要仔细阅读题目，理解题目要求．明确题目中给出的已知条件、未知量以及需要求解的问题． 二、排除法 1．从已知条件出发，结合选项，通过观察、分析、猜想、计算等方法一一排除明显出错的答案，缩小思考范围． 2．注意检查选项中的陷阱，如“或”、“且”等逻辑关系的理解． 三、验证法 1．将各个选择项代入原题进行验证，看是否符合题意，然后得出结论． 2．验证法特别适用于与图形或图像有关的选择题，可以通过观察图形或图像来验证选项的正确性． 四、特殊值法 1．根据题设条件，选取恰当的特殊数值或作出特殊图形进行计算、推理． 2．特殊值法要注意所选取的值要符合条件，且易于计算． 五、直接求解法 1．有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此可以采用直接法求解． 2．直接从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项． 六、数形结合法 1．在解决与图形或图像有关的选择题时，要运用数形结合的思想方法． 2．通过观察图形或图像的特点，结合题目给出的条件，进行推理和计算． 七、其他方法 1．代入法：将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断． 2．观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择． 3．枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断． 八、总结答案 在得出最终答案之前，要仔细检查答案是否符合题目的要求，并确保答案的完整性和准确性． 九、解题技巧 1．分析题目条件：仔细阅读题目，理解并分析给出的条件，包括已知量、未知量、等式或不等式等． 2．寻找等量关系：在数学问题中，等量关系是解决问题的关键．通过已知条件和未知量之间的关系，建立等式或方程． 3．运用数学模型：根据问题类型，选择合适的数学模型进行解答．例如，几何问题可以使用相似三角形、勾股定理等；代数问题可以使用一元二次方程、不等式等． 4．化简问题：将复杂问题分解成若干个简单的小问题，逐一解决．例如，物理中的复杂运动可以分解为多个简单运动． 5．逆向思考：对于一些难以直接解决的问题，可以从结论出发，逆向思考，寻找解题思路． 限时训练： 1. 若关于的分式方程解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，根据解为非负数得出相应不等式组是解题的关键． 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m的取值范围． 【详解】解： 解得：， ∵的分式方程解为非负数，且， ∴， 解得：且 故选：B. 2. 有一分式方程．若该方程有增根，则m的值是（ ） A. -5 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由该方程有增根，可得：或，代入分式方程的解，即可求出m的值，本题考查了分式方程的增根，方程解的情况，解题的关键是：熟练掌握根据分式方程解的情况求参数的值． 【详解】解：， 去分母，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项得： 当时，方程无解， 当时，， 方程有增根， 或，即：或， 或，解关于的方程，得：无解或， 故选：． 3. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A. B. 3 C. 6 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有非负数解确定出整数a的值，进而求出之和即可． 【详解】解：解不等式组得：， 由不等式组的解集为，得到， 分式方程去分母得：， 解得：， ， 解得： 由分式方程有非负数解，得到之和为6． 故选：C． 4. 下列说法错误的是（　　） A. 若式子没有意义，则x的取值范围是 B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值扩大2倍 C. 分式的值不可能等于0 D. 若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，性质，分式有意义和分式的值为0，直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案即可． 【详解】解：A．若式子没有意义，则，即，故不符合题意； B．分式中的x、y都扩大原来的2倍，即，所以分式的值不变，故符合题意； C．当，即时，，所以分式的值不可能等于0，故不符合题意； D．若表示一个整数，则整数x可取值是，共有4个，故不符合题意； 故选：B． 5. 若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，求出不等式组的解集，根据其解得条件确定的取值范围，解分式方程，根据题意确定的取值范围，进而得出符合条件的的值，求和即可，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组的解法是解此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 原不等式有且只有两个偶数解， ， ， 解分式方程得：， 原分式方程有解， ， 是原分式方程的增根， ， 综上，，且，， 或， ， 故选：A． 6. 如下图，直角坐标平面内，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样的运动规律，动点第2020次运动到点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图形可知，每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2020除以4，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可． 【详解】解：， 动点第2020次运动为第505个循环组的第4次运动， 横坐标，纵坐标为0， 点此时坐标为． 故选：． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解答时注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号． 7. 如图，在平面直角坐标系中，把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案． 【详解】解：∵A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）， ∴AB=1-（-1）=2，BC=1-（-2）=3，CD=1-（-1）=2，DA=1-（-2）=3， ∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10， 2016÷10=201…6， ∴细线另一端在绕四边形第202圈的第6个单位长度的位置， 即CD中间的位置，点的坐标为（0，-2）， 故选：A． 【点睛】本题利用点的坐标考查了坐标变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2016个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，点若反比例函数经过点，则的值等于( ) A. 25 B. 24 C. 12 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质和B、C两点的坐标利用勾股定理可得点A的坐标，代入即可求解. 【详解】解：过点A作AD⊥OC，交OC于点D ∵四边形是菱形 ∴AB∥OC，AB=OC=OA， ∵点，点 ∴AB=OC=OA=5，A点的纵坐标为4，即AD=4 ∵∠ADO=90° ∴ ∴点A的坐标是（3，4）， 将点 A的坐标代入中，可得k=12， 故选：C. 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理的应用和反比例函数的解析式，利用菱形的性质求得点A的坐标是解题的关键. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，点、、、 在轴上，点、、 … 在射线上，、、……均为等边三角形,若点坐标是 ,那么点坐标是（ ） A. (6，0) B. (12，0) C. (16，0) D. (32，0) 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出，然后利用三角形外角的性质得出，从而有，然后进行计算即可． 【详解】∵，，…，均为等边三角形， ． ， ， ， ． ∵点坐标是， ， ， 同理，， ∴点坐标是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查点的坐标的规律，掌握等边三角形的性质和三角形外角的性质是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（2，5），点A在第二象限，反比例函数 的图象经过点A，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，先通过证得△AOD≌△OCE得出AD＝OE，OD＝CE，设A（x，），则C（，−x），根据正方形的性质求得对角线解得F的坐标，即可得出，解方程组求得k的值． 【详解】作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E， ∵∠AOC＝90， ∴∠AOD＋∠COE＝90， ∵∠AOD＋∠OAD＝90， ∴∠OAD＝∠COE， 在△AOD和△OCE中， ， ∴△AOD≌△OCE（AAS）， ∴AD＝OE，OD＝CE， 设A（x，），则C（，−x）， ∵AC和OB互相垂直平分，点B的坐标为（2，5）， ∴它们的交点F的坐标为（1，）， ∴， 解得， ∴k＝−=， 故选：D． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，正方形的性质，三角形求得的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 11. 如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是OA的中点，过点C作CD⊥OA于C交一次函数图象于点D，P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为（　　） A. 4 B. C. 2 D. 2+2 【答案】C 【解析】 【分析】作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点C是OA的中点可得出点C的坐标，由点C，C′关于y轴对称可得出CC′的值及PC＝PC′，再利用勾股定理即可求出此时C′D（即PC+PD）的值，此题得解． 【详解】解：作点C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于点P，此时PC+PD取得最小值，如图所示． 当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得：x＝2， ∴点A的坐标为（2，0）． ∵点C是OA的中点， ∴OC＝1，点C的坐标为（1，0）． 当x＝1时，y＝﹣2x+4＝2， ∴CD＝2． ∵点C，C′关于y轴对称， ∴CC′＝2OC＝2，PC＝PC′， ∴PC+PD＝PC′+PD＝C′D＝. 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及轴对称最短路线问题，利用两点之间线段最短，找出点P所在的位置是解题的关键． 12. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论：当0≤x≤2，如图1，作PH⊥AD于H，AP=x，根据菱形的性质得∠A=60°，AM=1，则∠APH=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到在RtAH=x，PH=x，然后根据三角形面积公式得y=AM•PH=x；当2＜x≤4，如图2，作BE⊥AD于E，AP+BP=x，根据菱形的性质得∠A=60°，AM=1，AB=2，BC∥AD，则∠ABE=30°，在Rt△ABE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AE=1，PH=，然后根据三角形面积公式得y=AM•BE=； 当4＜x≤6，如图3，作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，则PD=6-x，根据菱形的性质得∠ADC=120°，则∠DPF=30°，在Rt△DPF中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DF=（6-x），PF=DF=（6-x），则利用三角形面积公式得y=AM•PF=-x+，最后根据三个解析式和对应的取值范围对各选项进行判断． 【详解】当点P在AB上运动时，即0≤x≤2，如图1， 作PH⊥AD于H，AP=x， ∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点， ∴∠A=60°，AM=1， ∴∠APH=30°， 在Rt△APH中，AH=AP=x， PH=AH=x， ∴y=AM•PH=×1×x=x； 当点P在BC上运动时，即2＜x≤4，如图2， 作BE⊥AD于E，AP+BP=x， ∵四边形ABCD为菱形，∠B=120°， ∴∠A=60°，AM=1，AB=2，BC∥AD， ∴∠ABE=30°， 在Rt△ABE中，AE=AB=1， PH=AE=， ∴y=AM•BE=×1×=； 当点P在CD上运动时，即4＜x≤6，如图3， 作PF⊥AD于F，AB+BC+PC=x，则PD=6-x， ∵菱形ABCD中，∠B=120°， ∴∠ADC=120°， ∴∠DPF=30°， 在Rt△DPF中，DF=DP=（6-x）， PF=DF=（6-x）， ∴y=AM•PF=×1×（6-x）=（6-x）=-x+， ∴△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象为三段：当0≤x≤2，图象为线段，满足解析式y=x；当2≤x≤4，图象为平行于x轴的线段，且到x轴的距离为；当4≤x≤6，图象为线段，且满足解析式y=-x+． 故选B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围． 13. 已知直角坐标系内有四个点，，，，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的，的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是运用平行四边形对角线互相平分列方程组解决问题． 分别在平面直角坐标系中确定出A、B、O的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定C的位置，从而求出m，n的值． 【详解】解：根据题意画图如下： ∵，，，， ∴分3种情况： ①以、为对角线，则、的中点重合， ∴，解得， ∴； ②以、为对角线，则、的中点重合， ∴，解得， ∴， ③以、为对角线，则、的中点重合， ∴，解得， ∴， 综上所述，点C的坐标可以为或或， 则符合条件的m，n的值可以是2，2， 故选：D． 14. 如图，在中，平分，则的长是（　　） A. 7 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据四边形是平行四边形，可得，然后证明，进而利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 15. 如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，延长交于点，延长交于点，证明四边形、四边形均为平行四边形，得到，再证明和是等边三角形，得到，进而推出，则． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， ∵，，， 四边形、四边形均为平行四边形， ∴． 为等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形， ∴， ∴， ∵的周长为9， ∴ ， 故选D． 16. 如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，则下列命题：①四边形是平行四边形，②，③，④若，，则，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，从而可得到，再证明≌，根据全等三角形的对应边相等可证得，进而得出四边形是平行四边形，即可判断命题①正确；利用全等三角形的性质得出，证出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，即可判断命题②正确；根据三角形的中线将三角形的面积平分即可判断命题③正确；利用勾股定理求出，即可判断命题④错误． 【详解】解：①四边形是平行四边形， ∴，，， 点F为的延长线上的一点， ∴， ，， 为BC中点， ， 在和中， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形，故此命题正确，符合题意； ②由①知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ，故此命题正确，符合题意； ③由②知，， ，故此命题正确，符合题意； ④∵， ∴， ∵，， ∴， ， ，故此命题错误，不符合题意； 综上分析可知，正确的是①②③． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握平行四边形、勾股定理以及全等三角形的有关知识是解题的关键． 17. 如图，原点O为的对称中心，轴，与y轴交于点，与x轴交于 ，．若将绕原点O 顺时针旋转，每次旋转， 则第2024次旋转结束时， 点A的对应点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形与坐标，旋转的性质，中心对称的性质，周期型规律问题， 连接，设与轴交于点，与轴交于点，利用中心对称的性质确定的长度，利用平行四边形的判定及性质可以得到，再根据确定点的坐标，由旋转的周期性确定绕原点O顺时针旋转第2024次旋转结束时与位置重合，即可得到点的对应点的坐标．能准确确定点的坐标及在第2024次旋转结束时所在的位置是解决本题的关键． 【详解】连接，设与轴交于点，与轴交于点， ∵原点为的对称中心， ∴点与点关于点对称， ∵点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵ ，点 ∴， 即点，点 ∵绕原点O顺时针旋转，每次旋转， ∴， ， 即绕原点O顺时针旋转第2024次旋转结束时与位置重合， ∴点A的对应点的坐标为． 故选：B． 18. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过作于，证明，由菱形的面积公式求出的长．过作于，由菱形的性质推出，，，，平分，由角平分线的性质推出，由于，，，得到、、共线，因此，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出，得到的值． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形， ，，，，平分， 于， ， ，，， 、、共线， ， ，， ，， ， 菱形的面积， ， ． 的值为． 故选：C 19. 如图，矩形中，对角线、交于点，若，，则长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质， 根据矩形的性质可得，然后证明出是等边三角形，得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴． 故选：B． 20. 如图．在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（　　） A. 4.8 B. 5 C. 3.6 D. 5.4 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：，且， ， ， ， 四边形是矩形． 如图，连接，则， 当时，的值最小，此时，的面积， ， 的最小值为； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型． 21. 在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定，依次判断，即可求解， 本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：若，则四边形是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误； 若垂直平分，则四边形是菱形，不一定是矩形；选项B错误； 若，则四边形是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误； 若平分，则四边形是菱形；选项D正确； 故选：D． 22. 如图，在正方形中，为边上一点，为 延长线上一点，且，连接．给出下列至个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理，①先根据正方形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得；②先根据三角形全等的性质可得，再根据三角形的内角和定理、等量代换可得，由此即可得；③根据勾股定理即可得；④根据①中所证的全等三角形的性质即可得；⑤假设，再解直角三角形可得，从而得出与题意不符，由此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ，则结论①正确； 即，则结论④正确； 由对顶角相等得：， ，即， ，则结论②正确； ， ，则结论③正确； 假设， ， ， 取的中点，连接，则， ∴是等边三角形， ∴ ， 点为边上一点， ，不一定等于， 则假设不一定成立，结论⑤错误； 综上，正确结论的个数是4个， 故选：C． 23. 某排球队12名队员的年龄如下： 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数（人） 2 4 3 2 1 该队队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A. 19岁，19岁 B. 19岁，岁 C. 19岁，20岁 D. 20岁，21岁 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数定义即一组有序的数组中，中间数据或中间两个数据的平均数，计算即可．众数即出现次数最多的数据，本题考查了众数，中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】∵19岁出现的次数最多， 故众数为19岁； 中位数， 故选B． 24. 一组数据a、b、c、d、e、f、g的平均数是m，方差是n，则另一组数据、、、、、、的平均数和方差分别是（　　） A. 3， B. ，n C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用已知数据的平均数和方差求相关数据的平均数和方差，掌握平均数和方差的计算公式是解题关键． 根据平均数，方差的公式进行计算． 【详解】解：a、b、c、d、e、f、g的平均数是m，， ∴， ∴、、、、、、的平均数为 ∵数据a，b，c，d，e，f，g的方差n， , ∴数据、、、、、、方差 ． 故选：D． 25. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，55， 60，若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，统计量变小的是（　　） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数，平均数，标准差．求出两次的平均数，方差，标准差，据此即可求解． 【详解】捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，故C选项不符合题意； 变化前后都是50出现的次数最多，故众数都是50不变， 原来的平均数为， 方差，， 现在的平均数为， 方差， ∴平均数增大，方差变小， 故选：A． 第二部分填空题解题方法总结和限时训练 一、直接法 直接法是解填空题最基本的方法，它要求学生直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过推理和运算等过程，直接得到结果．这种方法要求学生熟练掌握各种数学概念和定理，并能够准确地运用它们来解决问题． 二、数形结合法 数形结合是一种重要的数学方法，在解决填空题时也非常有效．它要求学生在解题时，根据题目条件的具体特点，做出符合题意的图形，从而做到数中想形，以形助数．通过对图像的观察、分析和研究，学生可以启发解题思路，找出问题的隐含条件，从而简化解题过程，检验解题结果． 三、特例法 对于一些填空题，可以通过取特殊值或者特殊情况进行验证，从而快速得出答案．这种方法特别适用于一些选择题或者填空题中的选项验证． 四、猜想法 在填空题中，有时候根据题目条件和选项特点，可以猜测出一个可能的答案，然后再进行验证．虽然这种方法有一定的风险，但在一些情况下可以帮助学生快速解决问题． 五、整体法 整体法是一种从问题的整体性质出发，通过分析和研究整体与部分之间的关系来解决问题的方法．在填空题中，有时候可以从整体角度考虑，利用整体性质来简化问题． 六、隐含条件法 填空题中常常包含一些隐含条件，这些条件可能没有在题目中明确给出，但可以通过分析题目条件和选项特点来发现．在解题时，学生应认真分析题目的隐含条件，利用它们来简化问题或者验证答案． 七、分类讨论法 对于一些涉及多个可能性的填空题，可以通过分类讨论的方法来解决问题．首先列出所有可能的情况，然后逐一进行分析和计算，最后得出答案．这种方法需要学生具备分类讨论的能力和技巧． 八、等价转化法 等价转化法是一种将复杂问题转化为简单问题的方法．在填空题中，有时候可以通过等价转化来简化问题或者找到解题的突破口．例如，可以通过等价转化将复杂的几何问题转化为代数问题来解决． 注意： 1．认真审题：理解题目要求和条件，明确解题目标． 2．仔细分析：对题目条件和选项进行仔细分析，找出隐含条件和关键点． 3．灵活运用：根据题目特点和自己的知识储备选择合适的方法进行解题． 4．检验答案：在得出答案后要进行检验，确保答案的正确性． 限时训练 26. 若关于的分式方程无解，则_________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 27. 若关于x的分式方程有增根，则的值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根．熟练掌握分式方程的增根的解题思路是关键． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入整式方程，算出的值． 【详解】解：， 方程两边都乘， 得， 原方程有增根， 最简公分母， 解得， 当时，， 故答案为：． 28. 已知 ，则_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，根据完全平方公式的变形运用，即可求得值． 【详解】解：， 故答案为：． 29. 分式方程的解是非负数，则的取值范围为___________ 【答案】，且 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，由解为非负数求出的范围即可． 【详解】解： ， ， 分式方程解是非负数， ，且， 解得：，且， 故答案：，且． 30. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出、点的坐标．首先求得的坐标，然后利用待定系数法求出，再求得的坐标，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：如图，设直线交x轴于点B， 函数过点， ， 解得：， ， 代入得，， ， ， 令，则， ， 的解集为． 故答案为：． 31. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，，过点作轴于，过点作交延长线于，由可证，可得，，据此即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作交延长线于， 点的坐标为， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：． 32. 如图，直线与双曲线相交于点，则不等式的解集是_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合，写出直线在双曲线上方部分的的取值范围即可． 【详解】点在直线， ， 解得． 则， 将其代入双曲线得到：， 双曲线的解析式为：， 解得或， 直线与双曲线的另一交点坐标是， 不等式的解集是或． 故答案为：或． 33. 如图，点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为5，则k的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键； 点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出，，再利用阴影部分的面积为5，得出，由此解出k即可． 【详解】如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 点A、B在第一象限， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 阴影部分的面积为5， ， ， 解得：． 故答案为：7． 34. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处．点在直线上，若点到的三边距离之和等于周长的一半，则点的坐标为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】题主要考查了一次函数的图象，图形的翻折及其性质，角平分线的性质：先求出点，点，进而求出，再由翻折的性质得，，，进而得点，设点C的坐标为，其中，根据求出，则点，由此可求出直线的表达式为，设点，根据角平分线的性质得点E到的三边距离之和为：，再求出的周长为24得，然后分三种情况讨论如下：①点E在第一象限时，，此时可转化为，由此解出a即可求出点E的坐标；②点E在第三象限时，，，此时可转化为，由此解出a即可求出点E的坐标；③当点E在第四象限时，，此时点E不存在，综上所述可得点E的坐标． 【详解】解：对于，当时，，当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， 由勾股定理得：， 由翻折的性质得：， ∴， ∴点D的坐标为， 设点C的坐标为，其中， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为， 设直线的表达式为：， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵点E在直线上， ∴设点E的坐标为， ∴点E到y轴的距离为，到x轴的距离为， ∵， ∴点E到y轴的距离与点E到的距离相等，均为， ∴点E到的三边距离之和为：， 在中，， 由勾股定理得：， ∴的周长为：， 又∵点E到的三边距离之和等于周长的一半， ∴， ∵直线经过第一，三，四象限， ∴分三种情况讨论如下： ①点E在第一象限时，， ∴可转化为：， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为； ②点E在第三象限时，， ∴可转化为：， 整理得：， ∴， ∴点E的坐标为； ③当点E在第四象限时，， ∴可转化为：， 此时该方程无解， 即在第四象限不存在这样的点E． 综上所述：点E的坐标为或． 35. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，我们称点P为“倍差点”．若点A既是倍差点，又是倍差点，则点A到坐标原点的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义、坐标系中点坐标特征等知识，解题的关键是理解“倍差点”含义． 根据题意建立方程组，解出再用勾股定理求距离即可． 【详解】解：根据题意， 点A既是倍差点，又是倍差点， 得方程组， 解得， ， 到原点的距离为， 故答案为：． 36. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点为第二象限的点，则点的纵坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定，正确作出辅助线是解题关键；过作轴，过作轴，过作，证明≌≌得出，，再根据点的坐标即可求解． 【详解】解：过作轴，过作轴，过作，如图： ， 四边形是正方形， ，， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 即点的纵坐标为， 故答案为：． 37. 如图，在平面直角坐标系中，点，点且，则的值为_______． 【答案】128 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形、坐标与图形性质．如图，过点B作轴于点C，在等腰中运用勾股定理求出的长度；然后在等腰中运用勾股定理求出的长度，即可得出点B的坐标，求出，的值代入计算即可． 【详解】解：如图，过点B作轴于点C，则． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∵ ∴， ∴同理可得，， ∴． ∴． ∴． 故答案为：128． 38. 如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，求出的值，进而求出的值，根据证明，得到，即可推出四边形周长，当的值最小时，即可得到四边形周长的最小值，利用垂线段最短即时，求出最小值，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为， ，，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形周长， 当的值最小时，四边形的周长最小，此时，即为最小值， 四边形的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，线段的最值问题，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用三角形全等的性质转换线段之间的关系表达出周长． 39. 如图，在中，．以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧．两弧交于点P，作射线交于E，连接，若，则的度数为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等，理解作法，掌握相关的性质是解题的关键．根据作图得出平分，可求出的度数，根据等边对等角可求出的度数，然后根据平行四边形的性质和平行线的性质求解即可． 【详解】解：由作图可知平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 40. 如图，已知点，，，，C为直线EF上一动点，则的对角线CD的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设交于点，根据平行四边形的性质得出点，进而根据点到直线的距离，垂线段最短，可知当时，取得最小值，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，设交于点，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∴当时，取得最小值， ∵，， ∴，, ∴是等腰直角三角形， ∴此时是直角三角形，且是斜边， ∵, ∴， ∴的对角线的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 41. 如图，平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质；根据和的平分线交于边上一点，结合平行四边形的性质，得出，，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，，， ，分别是和的平分线， ，， ，，， ，， ， ，， ， ． 故答案为：． 42. 如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为3，则平行四边形的面积为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，正确求出点A的坐标是解答本题的关键； 根据点D到x轴的距离为3，求出坐标，图象经过点C和边的中点D，求出B的纵坐标，延长交y轴E于，作轴于F，根据平行四边形的性质，证明，得出,在求出，利用平行四边形面积公式得出答案； 【详解】点D到x轴的距离为3， 点D的纵坐标为3， 点D的纵坐标代入得： 点D的坐标为 点D为AB中点， 点B的纵坐标为6， 四边形为平行四边形， 点C的纵坐标为6， 点C的纵坐标代入 ， ， ， 延长交y轴E于，作轴于F， ，， ， ，，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：36 43. 如图，在平行四边形中，，，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接并延长交于点Q，连接．若时，则与的周长之差为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的尺规作图，角平分线的定义等等，先由平行四边形的性质得到，则由作图方法可知平分，则，可得，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图方法可知平分， ∴， ∴， ∴， ∴与的周长之差为， 故答案为：5． 44. 如图，在四边形中，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t=______时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，分两种情况：当为平行四边形的边时，由列出方程可求出t；当为平行四边形的对角线，由列出方程可求出t． 【详解】解：由题意知，可分两种情况： ①当为平行四边形的边，则P在D点左侧，， ∵， ∴， 解得； ②当为平行四边形的对角线，P在D点右侧，， ∵， ∴， 解得， 综上所述，当或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形． 故答案为：2或6． 45. 如图，正方形的边长为4，点E在上且，F为对角线上一动点，则周长的最小值为________ 【答案】6 【解析】 【分析】连接，，当，，在一条直线上时，可以取得最小值，最小值为，可证得，得到，进而可求得答案． 【详解】如图所示，连接，． 根据题意可知，当，，在一条直线上时，可以取得最小值，最小值为． ． 是正方形的对角线， ， 和中， ， ∴． ∴． ∴的最小值为． ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、正方形的性质、勾股定理，两点之间线段最短，能根据题意构建辅助线是解题的关键． 46. 如图，在矩形中，，点在上，．若平分，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，等角对等边，由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 47. 如图，将长方形沿对角线折叠，得到如图所示的图形，与交于点E．若，，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，等腰三角形的判定的运用，勾股定理，解答时灵活运用折叠的性质求解是关键． 由矩形的性质可得，，，根据平行线的性质和折叠的性质可得，即，根据勾股定理可求的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 折叠， ， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 48. 如图，正方形中，点O为原点，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，对角线，交于点D，作以下操作： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F两点； ②分别以E、F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G； ③作射线，交于点M，交于点N． 若点N的坐标为，则点M的坐标为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性质． 过N点作于H点，过M点作于Q点，如图，根据正方形的性质得到，，根据基本作图得到平分，则利用角平分线的性质得到，在中利用等腰直角三角形的性质得到，所以，则，接着根据角平分线的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，则，解得，所以，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过N点作于H点，过M点作于Q点，如图， ∵四边形为正方形， ∴，， 由作法得平分，而，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴M点的坐标为． 故答案为：． 49. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是_______． 【答案】1.25 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，连接，，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】连接，， 正方形的边长分别为3和2， 面积分别为9和4， 正方形和正方形的对称中心都是点， ． 故答案为：1.25． 50. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数__________， 方差__________． 【答案】 ①. 4 ②. 9 【解析】 【分析】本题考查的是样本平均数的求法及运用，方差的计算与运用，解题的关键是掌握平均数公式：及方差公式：由平均数的计算方法是利用原数据的平均数，扩大3倍求新数据的平均数，利用原数据的方程，扩大倍计算新数据的方差． 【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数为， 方差 ∴另一组数据，，，，的平均数为， 方差为 故答案为：4，9． 51. 已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数的求法，先求前个数的和，再求后个数的和，然后利用平均数的定义求出个数的平均数，正确理解算术平均数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，的平均数是，，，，，的平均数是， ∴，，，，的平均数是， 故答案为：． 52. 在对一组样本数据进行分析时，小明列出了计算方差的式子：，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查方差和平均数的应用，解题的关键是根据方差的定义得出这组数据． 根据公式找出这组数据、平均数，根据平均数公式计算出x即可． 【详解】 这组数据为：3，5，x，4，3，平均数为：4， ， 故答案为：5 第三部分解答题解题方法总结和限时训练 一、分类讨论法 分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现，需要注意以下几点： 1．熟知特殊图形的性质，如直角三角形的直角、等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决． 2．讨论点的位置时，一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上． 3．图形的对应关系多涉及三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论． 4．代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的数开出来要注意正负号的取舍． 5．考查点的取值情况或范围时，要注意性质、定理的使用条件及范围． 二、特殊值法 根据题设条件，选取恰当的特殊数值，替代题中的字母和数式，通过计算，得出答案，再类推一般性答案，从而得出正确答案．例如，在解决规律题或推理结果时，可以用一些数值来进行验证． 三、排除法（筛选法） 从已知条件出发，结合选项，通过观察、分析、猜想、计算等方法一一排除明显出错的答案，缩小思考范围，提高解题的速度．例如，在解决二次函数和一次函数图像的选择题时，可以逐一排除错误选项，从而确定正确的一项． 四、验证法 把各个选择项代入原题加以验证，看是否符合题意，然后得出结论．例如，在判断图像是否经过某点时，可以用验证的方法带入题中，得出正确的选项． 五、构造法 在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的．几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形．例如，在解决压轴题时，可以根据题意去寻找相似三角形，或者构造定理所需的图形，以简化问题． 六、切入点选择 1．做不出、找相似：当压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高时，往往应根据题意去寻找相似三角形，利用相似性质进行解答． 2．构造定理所需的图形或基本图形：在解题过程中，有时需要添加辅助线来构造定理所需的图形或常见的基本图形，以便更好地利用已知条件进行解答． 限时训练： 53. 我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如，①， ②， ③． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （2）已知假分式． ①将该假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式． ②直接写出当整数a为何值时，分式为正整数； （3）自然数A是的整数部分，则A的数字和为 ．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：148的数字和就是1＋4＋8＝13）． 【答案】（1） （2）①；②2或者6 （3）52 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，读懂阅读材料中的方法并熟练掌握分式加减的运算法则是解题的关键． （1）先把分式的分子化为，再化为整式与真分式的和的形式即可； （2）将分子转化为的形式，再化成一个整式与一个真分式的和的形式； （3）先把分子转化为，再化成一个整数与一个真分数的和的形式，进而求出自然数A． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：①； ②∵分式为正整数， ∴为整数且， ∴或6． 【小问3详解】 解： ∴， 所以A的数字和为． 故答案为：52． 54. 【论证】 （1）如图1，在中，，且，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．求证：． 【尝试】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点，点，点C在第二象限，，．请直接写出点C的坐标：______． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，点M在第一象限，且为等腰直角三角形．请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，点的坐标，等腰直角三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）直接运用证明即可． （2）过点C作轴，垂足为D，再证明，得，，即可求解． （3）分三种情况：①如图1，当时，②如图2，当时，③如图3，当时，分别求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ． ，， ． （2）过点C作轴，垂足为D，如图， ∵，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵点C在第二象限内， ∴． （3）分三种情况：①如图1，当时，作轴，垂足为H， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∵点M在第一象限， ∴； ②如图2，当时，作轴，垂足为H， 同理可证， ∴，， ∴， ∵点M在第一象限， ∴； ③如图3，当时， 轴，垂足为D，作轴，交直线于E， 同理可证， ∴，． 设，， ∵，， ∴ ∴四边形为矩形， ∴，， 即，，解得，， ∴， ∵点M在第一象限， ． 综上，满足条件的点M的坐标为或或． 55. 如图1，在平面直角坐标系中，已知两点，． （1）若a，b满足． ①直接写出的周长； ②P在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标， （2）如图2，C是x轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足． ①探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明； ②设与的面积的比值为k，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）①；②或或； （2）①；② 【解析】 【分析】1）①首先根据绝对值和平方的非负性求出，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； ②根据题意分3种情况讨论：①，；②，；③，，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）①在上截取，连接，首先证明出是等边三角形，得到，，然后证明出，得到，求出，进而求解即可； ②首先证明出是等边三角形，得到，然后得到当点C和点A重合时，，过点D作，此时的长度最小，得到，然后证明出，得到，进而求出． 【小问1详解】 ①∵ ∴ ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的周长； ②如图所示，当，时，过点P作轴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∴点P的坐标为； 如图所示，当，时，过点P作轴， 同理可证， ∴， ∴ ∴点P的坐标为； 如图所示，当，时，过点P作轴，轴， 同理可证， ∴， 根据题意可得，四边形是正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或； 【小问2详解】 ①如图所示，在上截取，连接， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； ②由①可得，， ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∵ ∵C是x轴上点A右侧的动点， ∴ ∴在中， ∴如图所示，当点C和点A重合时，，过点D作， ∴此时的长度最小， ∴点H是的中点， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵C是x轴上点A右侧的动点， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了绝对值非负性的应用，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． 56. 在平面直角坐标系中，已知点、分别为轴和轴上一点，且满足，点是坐标系内一点，连接，过点作于点，延长至点，使得，连接、． （1）点的坐标为________；点的坐标为________． （2）如图1，若点在第二象限，试判断与的关系，并说明理由． （3）如图2，若点的坐标为，与交于点，连接．求点的坐标． 【答案】（1）， （2），，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得，，求出，即得答案； （2）设交y轴于G，可得，即，证明，可得，； （3）过C作轴于H，过D作轴于M，证明 ，可得，，从而得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 ， 理由如下： 设交y轴于G，如图： ， ， ， ，即， 由（1）知，， ， 在和中， ， ， ．， ∵， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 过C作轴于H，过D作轴于M，如图： ，， ，， 同（2）可得， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及三角形全等的判定与性质，平方与绝对值的非负性，点的坐标等知识，解题关键是掌握全等三角形的判定定理． 57. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，，且、的长分别是一元二次方程的两个根． （1）求点和点的坐标； （2）点从点出发，在线段上运动，运动的速度为每秒个单位长度，设的面积为，点的运动时间为，求与之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当时，求此时点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2）；（3）点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）解方程得出OA＝3，OB＝4，即可得出答案； （2）过点O作OE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝5，由面积法求出OE＝，由题意得BC＝AB−AC＝5−2t，0≤t＜，再由三角形面积公式即可得出答案； （3）由待定系数法求出直线AB的解析式为，设点C的坐标为：（x，−x＋4），过点C作CF⊥OA于F，则OF＝x，CF＝−x＋4，在Rt△AFC中，由勾股定理得出方程，解得x1＝1，x2＝5（不合题意舍去），进而得出答案． 【详解】（1） 即，， 、 点的坐标为，点的坐标为 （2）作于点， 在中，由勾股定理得：， 当点在线段上运动时， （3）解：设直线的解析式为（，，为常数） 把，代入解析式得， 在直线上， 设点的坐标为， 当点在线段上时，作，垂足为， ， ， 在中，由勾股定理得， ，即 解得，（舍） 点的坐标为． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、坐标与图形性质、三角形面积、一元二次方程的解法、待定系数法求直线的解析式等知识；本题综合性强，熟练掌握勾股定理和待定系数法是解题的关键． 58. 如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=的图象交于点A(4，a)、B(﹣8，﹣2)． (1)求k、a、b的值； (2)求关于x的不等式x+b＞的解集； (3)若点P在y轴上，点Q在反比例函数y=的图象上，且A、B、P、Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，试求点P的坐标． 【答案】(1)b=2，k=16，a=4；(2)﹣8＜x＜0或x＞4；(3)点P的坐标为(0，)，(0，﹣)或(0，6) 【解析】 【分析】(1)由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，可求出k，b的值，由点A的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出a值； (2)观察两函数图象的上下位置关系，由此可得出不等式x+b＞的解集； (3)设点P的坐标为(0，m)，点Q的坐标为(n，)，分AB为边及AB为对角线两种情况考虑：①AB为边，利用平行四边形的性质(对角线互相平分)可得出关于m，n的方程组，解之即可得出点P的坐标；②AB为对角线，利用平行四边形的性质(对角线互相平分)可得出关于m，n的方程组，解之即可得出点P的坐标．综上，此题得解． 【详解】(1)∵一次函数y=x+b的图象过点B(﹣8，﹣2)， ∴﹣2=﹣4+b， ∴b=2； ∵反比例函数y=的图象过点B(﹣8，﹣2)， ∴k=(﹣8)×(﹣2)=16； 当x=4时，a==4， ∴点A的坐标为(4，4)； (2)观察函数图象，可知： 当﹣8＜x＜0或x＞4时，一次函数y=x+2的图象在反比例函数y=的图象上方， ∴不等式x+b＞的解集为﹣8＜x＜0或x＞4； (3)设点P的坐标为(0，m)，点Q的坐标为(n，)． 分两种情况考虑： ①AB为边，如图2所示． 当四边形AP1Q1B为平行四边形时，， 解得：， ∴点P1的坐标为(0，)； 当四边形ABP2Q2为平行四边形时，， 解得：， ∴点P2的坐标为(0，)； ②AB对角线，如图3所示． ∵四边形APBQ为平行四边形， ∴，解得：， ∴点P的坐标为(0，6)． 综上所述：当A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点P的坐标为(0，)，(0，﹣)或(0，6)． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：(1)利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上点的坐标特征，求出k，a，b的值；(2)根据两函数图象上下位置关系，找出不等式的解集；(3)分AB为边及AB为对角线两种情况，利用平行四边形的性质求出点P的坐标． 59. 如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E． （1）求证：是等腰三角形． （2）连接，若，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质和角平分线得出，即可得出； （2）先证明是等边三角形，得出，由勾股定理求出，由证明，得出的面积的面积，因此平行四边形的面积的面积，即可得出结果． 【小问1详解】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 是的平分线， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 的面积的面积， ∴平行四边形的面积的面积. 60. 如图1，直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数表达式． （2）将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接，． ①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值； ②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据点在直线上，可确定，再将点的坐标代入反比例函数中求出的值即可； （2）①先确定，再根据平移的性质及函数图像上点的坐标特征可得出，继而得到，，即可得出结论；②设，分三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴ ， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数表达式为； 【小问2详解】 ①∵直线与轴交于点， 当时，得， ∴， ∵将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，且点恰好落在反比例函数的图像上， 轴， 当时，得：， ∴， ∴， ∴， 当时，得：， ∴，， ∴， ∴； ②在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 理由： 设， 由①知：，，， 可分以下三种情况： 当且，以为对角线时， 即将线段向右平移个单位再向上平移个单位得到线段，此时可得平行四边形， 此时点的坐标为； 当且，以为对角线时， 即将线段向右平移个单位得到线段，此时可得平行四边形， 此时点的坐标为； 当且，以为对角线时， 即将线段向左平移个单位得到线段，此时可得平行四边形， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了平移的性质、点坐标平移的规律，函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的判定等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 61. 如图，已知，分别以它的三边为边长，在边的同侧作三个等边三角形，即，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．当一个图中出现个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，证出，，即可得出结论． 【详解】证明：，都是等边三角形， ，，， ，， ， 在和中，， ， ， 又是等边三角形， ， ． 同理可得：， ． ，， 四边形为平行四边形． 62. 如图1，已知矩形，点E是边上一点，点F是延长线上一点，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）如图2，在（1）的条件下，若，点G是边上一点，连接交于点H，有，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，进而利用证明，利用全等三角形的性质和正方形的判定即可得证； （2）过点A作交于点M，连接，易证，根据全等三角形的性质可得，设，根据勾股定理列方程，求出的长度，进一步可得的长度，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 过点A作交于点M，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∵， 根据勾股定理，得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是掌握相关性质和定理． 63. 同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．书中的提示是：取的中点G，连接，这样易证后得到．在此基础上，请同学们探究以下问题： （1）如图（2），点E是边上（除点B，C外）的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由； （2）如图（3），点E是的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变，的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由； 【答案】（1）的结论还成立，理由见解析 （2）的结论仍然成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）如图，在上取一点，使，连接，利用判定，从而得到； （2）延长到，使，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到． 【小问1详解】 解：的结论还成立，理由如下． 如图，在上取一点，使，连接， ， ，， 是正方形外角的平分线， ，， ， ，， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：的结论还成立，理由如下． 理由如下：如图，延长到，使， ， ． ， ， ． ， ， 即． ， ． 在与中， ， ， ． 64. 为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组.在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题． （1）请根据图中信息，补齐下面的表格； 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 张明 ________ 王明 ________ （2）从图中看，张明与王明哪次的成绩最好？ （3）分别计算他们的平均数和方差，若你是他们的教练，将张明与王明的成绩比较后，你将分别给予他们怎样的建议？ 【答案】（1）张明，王明； （2）张明第2次成绩最好，王明第4次成绩最好； （3）张明平均数：，方差为：；王明平均数为：，方差为：；建议张明加强锻炼，提高爆发力，提高短跑成绩；建议王明总结经验，找出成绩忽高忽低的原因，在稳定中求提高． 【解析】 【分析】本题考查求平均数和方差．找出题干中必要的数据和信息是解题的关键． （1）根据折线统计图即可直接补全表格； （2）根据表格即可直接得出张明与王明的最好成绩是第几次； （3）根据平均数和方差的计算公式分别计算出张明和王明的平均成绩和方差，再给出合理建议即可． 【小问1详解】 解：由题知，张明第4次成绩，王明第2次成绩； 故答案为：张明13.2，王明13.4． 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，张明第2次成绩最好，王明第4次成绩最好； 【小问3详解】 解：张明成绩的平均数为， 张明成绩的方差为， 王明成绩的平均数为， 王明成绩的方差为， ， 建议张明加强锻炼，提高爆发力，提高短跑成绩；建议王明总结经验，找出成绩忽高忽低的原因，在稳定中求提高． 65. 某篮球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，8，5，9；乙：7，9，7，7，；列表进行数据分析： 选手 平均成绩 中位数 众数 方差 甲 8 b 9 d 乙 a 7 c （1） ______， ______，______，______； （2）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由． 【答案】（1）8，9，7， （2）选择甲选手参加比赛．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数，众数，中位数，方差的定义或公式，计算求解即可； （2）利用平均数，众数，中位数，方差进行决策即可． 【小问1详解】 解：由题意知，乙的平均数； 将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：5，8，9，9，9，位置在最中间的是9， ∴这组数据的中位数； 乙的5个数据中7出现了三次，出现次数最多，即乙组数据的众数； ， 故答案为：8，9，7，． 【小问2详解】 解：选择甲选手参加比赛，理由如下； 由题意知，甲乙的平均数相同，但甲的众数比乙的众数大，中位数比乙的大， ∴选择甲选手． 【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差．熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的计算是解题的关键． 66. 我校团委12月份举办七，八年级“我做守法好公民”为主题的知识竞赛，七，八年级参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如图不完整的统计图表． 七年级成绩统计表 分数（分） 人数（人） 70 7 80 n 90 1 100 8 （1）七年级成绩统计表中的值为______；图①中，“100分”所在自形的圆心角度数为______； （2）八年级成绩的中位数为______分；七年级成绩的平均分为______分； （3）经计算知，，请你根据这两个数据，对七、八年级成绩作出合理评价． 【答案】（1）4， （2）90，85 （3）八年级20同名同学的成绩比较整齐． 【解析】 【分析】此题考查中位数、平均数的概念和方差的意义，条形统计图、扇形统计图的意义，理解各个概念的内涵和外延是正确解答的前提． （1）用八年级“70分”的人数除以所占的百分比求出总人数，然后减去七年级“70分”“90分”“100分”的人数即可求出n的值；然后用乘以“100分”的人数所占的百分比即可求得答案； （2）根据中位数和平均数的概念求解即可； （3）根据方差的意义即可做出评价． 【小问1详解】 参赛的人数为（人） 七年级成绩统计表中（人） 图①中，“100分”所在自形的圆心角度数为； 故答案为：4，； 【小问2详解】 ∵一共有20人参赛，第10个数90，第11个数90， ∴八年级成绩的中位数为； 七年级成绩的平均分为； 故答案为：90，85； 【小问3详解】 ∵，， ∴ ∴八年级20同名同学的成绩比较整齐． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末备考培优-2023-2024学年华东师大版八年级下册期末备考尖子生集训 第一部分选择题解题方法总结和限时训练 一、理解题目要求 首先，要仔细阅读题目，理解题目要求．明确题目中给出的已知条件、未知量以及需要求解的问题． 二、排除法 1．从已知条件出发，结合选项，通过观察、分析、猜想、计算等方法一一排除明显出错的答案，缩小思考范围． 2．注意检查选项中的陷阱，如“或”、“且”等逻辑关系的理解． 三、验证法 1．将各个选择项代入原题进行验证，看是否符合题意，然后得出结论． 2．验证法特别适用于与图形或图像有关的选择题，可以通过观察图形或图像来验证选项的正确性． 四、特殊值法 1．根据题设条件，选取恰当的特殊数值或作出特殊图形进行计算、推理． 2．特殊值法要注意所选取的值要符合条件，且易于计算． 五、直接求解法 1．有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此可以采用直接法求解． 2．直接从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项． 六、数形结合法 1．在解决与图形或图像有关的选择题时，要运用数形结合的思想方法． 2．通过观察图形或图像的特点，结合题目给出的条件，进行推理和计算． 七、其他方法 1．代入法：将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断． 2．观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择． 3．枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断． 八、总结答案 在得出最终答案之前，要仔细检查答案是否符合题目的要求，并确保答案的完整性和准确性． 九、解题技巧 1．分析题目条件：仔细阅读题目，理解并分析给出的条件，包括已知量、未知量、等式或不等式等． 2．寻找等量关系：在数学问题中，等量关系是解决问题的关键．通过已知条件和未知量之间的关系，建立等式或方程． 3．运用数学模型：根据问题类型，选择合适的数学模型进行解答．例如，几何问题可以使用相似三角形、勾股定理等；代数问题可以使用一元二次方程、不等式等． 4．化简问题：将复杂问题分解成若干个简单的小问题，逐一解决．例如，物理中的复杂运动可以分解为多个简单运动． 5．逆向思考：对于一些难以直接解决的问题，可以从结论出发，逆向思考，寻找解题思路． 限时训练： 1. 若关于的分式方程解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 2. 有一分式方程．若该方程有增根，则m的值是（ ） A. -5 B. C. D. 0 3. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A. B. 3 C. 6 D. 2 4. 下列说法错误的是（　　） A. 若式子没有意义，则x的取值范围是 B. 分式中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值扩大2倍 C. 分式的值不可能等于0 D. 若表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个 5. 若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 15 6. 如下图，直角坐标平面内，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…按这样运动规律，动点第2020次运动到点（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，把一条长为2016个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，点若反比例函数经过点，则的值等于( ) A 25 B. 24 C. 12 D. 5 9. 如图，在平面直角坐标系中，，点、、、 在轴上，点、、 … 在射线上，、、……均为等边三角形,若点坐标是 ,那么点坐标是（ ） A. (6，0) B. (12，0) C. (16，0) D. (32，0) 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OBCD的顶点O在坐标原点，点B的坐标为（2，5），点A在第二象限，反比例函数 的图象经过点A，则k的值是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是OA的中点，过点C作CD⊥OA于C交一次函数图象于点D，P是OB上一动点，则PC+PD的最小值为（　　） A. 4 B. C. 2 D. 2+2 12. 如图，菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（    ） A. B. C. D. 13. 已知直角坐标系内有四个点，，，，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的，的值可以是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. 如图，在中，平分，则的长是（　　） A. 7 B. 8 C. 5 D. 4 15. 如图，在周长为9的等边三角形的内部有一点P，过点P作，，分别交三边于点D，E，F，则等于（ ） A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 16. 如图，在平行四边形中，是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，则下列命题：①四边形是平行四边形，②，③，④若，，则，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 17. 如图，原点O为的对称中心，轴，与y轴交于点，与x轴交于 ，．若将绕原点O 顺时针旋转，每次旋转， 则第2024次旋转结束时， 点A的对应点的坐标（ ） A. B. C. D. 18. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 19. 如图，矩形中，对角线、交于点，若，，则长为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 5 20. 如图．在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为（　　） A. 4.8 B. 5 C. 3.6 D. 5.4 21. 在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若垂直平分，则四边形是矩形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若平分，则四边形是菱形 22. 如图，在正方形中，为边上一点，为 延长线上一点，且，连接．给出下列至个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 23. 某排球队12名队员的年龄如下： 年龄（岁） 18 19 20 21 22 人数（人） 2 4 3 2 1 该队队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A. 19岁，19岁 B. 19岁，岁 C. 19岁，20岁 D. 20岁，21岁 24. 一组数据a、b、c、d、e、f、g的平均数是m，方差是n，则另一组数据、、、、、、的平均数和方差分别是（　　） A 3， B. ，n C. ， D. ， 25. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，55， 60，若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，统计量变小的是（　　） A. 方差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数 第二部分填空题解题方法总结和限时训练 一、直接法 直接法是解填空题最基本的方法，它要求学生直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过推理和运算等过程，直接得到结果．这种方法要求学生熟练掌握各种数学概念和定理，并能够准确地运用它们来解决问题． 二、数形结合法 数形结合是一种重要的数学方法，在解决填空题时也非常有效．它要求学生在解题时，根据题目条件的具体特点，做出符合题意的图形，从而做到数中想形，以形助数．通过对图像的观察、分析和研究，学生可以启发解题思路，找出问题的隐含条件，从而简化解题过程，检验解题结果． 三、特例法 对于一些填空题，可以通过取特殊值或者特殊情况进行验证，从而快速得出答案．这种方法特别适用于一些选择题或者填空题中的选项验证． 四、猜想法 在填空题中，有时候根据题目条件和选项特点，可以猜测出一个可能的答案，然后再进行验证．虽然这种方法有一定的风险，但在一些情况下可以帮助学生快速解决问题． 五、整体法 整体法是一种从问题的整体性质出发，通过分析和研究整体与部分之间的关系来解决问题的方法．在填空题中，有时候可以从整体角度考虑，利用整体性质来简化问题． 六、隐含条件法 填空题中常常包含一些隐含条件，这些条件可能没有在题目中明确给出，但可以通过分析题目条件和选项特点来发现．在解题时，学生应认真分析题目的隐含条件，利用它们来简化问题或者验证答案． 七、分类讨论法 对于一些涉及多个可能性的填空题，可以通过分类讨论的方法来解决问题．首先列出所有可能的情况，然后逐一进行分析和计算，最后得出答案．这种方法需要学生具备分类讨论的能力和技巧． 八、等价转化法 等价转化法是一种将复杂问题转化为简单问题的方法．在填空题中，有时候可以通过等价转化来简化问题或者找到解题的突破口．例如，可以通过等价转化将复杂的几何问题转化为代数问题来解决． 注意： 1．认真审题：理解题目要求和条件，明确解题目标． 2．仔细分析：对题目条件和选项进行仔细分析，找出隐含条件和关键点． 3．灵活运用：根据题目特点和自己的知识储备选择合适的方法进行解题． 4．检验答案：在得出答案后要进行检验，确保答案的正确性． 限时训练 26. 若关于的分式方程无解，则_________． 27. 若关于x的分式方程有增根，则的值是 _____． 28. 已知 ，则_______． 29. 分式方程的解是非负数，则的取值范围为___________ 30. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______ ． 31. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为，则点C的坐标为________． 32. 如图，直线与双曲线相交于点，则不等式的解集是_______． 33. 如图，点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为5，则k的值为______． 34. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处．点在直线上，若点到的三边距离之和等于周长的一半，则点的坐标为__________． 35. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，我们称点P为“倍差点”．若点A既是倍差点，又是倍差点，则点A到坐标原点的距离为______． 36. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，正方形的顶点的坐标为，点为第二象限的点，则点的纵坐标为______． 37. 如图，在平面直角坐标系中，点，点且，则的值为_______． 38. 如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是______． 39. 如图，在中，．以点A为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧．两弧交于点P，作射线交于E，连接，若，则的度数为 __________． 40. 如图，已知点，，，，C为直线EF上一动点，则的对角线CD的最小值是________． 41. 如图，平行四边形中，和的平分线交于边上一点，且，，则的长是 __． 42. 如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为3，则平行四边形的面积为______． 43. 如图，在平行四边形中，，，以点C为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接并延长交于点Q，连接．若时，则与的周长之差为______． 44. 如图，在四边形中，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t=______时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 45. 如图，正方形的边长为4，点E在上且，F为对角线上一动点，则周长的最小值为________ 46. 如图，在矩形中，，点在上，．若平分，则的长为_____． 47. 如图，将长方形沿对角线折叠，得到如图所示的图形，与交于点E．若，，则的长是___________． 48. 如图，正方形中，点O为原点，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，对角线，交于点D，作以下操作： ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F两点； ②分别以E、F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G； ③作射线，交于点M，交于点N． 若点N的坐标为，则点M的坐标为 __________． 49. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是_______． 50. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数__________， 方差__________． 51. 已知：，，，，的平均数是，，，，，的平均数是，则，，，，的平均数是_____． 52. 在对一组样本数据进行分析时，小明列出了计算方差的式子：，则______． 第三部分解答题解题方法总结和限时训练 一、分类讨论法 分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现，需要注意以下几点： 1．熟知特殊图形的性质，如直角三角形的直角、等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决． 2．讨论点的位置时，一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上． 3．图形的对应关系多涉及三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论． 4．代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的数开出来要注意正负号的取舍． 5．考查点的取值情况或范围时，要注意性质、定理的使用条件及范围． 二、特殊值法 根据题设条件，选取恰当的特殊数值，替代题中的字母和数式，通过计算，得出答案，再类推一般性答案，从而得出正确答案．例如，在解决规律题或推理结果时，可以用一些数值来进行验证． 三、排除法（筛选法） 从已知条件出发，结合选项，通过观察、分析、猜想、计算等方法一一排除明显出错的答案，缩小思考范围，提高解题的速度．例如，在解决二次函数和一次函数图像的选择题时，可以逐一排除错误选项，从而确定正确的一项． 四、验证法 把各个选择项代入原题加以验证，看是否符合题意，然后得出结论．例如，在判断图像是否经过某点时，可以用验证的方法带入题中，得出正确的选项． 五、构造法 在解决问题的过程中，有时添加辅助线是必不可少的．几乎都遵循这样一个原则：构造定理所需的图形或构造一些常见的基本图形．例如，在解决压轴题时，可以根据题意去寻找相似三角形，或者构造定理所需的图形，以简化问题． 六、切入点选择 1．做不出、找相似：当压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高时，往往应根据题意去寻找相似三角形，利用相似性质进行解答． 2．构造定理所需的图形或基本图形：在解题过程中，有时需要添加辅助线来构造定理所需的图形或常见的基本图形，以便更好地利用已知条件进行解答． 限时训练： 53. 我们规定：分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如，①， ②， ③． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （2）已知假分式． ①将该假分式化成一个整式与一个真分式的和的形式． ②直接写出当整数a为何值时，分式为正整数； （3）自然数A是的整数部分，则A的数字和为 ．（把组成一个数的各个数位上的数字相加，所得的和，就叫做这个数的数字和．例如：148的数字和就是1＋4＋8＝13）． 54. 【论证】 （1）如图1，在中，，且，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E．求证：． 【尝试】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，点，点，点C在第二象限，，．请直接写出点C的坐标：______． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，点M在第一象限，且为等腰直角三角形．请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 55. 如图1，在平面直角坐标系中，已知两点，． （1）若a，b满足． ①直接写出的周长； ②P在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标， （2）如图2，C是x轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足． ①探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明； ②设与的面积的比值为k，直接写出k的取值范围． 56. 在平面直角坐标系中，已知点、分别为轴和轴上一点，且满足，点是坐标系内一点，连接，过点作于点，延长至点，使得，连接、． （1）点的坐标为________；点的坐标为________． （2）如图1，若点在第二象限，试判断与的关系，并说明理由． （3）如图2，若点的坐标为，与交于点，连接．求点的坐标． 57. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，，且、的长分别是一元二次方程的两个根． （1）求点和点的坐标； （2）点从点出发，在线段上运动，运动的速度为每秒个单位长度，设的面积为，点的运动时间为，求与之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当时，求此时点的坐标． 58. 如图，一次函数y=x+b与反比例函数y=的图象交于点A(4，a)、B(﹣8，﹣2)． (1)求k、a、b的值； (2)求关于x的不等式x+b＞的解集； (3)若点P在y轴上，点Q在反比例函数y=的图象上，且A、B、P、Q恰好是一个平行四边形的四个顶点，试求点P的坐标． 59. 如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点F，交的延长线于点E． （1）求证：是等腰三角形． （2）连接，若，求平行四边形面积． 60. 如图1，直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数表达式． （2）将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接，． ①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值； ②在①的条件下，在坐标平面内是否存在点N，使得以A，D，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 61. 如图，已知，分别以它的三边为边长，在边的同侧作三个等边三角形，即，，，求证：四边形是平行四边形． 62. 如图1，已知矩形，点E是边上一点，点F是延长线上一点，且． （1）求证：四边形是正方形； （2）如图2，在（1）的条件下，若，点G是边上一点，连接交于点H，有，求． 63. 同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．书中的提示是：取的中点G，连接，这样易证后得到．在此基础上，请同学们探究以下问题： （1）如图（2），点E是边上（除点B，C外）的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由； （2）如图（3），点E是的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变，的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由； 64. 为了让广大青少年学生走向操场、走进自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，我国启动了“全国亿万学生阳光体育运动”短跑运动可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，因此小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组.在近几次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题． （1）请根据图中信息，补齐下面的表格； 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 张明 ________ 王明 ________ （2）从图中看，张明与王明哪次的成绩最好？ （3）分别计算他们的平均数和方差，若你是他们的教练，将张明与王明的成绩比较后，你将分别给予他们怎样的建议？ 65. 某篮球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投次，进球的个数统计结果如下：甲：9，9，8，5，9；乙：7，9，7，7，；列表进行数据分析： 选手 平均成绩 中位数 众数 方差 甲 8 b 9 d 乙 a 7 c （1） ______， ______，______，______； （2）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由． 66. 我校团委12月份举办七，八年级“我做守法好公民”为主题的知识竞赛，七，八年级参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如图不完整的统计图表． 七年级成绩统计表 分数（分） 人数（人） 70 7 80 n 90 1 100 8 （1）七年级成绩统计表中值为______；图①中，“100分”所在自形的圆心角度数为______； （2）八年级成绩的中位数为______分；七年级成绩的平均分为______分； （3）经计算知，，请你根据这两个数据，对七、八年级成绩作出合理评价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$